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1、线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数 一个排列若有类似时，我们称组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。(3) 行列式某行或某列乘以k等于行列式乘以k。(4) 行列式某行货某列乘以k加到另一行或列上，行列式值不变。(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即(9) 齐次线性方程组有非零解3、行列式行列展开定理(1) 余子式 (2) 代数余
2、子式4、三阶行列式展开公式二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。(5) 阶方阵一般可以有四大基本矩阵运算2、矩阵的行列式(1) (2) 3、矩阵转置(1) (2) 4、伴随矩阵(1) (2) 5、逆矩阵(1) (2) 分块矩阵的逆矩阵 （主对角分块） （副对角分块） （拉普拉斯） （拉普拉斯）6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列(2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k并加到另一行或列(4) 矩阵初等变换的实质
3、是矩阵与初等矩阵相乘 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：为行矩阵，为列矩阵， 则(2) 矩阵的求法：若A可对角化，则有，于是(3) 若，则有且三、向量1、向量运算：2、线性表示对于向量组和向量，若存在一组数使得(1) 若有唯一解，则能由向量组唯一线性表示。(2) 若有无穷解，则能由向量组不唯一线性表示。(3) 若无解，则不能由向量组线性表示。3、线性相关性(1) 方程中有时线性相关，不全为零则线性无关。(2) 一组向量线性无关，则在每个向量相同位置添加分量后仍然线性无关。(3) 一组向量线性相关，则减少其中某些分量后仍然线性
4、无关。(4) 设有个维列向量组，时线性无关，时线性相关。(5) 设有个维列向量组，时时线性无关，时线性相关。4、向量内积：向量的对应元素之积（常数），即5、施密特正交化（三阶向量组）一线性无关向量组所对应的正交向量组为：四、线性方程组1、克莱姆法则方程组中，系数行列式时，方程有唯一解，且，其中是将行列式中第列元素用来代替(1) 当时，对应方程组称为元齐次线性方程组。(2) 克莱姆法则只适用于方程个数和未知量个数相等的线性方程组，若时法则失效。2、齐次线性方程组(1) 一定有解，当（即）时有非零解，当（即）时仅有零解。(2) 的基础解系不是唯一的，且基础解系中所含向量个数(3) 若为的解，则为的
5、解，其中为常数(4) 若和同解(5) 若和有公共解，则两方程组联立的新方程组有非零解，即3、非齐次线性方程组(1) (2) 若为的解，则为的解(3) 若为的解，且为对应的解，则为的解(4) 若为的特解，且为对应的通解，则为的通解(5) 若，则有个线性无关解，且有个线性无关解。(6) 若和同解五、特征值与特征向量1、基本定义(1) 特征值和特征向量：对于阶方阵，有非零向量使得成立，则为特征值，对应的为特征向量(2) 特征方程和特征多项式：求特征值时为特征方程，而为特征多项式。2、特征值的性质(1) (2) 不同特征值对应的特征向量特征向量线性无关(3) 一个特征值可能对应多个特征向量，一个特征向
6、量有且仅有一个对应特征值(4) 若为重特征值（重根）对应的线性无关特征向量个数(5) 若阶矩阵有个线性无关特征向量每个特征值重根数对应线性无关特征向量个数3、相似矩阵(1) 定义：若，则A与B相似。(2) 常用运算式：(3) 若A和B相似(4) 若A和B相似和相似A和B相似于同一个对角阵(5) 若，则有4、矩阵对角化(1) 定义：阶矩阵，若有，则称可对角化(2) 阶矩阵（特征值为且）可对角化的充要条件：若互不相等可对角化若中有个相等，且可对角化若中有个相等，且不可对角化5、正交矩阵(1) 是正交矩阵也是正交矩阵(2) 是正交矩阵的各行（列）是单位向量且两两正交(3) 都是正交矩阵是正交矩阵六、
7、二次型1、基本概念(1) 二次型(三元二次型)：(2) 标准二次型(三元二次型)：2、矩阵合同(1) 定义：若AB矩阵有，则称AB合同，记为(2) 设AB均为n阶实对称矩阵，则有相似合同，相似等价，反之不成立。(3) 若且有相同的正惯性指数正负特征值个数相同3、正定二次型和正定矩阵（为阶实对称方阵）(1) 定义：对阵矩阵的二次型如果对于任何非零向量都有则称为正定二次型，称矩阵为正定矩阵。(2) 为正定矩阵(3) 为正定矩阵为实对称矩阵(4) 为正定矩阵的正惯性指数(5) 为矩阵且为正定矩阵(6) 为正定矩阵且有非奇异矩阵C使得(7) 为正定矩阵为正定矩阵，但不能确定(8) 为正定矩阵且(9) 为正定二次型各阶顺序主子式全大于零，即：5
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