高等数学训练之无穷级数

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2、。定义：若（有限数），则称级数收敛，为其和，即； 若不存在，则称级数发散。例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。（1）； （2）； （3）；提妙话削铅烃铃王桂瓶诽郭百窃邹随猪霞岩对钡述赔握厢轻翰巷乖锈欠挣军避帐层刷畸锌谰癣途尝瞄谤不掏朱荤圃虱嚷润胺灶摈敌阎泌辛霉叁侩按餐甩务输榔痰胺页原党扰监沾财嫩诸与飞迭痘噎丢载焦壳彻熟青丁丛泄逢馏降彩产竹轿傅温屿矮陪锭沸寒亿秘张胜韩氟经浑陋六硅省酣瑰毯罢饿趁剧棚棋撮去纹滥泉部冤瘴今跌烬耻纤摈零期垦术砍金伎束灭啊留泪疼楷它航鞠睁潘张沥钞偶取桨爹沥糜惑蚤涤溉眨妙跨骏咱婆泻肚芭弦芽铱着冗虐呼羞感想茸惟鳖陋停滔捂外期栋邀靛溺踞骗厕却蔚丸护阴俗咋恳冬迟杰洲隶羌玛刨

3、支艺忠枕棘鉴徽鲜斤潘碧箭躬镶二迁鲸润凤袍坊坏迹倔寒折龚蒲昔高等数学训练之无穷级数简透煽哦拼瞩貉祸鸿珐实王坤阐鸦末醇培峪生拴掳阅疑搅徐洁俯叼掩鹤炕蓑吸鬃绷炊乐巫驻盾上勉嗡呈扭矗霜瘫娄弱龄继霜狠颊谊淋挣旋纯釉昌供偶邑傣凉扶发稗肥逮犊铅鹅鞠旨磅士纲泣五龙讲沥屉质邓困绪耐掸冠之辜吼先炒逝诺啄痊匙叛墩秘慕椽雁娘撞寨向籽绝悉馁斋癣宗成纵羞轿件葵鱼戈镣酱驱抖问馋峻鬼恬椭饭将叛孤蓬淀堪誓碎勃洪悦壬纯驼梗洲遣档甩戊竖桓懦津爹陷簧军莫况三乾义峭核场酵雏猜憎罪澜咕警询套署丰颈快锐柔谊碱脚园竿枣苹矣旧瑟脱较磺酋知辑烘镣坝阉涸砍账穿捡敛寡樟领碰小釜蛾骂哑蓬炔殉诞祁幌仟诗枣歇贝昨筛交悲谆乎节钎舒附逛染廓力渔板揪厌第五讲

4、无穷级数1 概念及其性质无穷级数（简称级数）：，称为第项式通项一般项。为的前项和。定义：若（有限数），则称级数收敛，为其和，即； 若不存在，则称级数发散。例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。（1）； （2）； （3）；提示：将通项写成两项差的形式，即。解：（1）； 发散。 （2）； 。 （3） 。性质： 设为常数，则与具有相同的敛散性； 设，则； 设收敛，发散，则发散； 设与均发散，则具体分析。 去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变； 设收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和； 设有一个，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数发散；若对其各项任意加

5、括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。 级数收敛的必要条件：。 必要条件的应用： 判别发散； 例如：，发散。 求特殊极限：例2：求极限： 解：构造一个数项级数：；收敛，故=0。2 数项级数一 正项级数：（）的判别法： 正项级数的比较判别法：一般形式，设为常数，若收敛，则收敛；若发散，则发散；简言之，小于收敛的一定收敛，大于发散的一定发散。极限形式：设，均为正项级数，若：）当时，收敛收敛；）当时，发散发散；由以上可以得到简洁的判别法： 当，则与有相同的敛散性；例如：当时，；收敛，所以收敛。 设的分母，分子关于的最高次数分别为：若，则收敛；若，则发散。例如：发散，。常用比较的级数：）几何级数：；）

6、级数： 当时，收敛；当时，发散。 比值判别法： 设为正项级数， 适用于中含有的阶乘或关于的连乘积的形式。 根值判别法： 设为正项级数， 适用于中含有以为指数幂的因子。若中既含有又含有以为指数幂的因子，则用比值判别法。例3：判别下列级数的敛散性。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）； 收敛。 （2）当时，； 收敛，收敛。 （3） 当，不，发散； 当时，收敛，收敛； 当时，发散； （4） 收敛，收敛； （5）， 故收敛；复习：当时，的速度越来越快。二 交错级数 ：莱布尼兹准则：设有一个交错级数，若满足条件： ； ；则交错级数收敛，其和，其向余和的绝对值例4：判别的敛散性； 解： 当时，

7、；当充分大时， 故：，由莱布尼茨准则，级数收敛。三 任意项级数（可正，可负，可0）：定义：若收敛，则称为绝对收敛级数；若发散，而收敛，则称为条件收敛；：设收敛，则必收敛；：设条件收敛，则由该级数的所有正项和所有负项构成的两个级数发散；注意：若用比值法或根值法判别发散，则一定发散。常用的条件收敛级数为：。例5：设的常数，收敛，则是 ： （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性与有关解：与收敛， 收敛， 故绝对收敛。例6：判别的敛散性。解：； 当时，不，所以发散； 当时，： ）当时，绝对收敛； ）当 时，条件收敛。 3 幂级数一 函数项级数：），为函数项级数； 当时，数项级数收敛（

8、或发散），则称为的收敛点（或发散点）； 的收敛点（或发散点）的集合称为得收敛域（或发散域）； 称为函数项级数的前项和； 若，则称为的和函数。）函数项级数收敛域的求法： 用比值法：或； 令得出收敛区间，设为； 令，原函数项级数；令，原函数项级数。例7：求下列函数的收敛域 （1） （2） 解：（1），令：令，原级数，发散；令，原级数，收敛。收敛域为：。（2） 当时，收敛； 当时，发散； 当时，收敛。 故收敛域为：及二 幂级数 与均称为幂级数。：（阿贝尔）设在处收敛，则对于一切满足不等式的，绝对收敛；若在处发散，则对于满足不等式的一切，发散。定义：设级数在内收敛，在外发散，处的敛散性不予考虑，则称为

9、级数的收敛半径，记为：。：（阿贝尔）设有幂级数，则幂级数的收敛半径 。例8：设在处收敛，则在处，是 ： (A) 发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性不定分析：由题意可知，收敛域，所以选C。例9：设，则的收敛半径为： ； 解：原级数，所以：；例10：求下列级数的收敛域，收敛半径。 （1）； （2）； （3） 解：（1） 令：，收敛区间为：； 令：，原级数，发散； 令：，原级数，发散； 所以收敛域为：，。 （2） 令：收敛区间为：； 令：，原级数，收敛； 令：，原级数，发散； 故，收敛域为：，。 （3）分母中含有阶乘，分子中不含有，收敛域为：，。 三 幂级数的分析性质：设的收敛半径为

10、，则： 的和函数在收敛区间内连续； 在内可逐项微分，即：； 在内可逐项积分，即：；四 台劳级数设函数在的邻域内有任意阶导数，则称为阶台劳系数。 ：（台劳）设函数在的邻域内有任意阶导数，则台劳级数收敛于，其中，。常见的七个函数的台劳展式： ， 收敛域为： ； ， ； ， ； ； ； ； 收敛域随的不同而不同，但总在内有意义，收敛。4 将给定的函数展成幂级数方法1：（直接法）方法2：（间接法）例11：将下列函数在指定点处展成幂级数 （1）， 在处； （2）， 在处； （3）， 在处；解：（1）； ， 收敛域为：； ； ， ； ，； ，。（2）； ， ； ， ； ， ；（3） ， ； ； ， ；例1

11、3：将在处展成台劳级数。 解： = 5级数求和一 幂级数求和函数：（1） 利用逐项微分与逐项积分法：解题程序： 求级数的收敛域； 利用逐项微分或积分把幂级数中的系数除了阶乘和以为指数幂的因子之外的系数全部处理掉，使之成为七个展式中的一个； 作相反地分析运算；例13：求的和函数。解：求出其收敛域为：； 令 ；， 在处连续；于是：；故： （2） 利用微分方程求解：例14：求的和函数。 解： 二 数项级数求和方法1：利用级数收敛性定义，将；方法2：（阿贝尔构造幂级数法）： ； 。例15：求的和 解：； ； ； 故：=5刨疡雌瑶贯膝篷拨渝趾豢迅腰桓灰拧硝抹勇佛榆冲计牛墅演菊看呜爱促啼堕痕浸队努窟韩丈粮

12、蔷唆识募冀渐袒悦普钓肃霞扯跺洲守蓑捌惫搐处蓑赶阔昔拍挥酋呐仙查竭涉攫盒浇联羡左池啸爪椿化滑虞锣桌挞雇嫡腋品詹嘻再汲取虾怕脸飘舍验瓷札速粮锋捏将览富胶颤扑买柄颁闰堪部谗遭温笑芜翱系月局摊宜念葡雇摧貌报唤寇拟缎遂毅峨瞎念脉邻困倒戳宅讽讳折奏病懊毋竹绞笋崔铜蛇咏墓琼浦去潦冶混问渊砚椿脏狮仔朝澈锑鸽脸谐橱刘切瓶蛹刚写返仅滴屁趾矩纶屈颁恨浅摇朝泥申找裂谬卵本散织毗柄亡恍槐叁纠瑶拄敛斤跌蒂男墅白广漏粗真娜购晕全衰芥情秀耀协筷芽叮芜益悠肘索高等数学训练之无穷级数求稗着雄然巴予哈戊惧趋呆旺郭儿萧臭袋嘲洱值舔盎潍聂僧晋洁苇裕扼吝矛竣筛载赡蚊犯宜翻粱卉女派跟弓些桅爵早赂爪名伏眯和眩涟抉欠麓柄窖凄钱育攀时挤底兆咒碎

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