高中数学人教版选修11习题：第二章2.12.1.2第1课时椭圆的简单几何性质 Word版含答案

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1、第二章圆锥曲线与方程2.12.1椭圆椭圆2.1.22.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第第 1 1 课时课时椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质A A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1 过原点作直线过原点作直线l l交椭圆交椭圆x x2 22 2y y2 26 6 于于A A，B B两点两点， 若若A A(2(2， 1)1)， 则点则点B B的坐标为的坐标为( () )A A( (1 1，2 2) )B B( (2 2，1)1)C C(1(1，2)2)D D( (2 2，1 1) )解析：依据椭圆的对称性知解析：依据椭圆的对称性知，A A、B B两点关于原点中心对称两点

2、关于原点中心对称，故选故选 D.D.答案：答案：D D2 2曲线曲线x x2 22525y y2 29 91 1 与曲线与曲线x x2 22525k ky y2 29 9k k1(1(k k9)9)的的( () )A A长轴长相等长轴长相等B B短轴长相等短轴长相等C C离心率相等离心率相等D D焦距相等焦距相等解析：两方程都表示椭圆解析：两方程都表示椭圆，由方程可知由方程可知c c2 2都为都为 1616，所以焦距所以焦距 2 2c c相等相等答案：答案：D D3 3椭圆以两条坐标轴为对称轴椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是一个顶点是(0(0，1313) )，另一个顶点是另一个顶点是( (

3、1010，0 0) )，则焦点则焦点坐标为坐标为( () )A A( (1313，0 0) )B B(0(0，1010) )C C(0(0，1313) )D D(0(0， 6969) )解析：由题意知椭圆焦点在解析：由题意知椭圆焦点在y y轴上轴上，且且a a1313，b b1010，则则c ca a2 2b b2 2 6969，故焦点坐标为故焦点坐标为(0(0， 6969) )答案：答案：D D4 4 已知中心在原点的椭圆已知中心在原点的椭圆C C的右焦点为的右焦点为F F(1(1， 0 0) )， 离心率等于离心率等于1 12 2， 则椭圆则椭圆C C的方程是的方程是( () )A.A.x

4、 x2 23 3y y2 24 41 1B.B.x x2 24 4y y2 23 31 1C.C.x x2 24 4y y2 22 21 1D.D.x x2 24 4y y2 23 31 1解析：设椭圆解析：设椭圆C C的方程为的方程为x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)，则则c c1 1，e ec ca a1 12 2，所以所以a a2 2，b b 3 3，所以所以 椭圆椭圆C C的方程是的方程是x x2 24 4y y2 23 31.1.答案：答案：D D5 5已知椭圆已知椭圆x x2 2mymy2 21 1 的焦点的焦点在在y y轴上轴上，且长轴长

5、是短轴长的且长轴长是短轴长的 2 2 倍倍，则则m m( () )A.A.1 14 4B.B.1 12 2C C2 2D D4 4解析：将椭圆方程化为标准方程为解析：将椭圆方程化为标准方程为x x2 2y y2 21 1m m1.1.因为焦点在因为焦点在y y轴上轴上，所以所以1 1m m1 1，所以所以 0 0m m1 1，由方程得由方程得a a1 1m m，b b1.1.因为因为a a2 2b b，所以所以m m1 14 4. .答案：答案：A A二、填空题二、填空题6 6已知椭圆已知椭圆C C：x x2 23 3y y2 23 3，则椭圆则椭圆C C的离心率为的离心率为_解析：椭圆解析：

6、椭圆C C的标准方程为的标准方程为x x2 23 3y y2 21 1，所以所以a a 3 3，b b1 1，c c 2 2，故故e ec ca a2 23 36 63 3. .答案：答案：6 63 37 7已知椭圆已知椭圆的短半轴长为的短半轴长为 1 1，离心率离心率 0 0e e3 32 2. .则长轴长的取值范围为则长轴长的取值范围为_解析：因为解析：因为 0 0e e3 32 2，所以所以 0 0e e2 23 34 4. .又因为又因为e e2 21 1b b2 2a a2 2，b b1 1，而而 0 01 11 1a a2 23 34 4，所以所以 3 34 41 1a a2 21

7、 10 0，所以所以1 14 41 1a a2 21 1，所以所以 1 1a a2 24 4，而而 1 1a a2 2所以所以 长轴长长轴长 2 2a a(2(2，4 4 答案：答案：(2(2，4 4 8 8若椭圆若椭圆x x2 2k k8 8y y2 29 91 1 的离心率的离心率e e1 12 2，则则k k的值等于的值等于_解析：分两种情况进行讨论：解析：分两种情况进行讨论：当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时，a a2 2k k8 8，b b2 29 9，得得c c2 2k k1 1，又因为又因为e e1 12 2，所以所以k k1 1k k8 81 12 2，解得解得k k4 4。当

8、焦点在当焦点在y y轴上时轴上时，a a2 29 9，b b2 2k k8 8，得得c c2 21 1k k，又因为又因为e e1 12 2，所以所以1 1k k9 91 12 2，解得解得k k5 54 4. .所以所以k k4 4 或或k k5 54 4答案：答案：4 4 或或5 54 4三、解答题三、解答题9 9分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)(1)离心率是离心率是2 23 3，长轴长是长轴长是 6 6；(2)(2)在在x x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为且焦距为 6.6.解：解

9、：(1)(1)设椭圆的方程为设椭圆的方程为x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)或或y y2 2a a2 2x x2 2b b2 21(1(a ab b0)0)由已知得由已知得 2 2a a6 6，e ec ca a2 23 3，所以所以a a3 3，c c2.2.所以所以b b2 2a a2 2c c2 29 94 45.5.所以所以 椭圆方程为椭圆方程为x x2 29 9y y2 25 51 1 或或x x2 25 5y y2 29 91.1.(2)(2)设椭圆方程为设椭圆方程为x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0

10、)如图所示如图所示， A A1 1FAFA2 2为一等腰直角三角形为一等腰直角三角形，OFOF为斜边为斜边A A1 1A A2 2上的中线上的中线( (高高) )， 且且| |OFOF| |c c， | |A A1 1A A2 2| |2 2b b，所以所以c cb b3 3 所以所以a a2 2b b2 2c c2 21818，故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x x2 21818y y2 29 91.1.1010设椭圆方程设椭圆方程mxmx2 24 4y y2 24 4m m( (m m0)0)的离心率为的离心率为1 12 2，试求椭圆的长轴长和短轴长试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标焦

11、点坐标及顶点坐标及顶点坐标解解：(1)(1)当当 00m m444 时时，长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8 3 33 3，4 4，焦点坐标为焦点坐标为F F1 10 0，2 2 3 33 3，F F2 20 0，2 2 3 33 3，顶点坐标为顶点坐标为A A1 10 0，4 4 3 33 3，A A2 20 0，4 4 3 33 3，B B1 1( (2 2，0 0) )，B B2 2(2(2，0 0) )B B 级级能力提升能力提升1 1设椭圆的两个焦点分别为设椭圆的两个焦点分别为F F1 1，F F2 2，过过F F2 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

12、P P，若若F F1 1PFPF2 2为为等腰直角三角形等腰直角三角形，则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为( () )A.A.2 22 2B.B.2 21 12 2C C2 2 2 2D.D. 2 21 1解析：因为解析：因为| |F F1 1F F2 2| |2 2c c，| |PFPF2 2| |2 2c c，所以所以| |PFPF1 1| | 2 2| |F F1 1F F2 2| |2 2 2 2c c. .所以所以| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2c c2 2 2 2c c. .又又| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，所以所以 2 2c

13、 c2 2 2 2c c2 2a a. .所以所以c ca a 2 21 1，即即e e 2 21.1.答案：答案：D D2 2已知已知ABAB为过椭圆为过椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1 中心的弦中心的弦，F F( (c c，0 0) )为椭圆的右焦点为椭圆的右焦点，则则AFBAFB面积的最大面积的最大值值为为( () )A Ab b2 2B BababC CacacD Dbcbc解析：设解析：设A A的坐标为的坐标为( (x x，y y) )，则根据对称性得则根据对称性得B B( (x x，y y) )则则AFBAFB面积面积S S1 12 2| |OFOF| |

14、2|2y y| |c c| |y y| |由椭圆图象知由椭圆图象知，当当A A点在椭圆的顶点时点在椭圆的顶点时，其其AFBAFB面积最大值为面积最大值为bcbc. .答案：答案：D D3 3已知点已知点P P为椭圆为椭圆x x2 22 2y y2 29898 上一个动点上一个动点，点点A A的坐标为的坐标为(0(0，5 5) )，求求| |PAPA| |的最值的最值解：设解：设P P( (x x，y y) )，则则| |PAPA| |x x2 2（y y5 5）2 2x x2 2y y2 21010y y2525. .因为点因为点P P为椭圆为椭圆x x2 22 2y y2 29898 上一点上一点，所以所以x x2 298982 2y y2 2，7 7y y7 7，则则| |PAPA| | 98982 2y y2 2y y2 21010y y2525 （y y5 5）2 2148148. .因为因为7 7y y7 7，所以当所以当y y5 5 时时，| |PAPA| |maxmax 1481482 2 3737；当当y y7 7 时时，| |PAPA| |minmin2.2.