精校版【冀教版】九年级上：第27章反比例函数全章教学案含答案

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1、最新精选优质数学资料最新精选优质数学资料第二十七章反比例函数1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式,理解并掌握反比例函数的概念.2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会用描点法画反比例函数的图像,根据图像和表达式探索并理解其性质.4.掌握反比例函数的图像和性质,能运用相关性质解决有关问题.5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.6.能根据实际问题确定变量之间的反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.1.经历从实际问题情境中探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发

2、展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数图像探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索实际问题中两个变量之间的反比例关系,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合

3、作探究的良好学习习惯.3.通过用反比例函数表示两个变量间的关系,并解决某些实际问题,体会数学模型思想、数形结合思想在实际问题中的应用,感受数学的价值,增强学好数学的信心.函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.对函数的认识需要经历由浅入深、螺旋上升的过程,本章内容是在学生已经学习了函数及其图像的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图像、性质、简单应用等基础上,类比研究一次函数的方法,较系统地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用.通过本章的学习,丰富函数模型的认识,进一步体会数形结合思想,提高用函数的观点解决实际问题的能力

4、,为研究二次函数积累更多的经验.本章内容从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是反比例函数的图像和性质的理解和掌握,通过画特殊的反比例函数的图像,归纳出一般反比例函数的图像特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.数形结合思想贯穿本章内容,从图像上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.本章重点是反比例函数的概念、图像、性质及应用,难点是反比例

5、函数图像的生成过程.根据学生的特点,依照前边学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数的联系、差异和综合运用.反比例函数作为重要的数学模型,在解决日常生活实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题及应用数学的能力.【重点】1.通过对实际问题情境的分析,确定反比例函数的解析式.2.会用描点法画反比例函数的图像,并能从图像中认识反比例函数的性质.3.能用反比例函数的性质解决简单的实际问题.【难点】1.能根据反比例函数图像特征及其性质解决有关问题.2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.1.数学

6、教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程,所以根据本章内容和呈现的特点,设计恰当的数学活动进行教学,给学生提供不同的实际背景,在理解情境的基础上,分析其中的数量关系,通过分析、归纳,抽象出数学关系,建立反比例函数模型,让学生充分经历建立反比例函数模型的过程,提高学生分析问题、解决问题及抽象概括的能力.2.反比例函数是初中阶段学习的一类重要函数,在初中教材中起着承上启下的作用,所以在教学中要处理好新旧知识之间的联系,通过复习函数及一次函数的有关内容,为本章的学习做好铺垫,类比一次函数的探究思路,通过表格中函数的变化规律,画出反比例函数图像,再通过观察图像归纳和概括反比例函数的性质,让学生

7、体会数形结合思想在数学中的应用,既加深学生对反比例函数的理解,又克服集中探索的困难.3.注重反比例函数的应用,增强学生的应用意识,对教材中涉及的一些实际问题和跨学科问题,利用问题中量与量之间的等量关系来解决,不应看做是单纯的公式变形,应将实际问题中的两个量视为变量,建立反比例函数模型,借助反比例函数的性质来解决问题,增强数学的应用意识.4.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.27.1反比例函数1课时27.2反比例函数的图像和性质2课时27.3反比例函数的应用

8、1课时回顾与反思1课时27.1反比例函数1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于

9、生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【难点】经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P128129.导入一:【课件展示】如图所示,当电路中的电压一定时.(1)怎样用电阻R表示电流I?(2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?(电流I随着R的增大而减小)(3)变量I是R的函数吗?为什么?(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)设计意图由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个

10、新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.导入二:【课件展示】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.在速度v,时间t与路程s之间满足:(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?【思考】这个函数是不是我们前边学过的函数?导入语问题(1)(2)中的函数是我们学过

11、的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.设计意图通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.导入三:复习提问:(1)什么是函数?什么是一次函数?(2)学习一次函数的基本思路是什么?【课件展示】以往研究函数的基本思路:导入语函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数反比例函数.设计意图通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易

12、从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.过渡语若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?这就是本节课要学习的内容.一、反比例函数的概念思路一【课件展示】1.要制作容积为15700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.【学生活动】

13、独立完成填空,小组内交流答案.1.15700S=2.10000v=3.y=教师引导学生思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?(4)请再举出几个具有这种特征的例子.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.设计意图通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.过渡语刚才同学们总

14、结的函数关系式,不是我们学过的函数类型,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!观察前面的三个函数关系式,思考:(1)这三个函数是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.在反比例函数y=中,自变量x

15、的取值范围是不等于0的实数.【思考】(1)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?(2)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:(1)反比例函数中,比例系数k0,自变量x0,函数值y0.(2)反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.(3)反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.设计意图通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的

16、形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.思路二【课件展示】出示下列几个问题:1.要制作容积为15700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.4.已知北京市的总面积为1.68104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)的函数表达式为.【学生活动】独立完成后,小组内交流答案,教师对

17、学生答案进行点评.1.15700S=2.10000v=3.y=4.S=教师引导学生思考:(1)每个事例中的中两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.设计意图问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.过渡语刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,

18、接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!1.反比例函数的一般形式.【课件展示】思考下列问题:(1)这四个函数都是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?问题提示:通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.理解反比例函数的概念.问题1反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?(提示:分式,其他的函

19、数都是单项式或多项式)问题2反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?(提示:都是不能为0的实数)问题3反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.设计意图通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.二、例题讲解过渡语我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.【课件展示】下列函数

20、:y=;y=;y=;y=;xy=2;y=.其中是反比例函数的是(填序号),它们的比例系数k分别是.解析按照反比例函数的概念判断,易得是反比例函数,其中k分别为5,0.4,2.答案5,0.4,2若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为.【师生活动】学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.解析根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:常数k0;自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-20,解得a=-2.故填-2.设计意图通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k0这一易错点.(教材129页例1)写出下列问题

21、中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.(1)y与x互为相反数.(2)y与x互为负倒数.(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a0).【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.解:(1)因为y+x=0,即y=-x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为xy=-1,即y=,所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(3)因为2xy=a,即y=,所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.设计意图通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.(教材129

22、页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.(1)写出这个反比例函数的表达式.(2)当x=-2时,求y的值.解析类比一次函数求解析式的方法待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.【师生活动】师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.解:(1)设y=.把x=4,y=6代入y=,得k=24.所以这个反比例函数的表达式为y=.(2)当x=-2时,y=-12.设计意图通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值

23、即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.知识拓展1.反比例函数y=(k为常数,且k0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k0),y=kx-1(k0)的形式.1.反比例函数的概念:一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.反比例函数满足的条件:(1)自变量的指数是-1;(2)比例系数不为0.3.反比例

24、函数的三种表示形式:y=;xy=k;y=kx-1.4.反比例函数自变量的取值范围:x0.1.下列函数中是反比例函数的是()A.y=2x+1B.y=C.y=D.2y=x解析:A中函数是一次函数,不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.2.反比例函数y=-中,k的值是()A.2B.-2C.-D.-解析:根据反比例函数定义可得,比例系数k为-.故选C.3.若函数y=(m-1)为反比例函数,则m的值是,此函数的表达式为.解析:根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-10,解得m=-1,此时函数表达

25、式为y=-.答案:-1y=-4.长方体的体积为103 m3,底面积为S m2,高度为d m,用d表示S的函数关系式为;当S=500 m2时,d=m.解析:因为体积V=Sd,所以S=,把S=500代入函数解析式,得d=2.答案:S=25.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.(1)写出y与x的函数表达式;(2)当x=时,求y的值;(3)当y=时,求x的值.解:(1)设y与x的函数表达式为y=,把x=1,y=代入,得,所以k=2,所以y与x的函数表达式为y=.(2)当x=时,y=2.(3)当y=时,解得x=.27.1反比例函数一、反比例函数的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第130页

26、习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第130页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是()A.正方形的面积S与边长a的关系B.正方形的周长L与边长a的关系C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系2.下列函数中,不是反比例函数的是()A.y=-B.y=C.y=D.3xy=23.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是()A.y=B.y=-C.y=-D.y=-4.若y=(a+1)是反比例函数,则a的值为()A.1B.-1C.1D.任意实数5.已知y是x的反比例函数,并且当x=-3时

27、,y=-2,则y与x的函数关系式为.6.已知反比例函数y=中,k=-12,则当x=2时,y=;当y=-4时,x=.7.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数表达式是.(不考虑x的取值范围)8.已知y与x的函数解析式为y=.(1)请完成下表:x-3-113y(2)求当x=-10时函数y的值;(3)求当y=6时自变量x的值.【能力提升】9.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,如此继续下去,则y2014=.10.已知一个长方体的体积是100

28、cm3,它的长是y cm,宽是5 cm,高是x cm.(1)写出用高表示长的解析式;(2)当x=3时,求y的值.【拓展探究】11.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x=4时,求y的值.【答案与解析】1.D(解析:正方形的面积S与边长a的关系为S=a2,不是反比例函数关系;正方形的周长L与边长a的关系为L=4a,不是反比例函数关系;长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系为S=20a,不是反比例函数关系;长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系为a=,是反比例函数关系.故选D.)2

29、.C(解析:A,B,D符合反比例函数的定义,C函数中的分母不是单项式,所以不是反比例函数.故选C.)3.B(解析:把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)4.A(解析:根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+10,解得a=1.故选A.)5.y=(解析:设y与x之间的关系式为y=,把x=-3,y=-2代入,得k=6,所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.)6.-63(解析:把x=2代入y=-,得y=-6;把y=-4代入y=-,得-4=-,解得x=3.)7.y=(解析:根据梯形的面积公式可得,y=60,化简得y=.故填y=.)8.解:(1)-1-331(2)当x=

30、-10时,y=-.(3)当y=6时,6=,解得x=.9.-(解析:把x=代入,得y1=-,则x2=-+1=-,所以y2=2,则x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-,观察y1=y4,所以三组循环出现,2014除以3余数为1,所以y2014=y1=-.)10.解:(1)y=.(2)当x=3时,y=.11.解:(1)设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2=k1x+.把x=1,y=4;x=2,y=5代入,得解得所以y=2x+.(2)当x=4时,y=24+.本节课精心设计教学导入环节,通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,通过回顾由成正比例的量抽

31、象出正比例函数的过程,自然引出由一对反比例的量抽象出什么样的函数,把学生带入课时学习的情境之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸,让学生亲身经历知识的形成过程,做到真正理解和掌握反比例函数的概念.教学中依据教材的情境,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.在复习一次函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在

32、衔接的困难.在形成概念的过程中,教师设计了一些引导学生思考的小问题,在小组合作交流的过程中,给学生思考时间较少,学生自我学习和交流不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好地引导.本节课的学习内容是经历问题情境建立反比例函数模型的过程,需要联系以往的函数知识,所以教师在课前给学生足够的时间回顾一次函数的概念及学习思路,为本节课的学习打下基础,在生活实际问题中建立函数关系式,观察函数关系式的特点,学生通过独立思考、小组合作交流,共同归纳反比例函数的概念,经历知识的形成过程,提高归纳总结能力.补充例题巩固反比例函数的概念,把重点放在巩固基础上,而不是强调对知识的综合练习

33、.练习(教材第129页)1.解:(1)(3)(5)是反比例函数;(2)(4)(6)是正比例函数.2.解:t=.习题(教材第130页)A组1.解:(1)是,k=12.(2)是,k=.(3)是,k=-3.(4)不是.2.解:m=.3.解:(1)ABC的面积=ah=20,a=.(2)当h=2时,a=20.B组1.解:(1)W=.(2)当x=9000000时,W=200,故水资源人均占有量为200立方米.2.解:(1)由得m=或m=-.当m=或m=-时,y是x的正比例函数.(2)由得m=-2. 当m=-2时,y是x的反比例函数.此时,原函数解析式可化简为y=-,当y=8时,x=-.重视教学策略的设计1

34、.本节课要学习的内容是反比例函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受反比例函数的特征和意义,从而形成对反比例函数的初步认识,本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及待定系数法求函数关系式.教师引导学生分析实际问题,并用关系式表示实际问题中的等量关系,从而引出反比例函数的概念,让学生获得反比例函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,同时学生通过主动探究,获取了知识,丰富了数学活动的经验,逐步学会学习.2.对于九年级的学生来说,之前已经学习过一次函数和正比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,可以在此基础上用类

35、比的方法继续深入学习反比例函数,所以在学习本节课内容时,要重视新旧知识之间的联系,如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等有关概念,为学习反比例函数做好铺垫.27.2反比例函数的图像和性质1.会用描点法画出反比例函数y=的图像.2.能根据图像和函数表达式y=理解反比例函数的性质,并能灵活运用解决相关问题.3.理解反比例函数中比例系数k(k0)的几何意义.4.初步建立反比例函数解析式与图像之间的关系.1.经历画反比例函数的图像和探索反比例函数性质的过程,获得研究函数性质的经验.2.通过观察反比例函数图像探究函数性质,进一步体会用数形结合思想研究函数的性质.3.经历知识的形成过程,了

36、解从特殊到一般的认识探究过程,发展观察、分析、归纳和概括能力及动手能力.1.经历观察、交流、分析、归纳等数学过程,获得探究数学问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辩证关系,培养严谨的科学态度,感受数学美,并发现学习的乐趣.3.在数学学习过程中,体验学习数学的成功感,领悟学习数学的乐趣.【重点】用描点法画反比例函数的图像;探索反比例函数的图像特点和性质.【难点】探究反比例函数的图像特点和性质的过程及比例系数的几何意义.第课时1.会用描点法画出反比例函数y=的图像.2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.1.经历画反比例函数的图

37、像并观察函数图像的过程,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2.经历画反比例函数图像的探究过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.1.经历观察、思考、交流等数学活动,获得探索数学知识和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习过程中,体验学习数学的成功感,领悟和感受数学美,发现学习的乐趣.【重点】用描点法画反比例函数的图像.【难点】探究反比例函数的图像特点的过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】练习本上画两个平面直角坐标系.导入一:复习提问:1.以前学习一次函数时,用什么思路和方法研究的?(先根据函数解析式画出函数的图像,然后观察、

38、分析、归纳得到函数的性质)2.一次函数的图像是什么?(直线)3.画函数图像的基本步骤是什么?(列表、描点、连线)4.什么是待定系数法?如何用待定系数法求一次函数的解析式?【师生活动】学生思考回答,教师对学生的答案进行点评.导入二:思考并回答下列问题:1.点(2,3)在正比例函数y=kx的图像上,你能求出这个正比例函数的表达式吗?将点(2,3)代入y=kx,得k=,所以函数表达式为y=x2.判断点(1,2)是否在正比例函数y=2x的图像上?点(-1,-2),(3,6)呢?你是如何判定的?(点(1,2)在函数y=2x的图像上;点(-1,-2),(3,6)也在函数y=2x的图像上;将点的坐标代入函数

39、解析式,满足函数解析式,所以点在函数的图像上)教师归纳:判定点是否在函数图像上,将点的坐标代入函数解析式,判断是否满足函数解析式即可.设计意图通过复习画函数图像的基本步骤、判断点是否在函数图像上导入新课,为本节课的学习做好铺垫,通过复习研究一次函数的基本思路和方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度,激发学生学习本节课的兴趣.过渡语这节课我们共同学习画反比例函数的图像.探究活动描点法画反比例函数的图像活动一:画反比例函数y=的图像.思路一教师引导思考:(1)该函数中自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?(2)画函数图像列表时,取哪些x的值使函数图像完整、准

40、确?(3)在课前准备的平面直角坐标系下描点.(师生共同完成列表)(4)如何用平滑的曲线连接各点?(5)从左到右连线时,图像与x轴、y轴有没有交点?为什么?(6)仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数y=的图像吗?【课件展示】(1)列表:x-6-4-3-2-112346y=-1-1.5-2-3-66321.51(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数y=的图像.【师生活动】教师引导,学生思考回答,并按照共同完成的表格数据画出函数图像,教师巡视过程中发现画图像时出现的典型错误,点拨画图像时的易错点.教师强调连

41、线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量x、函数值y的取值范围可得函数图像与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图像时与画一次函数时不同,坐标轴把图像分成两部分.设计意图在教师提出的问题的引导下,师生合作,经历用描点法画函数图像的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图像的本质,经历知识的形成过程,进一步体会数形结合思想.思路二任务要求:按照画函数图像的步骤,在课前准备的平面直角坐标系下,画出函数y=的图像.【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线整个画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后再展示典型画图错

42、误.【课件展示】(1)列表:x-6-4-3-2-112346y=-1-1.5-2-3-66321.51教师强调:在x的取值范围内列出函数对应值表,取值不能太少,也不能只取正值.(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.教师强调:描点时横纵坐标易混淆.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数y=的图像.教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图像时,不能将左右两个图像连接起来.追问:1.观察画出的反比例函数y=的图像,它与坐标轴有交点吗?为什么?2.仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数y=的图像吗?【师生活动】学

43、生观察图像思考后,小组合作交流,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答进行点评.设计意图通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图像的过程,进一步了解用描点的方法画图像的基本步骤,培养了学生动手操作能力,经历了知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生的合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程,加深了学生对画函数图像的理解和认识.活动二:画出反比例函数y=的图像.【师生活动】学生在课前准备的平面直角坐标系中独立完成画图,小组内交流所画图像是否正确,教师课件展示正确图像,强调画图像时的易错点.过渡语一次函数的图像是一条直线,那么反比例函数的图像是什么呢?思考:比较反比例函数y=与y=的图像,指

44、出它们的共同特征.(图像都是由两部分组成,分别位于两个不同的象限,且关于原点对称,两部分在单个象限内增减性一致等)【师生活动】学生观察所画出的两个图像,指出共同特征,教师点评,课件展示双曲线的定义.【课件展示】反比例函数y=(k为常数,且k0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成,这样的曲线叫做双曲线.设计意图通过学生独立完成画反比例函数图像,巩固画函数图像的步骤,通过观察思考两个反比例函数图像的共同特征,为后边探究反比例函数性质做好铺垫.例题讲解(教材132页例1)已知点P(-6,8)在反比例函数y=的图像上.(1)求这个反比例函数的表达式.(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是

45、否在这个反比例函数的图像上.【思考】1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?(函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上)2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入?(反比例函数表达式中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可)3.如何判断点是否在反比例函数图像上?(将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,给学生足够的时间思考归纳,并对学生的回答进行点评归纳.完成思考归纳后,学生独立完成解答并板书,教师规范书

46、写格式.解:(1)把点P(-6,8)的坐标代入y=,得8=.解得k=-48.所以这个反比例函数的表达式为y=.(2)当x=4时,y=-12.当x=2时,y=-2424.所以,点M(4,-12)在这个反比例函数的图像上,点N(2,24)不在这个反比例函数的图像上.设计意图通过例题加深学生对反比例函数表达式和图像之间关系的认识,是数形结合思想方法的深入应用,让学生感悟由“数”到“形”,又由“形”到“数”的过程,体会数形结合思想在数学中的应用;学生在教师的引导下逐步思考解决问题,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.知识拓展1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.2.反比

47、例函数y=(k0)的图像的两个分支关于原点对称.3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x0,y0.1.画反比例函数图像的步骤及注意事项.2.反比例函数的图像是两条曲线,它们关于原点对称.3.反比例函数y=与y=的图像特征.4.待定系数法求反比例函数表达式.1.(2015绥化中考)如图所示,反比例函数y=(x0时,y随x的增大而,此时,其图像的相应部分在第象限.7.反比例函数y=(k0)的图像经过点(2,5),若点(1,n)在此反比例函数的图像上,求n的值.【能力提升】8.已知一次函数y=x+1的图像与反比例函数y=的图像相交

48、,其中有一个交点横坐标是2,则k的值是.9.如图所示,菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=(x0)的图像经过顶点B,则k的值为.10.已知反比例函数y=(m为常数)的图像在第一、三象限.(1)求m的取值范围;(2)如图所示,若该反比例函数的图像经过ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0),求反比例函数的解析式.【拓展探究】11.(2015宜宾中考)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是矩形,ADx轴,A,AB=1,AD=2.(1)直接写出B,C,D三点的坐标;(2)将矩形ABCD向右平移m个单位,使点A,C恰好同时落在反比

49、例函数y=(x0)的图像上,得矩形ABCD.求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式.【答案与解析】1.A(解析:将各点坐标代入验算,满足y=-的点即为所求,易得点(3,-2)满足y=-.故选A.)2.A(解析:设反比例函数的解析式为y=,把A(3,-4)代入,得k=-12,即y=-,把B(-2,m)代入,得m=-=6.故选A.)3.A(解析:反比例函数y=的图像位于第二、四象限,k-10,即k0,一次函数y=kx-k的图像与y轴的交点在y轴的负半轴,且该一次函数值y随x的增大而增大,一次函数y=kx-k的图像经过第一、三、四象限.故选B.)5.2(解析:由题意得m2-5=-1,解得m=

50、2,它的图像在第一、三象限,m+10,解得m-1,m=2.故填2.)6.增大四(解析:k=-0时y随x的增大而增大,此时,图像的相应部分在第二象限.)7.解:把点(2,5)代入y=,得k=25=10,所求的反比例函数的解析式为y=,把点(1,n)代入,得n=10.8.6(解析:把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,所以该交点坐标为(2,3),把(2,3)代入反比例函数解析式中,得k=23=6.故填6.)9.32(解析:过C点作CDx轴,垂足为D,点C的坐标为(3,4),OD=3,CD=4,由勾股定理可得OC=5,OC=BC=5,点B的坐标为(8,4),反比例函数y=(x0)的图像经过顶点B

51、,k=32.故填32.)10.解:(1)根据题意得1-2m0,解得m0)的图像上,(-3+m)=(-1+m),解得m=4,A,k=,y=.本节课主要内容是画反比例函数的图像,分析函数图像的特征,在学生的动手操作、合作交流、共同归纳的过程中完成.在教学设计中首先复习用描点法画函数图像的步骤,为学习新知识做好铺垫,然后让学生自己经历画反比例函数图像的过程,学生亲身经历由特殊到一般的知识的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.在数学活动中注重发挥学生的主体作用,让数学课堂充满生命力,让学生成为课堂的主人.例题加深了学生对函数图像和表达式之间的关系的理解,提高了学生分析问题、解决问题的能力,让学生

52、体验到学习中的快乐.本节课的重点是让学生经历画反比例函数图像的过程,体会数形结合思想在探究函数知识中的重要作用,学生虽然熟悉画函数图像的步骤,也理解了反比例函数中自变量的取值范围,但在用平滑的曲线连接时,由于未接触过这类函数图像,造成连线出现错误较多,教师应及时引导,避免学生在画图像时耽误时间太多.分析例题时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,建立图像和表达式之间的联系,以达到学生对待定系数法的真正理解.在教学设计导入环节,给学生充足时间复习画函数图像的步骤,为本节课画反比例函数的图像做好铺垫.通过学生动手操作,在坐标系下画同一类函数图像是本节课的重点,所以教学设计中,

53、教师引导学生逐步进行画图,给学生足够的时间动手操作,观察函数图像,体会数形结合思想,经历由特殊到一般的过程,培养学生抽象概括的能力和激发求知的欲望,实现学生自己动手、主动探索、合作交流式的学习.练习(教材第133页)2.解:(2)是反比例函数的图像,它的表达式是y=-.习题(教材第133页)A组1.解:y=的图像位于第一、三象限内,y=-的图像位于第二、四象限内.画出的函数图像如图所示.2.解:(1)根据题意,得-5=,解得k=-10,所以反比例函数的表达式为y=-.(2)函数图像如图所示.B组1.解:(1)画出的函数图像如图所示.(2)设点A的横坐标为a,纵坐标为b,则b=-.OC=,OB=

54、|a|,矩形OBAC的面积= OCOB =|a|=|-8|=8.2.解:点B在函数图像上.理由:设点A(m,n),点A,B关于原点对称,点B(-m,-n).点A在函数y=的图像上,n=.-n=-,即点B(-m,-n)也在函数y=的图像上.注重合作交流,渗透数学思想1.本节课的重点是进一步让学生熟悉描点法画函数图像的过程,体会数形结合思想.在设计上使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的形成过程,逐步培养学生抽象概括能力和激发求知欲望,让学生在轻松愉悦中突破难点.在教学设计上要注重学生动手、动脑,让学生自己尝试画出函数图像,在经历中逐步完善描点法画函数图像的步骤,为探究反比例函数的性质做好铺垫.

55、待定系数法是求函数解析式常用的方法,待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段,在其他学科中也有着广泛的应用,所以本节课的学习也为后边的学习打下了基础.2.数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的,其实学生也是课程资源的开发者,教师要还学生课堂学习的主体地位,把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,为学生提供展示自己聪明才智的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.充分利用合作交流的形式,能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区,以便指导今后的教学.如图所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重

56、合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;(2)若反比例函数y=(x0)的图像经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图像上;(3)若反比例函数y=(x0)的图像与MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.解:(1)设直线DE的解析式为y=kx+b,点D,E的坐标分别为(0,3),(6,0),解得y=-x+3.点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,点M的纵坐标为2.又点M在直线y=-x+3上,2=-x+3,解得x=2.M(2,2).(2)y=(x0)的图像经过点M(2,2),m=4,y=.又点N在BC边上,B(4,2),点N的横坐标为4.点N在直线y=-x+3上,y=1,N(4,1).当x=4时,y=1,点N在函数y=的图像上.(3)4m8.第课时1.能根据反比例函数y=的图像理解和掌握反比例函数的性质.2.能运用反比例函数的性质解决有关问题.3.了解反比例函数y=中比例系数k的几何意义.1.通过观察反比例函数的图像探究反比例函数的性质,感受反比例函数表达式与图像之间的联系,体会数形结合思想的魅力.2.引导学生类比一次函数的研究方法,探究反比例函数的图像