电磁学的对称美

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1、14电磁学的对称美摘 要: 本文着重阐述了电磁学中的麦克斯韦方程组的对称美。还介绍了平面电磁波理论中的对称美和偶极振子辐射中的对称美，最后还介绍了对称性原理的应用。通过这些介绍让读者感受到电磁学的对称美。关键词: 电磁学；对称美；麦克斯韦方程组；平面电磁波；偶极振子辐射Symmetrical Beauty of ElectromagnetismAbstract: This paper expounds the Maxwells equations of electromagnetism symmetrical beauty, This paper introduces the electric

2、 charge space equal symmetrical beauty of Maxwells equations drawn symmetrical beauty. The plane is concise and introduced electromagnetic radiation of the dipole vibrator symmetrical beauty, at last, this paper introduces the principle of symmetry. In this first chapter give readers before lists th

3、e development of classical electromagnetismKeywords: Electromagnetic; symmetry; Maxwells equations; Plane Electromagnetic Wave; dipole radiation前 言：对称美源于人们对自然界对称性的欣赏与追求, 它是一个古老而又常新的概念, 就其发展形态来说,它大致经历了直观唯象阶段、理性抽象阶段和数学变换阶段。经典电磁学的创立，是物理科学发展史上的又一个美德丰碑，它集中反映在各种自然力的统一与和谐美以及经典物理学美的力作麦克斯韦电磁理论等方面。于十九世纪七十年代，建

4、立起来形式上十分优美的麦克斯韦方程组，由此把电磁相互作用及其运动规律完美的表现出来，并且更进一步的找到了电磁学与光学的联系，发现电磁波在真空中传播的速度和真空中的光速完全相等，因此证明了光也是电磁波。这也充分显示了电场和磁场以及时间和空间的明显对称性美。电磁学的对称美还体现在偶极振子辐射的过程中。1 麦克斯韦方程组的对称美1865 年, 麦克斯韦在英国皇家学会上宣读了其举世瞩目的论文电磁场的动力学理论, 在这篇论文中, 他提出了伟大的麦克斯韦方程组. 这个方程的伟大之处体现在三个方面, 首先, 它对电磁理论做出了正确地描述, 体现了科学的“真”; 其次, 利用它可以造福人类, 又有“善”的一面

5、; 同时, 它被誉为“19 世纪最美的方程”, 有人甚至称之为“像诗一样美的方程组”。麦克斯韦最初给出的是20 个方程与20 个变量, 如(1)-(8) 式所示（公式1）（公式2）（公式3）（公式4）（公式5）（公式6）（公式7）（公式8）这就是最初的麦克斯韦方程组, 麦克斯韦指出:“在这些电磁场方程中, 我们共设了20个变量, 即电磁动量F, G, H; 磁强度,; 电动力P , Q, R; 真空传导电流p , q , r; 电位移f , g , h; 总电流p, q, r; 自由电量e; 电势. 应该说, 最初的这组麦克斯韦方程从数学形式上来讲并不简单, 后来经O.亥维塞与赫兹的归纳整理后

6、形成了现代常用的麦克斯韦方程组。如下式（公式13）（公式12）（公式11）（公式10）（公式9）（公式15）（公式14）从整个麦克斯韦方程组的发展过程可以看出, 一个物理方程, 当其数学形式越来越简单时, 每个方程所表示的物理内涵却越来越丰富, 其内容也越来越深刻 概括性亦越高, 同时抽象程度也越深。麦克斯韦方程组的建立过程以及未来的发展趋势都与追求物理理论思维的对称性与物理方程形式的对称性密不可分, 这一过程既是唯象的, 又是抽象的, 它们是交替进行的.1820 年, 奥斯特发现电流会产生磁场, 按照对称性思维, 磁场也会产生电流, 这一思想的提出其实是唯象的, 也就是说物理学家只是觉得它应

7、该是这样的, 至于为什么是这样还不清楚。这一推论最终由法拉弟通过实验得以证实。 根据法拉弟电磁感应定律, 所谓磁场会产生电流, 实际上是变化的磁场才会使导体产生电流, 大量实验表明, 静态磁场并不会使导体产生电流。麦克斯韦认为, 变化的磁场之所以会使导体产生电流, 是因为变化的磁场产生了涡旋电场, 这已经上升到理性抽象阶段。同时, 麦克斯韦进一步运用对称性思维, 他认为变化的电场也会产生磁场, 这便是位移电流的提出。所以，对称性思想对麦克斯韦方程组的建立起到了指引方向的作用。麦克斯韦方程组的表达形式也比较对称, 人们经常将它看成物理方程数学形式对称的典范, 如MV 劳厄称之为“美学上真正完美的

8、对称形式”。但需要指出的是, 真空中的麦克斯韦方程组才具有完全对称的数学形式, 而介质中的麦克斯韦方程组并不完全对称, 造成这种现象的原因是由于电场中存在自由电荷,而磁场中不存在自由磁荷(即不存在磁单极子) , 倘若存在自由磁荷, 那么由自由磁荷的定向移动形成自由磁流, 这样一来, 麦克斯韦方程就应改写成如( (公式16) (公式19) ) 形式, 此时麦克斯韦方程就变得高度对称。（公式19）（公式18）（公式17）（公式16）正是在这种对称性思想的指引下, 许多物理学家坚信麦克斯韦方程的最终形式应该是这样的, 虽然现在没有找到磁单极子, 但并不表示它不存在, 况且根据狄拉克的理论, 磁单极子

9、应该是存在的,所以，物理学家对磁单极子的寻找一直没有停止过。当然也有人提出不同看法, 他们认为物理世界所谓的对称性是相对的, 而不对称是绝对的, 世界上任何对称的东西都存在自发破缺现象, 所以没有找到磁单极子也是正常的。现代物理学对对称性的讨论更为关注其最后一种形态, 即数学变换的不变性。数学变换的不变性是在群论理论上发展过来的, 用通俗的话来讲, 是指一组方程经过一个变换法则后，得到一组新的方程,如果这组新的方程与原来方程形式保持不变, 那么这组方程相对这一变换来讲就是对称的。例如, 牛顿定律经过伽利略变换保持不变, 所以牛顿定律相对伽利略变换来讲是对称的。当麦克斯韦建立了麦克斯韦方程组以后

10、, 人们发现, 麦克斯韦方程组在伽利略变换中具有不对称性, 这说明人们应该找到新的变换法则, 以使得麦克斯韦方程组经过它变换后保持不变, 而且新的变换法则应该包含伽利略变换, 这个新的变换法则就是洛仑兹变换。当物体运动速度远远小于光速时, 洛仑兹变换又回到了伽利略变换, 伽利略变换仅是洛仑兹变换的一个速度远小于光速的极限。因此, 麦克斯韦方程具有更高层次的对称性。在电磁理论与相对论的发展历史中, 爱因斯坦是采用与上面相反的逻辑, 他首先根据狭义相对论的两个基本假设, 导出洛仑兹变换, 然后由此导出麦克斯韦方程, 即他摒弃了18 - 19 世纪占主导地位的动力学方法, 向不变性理论转化, 将对称

11、性放到了首位。杨振宁先生在谈到这一转变时指出:“爱因斯坦不是从实验上已证实了的麦克斯韦方程组出发, 去追问这些方程组的对称性是什么, 而是把局面颠倒过来, 从对称性出发去发问方程组应当怎样。把原先的地位颠倒过来的这一崭新的程序, 我曾称之为对称性支配相互作用。2 电磁波理论的对称美2.1 平面电磁波的解在自由空间中麦克斯韦方程组（公式16-19）可改写为（公式20）（公式21）（公式22）（公式23）将它们在直角坐标系中写成分量的形式。设平面波沿+z轴传播，则波面垂直于z轴。为简单起见，我们假设振幅也与x，y无关。这样可得上式表明，电场矢量和磁场矢量沿波传播的方向的分量和是与任何时空变量无关的

12、常量，它们与我们这里考虑的电磁波无关，可以假定=0，=0.从这里我们得到电磁波的第一个重要的性质，即它是横波。经如上的条件可得空间麦克斯韦方程组在直角坐标系中的展开式（公式24）（公式25）（公式26）（公式27）前面我们在取坐标时对x，y轴在波面内的取向未作任何具体规定。如果我们取x轴沿E矢量的方向，则E只剩下沿x的一个分量。这样一来分量也是一个与任何时空变量无关的常量。这分量也与电磁波无关，可以设它为0。由此可见若E矢量沿x方向，H矢量就沿y方向，它们彼此垂直。即电场矢量和磁场矢量是彼此垂直的。最后只剩下公式25和26了，略去下标可得（公式28）（公式29）公式28是法拉第电磁感应定律，它

13、反映着磁场的变化激发涡旋电场；公式29的右端的位移电流，此式相当于公式28中的E和H对调，它反映着电场的变化激发磁场。E和H两个场变量就这样联系在一起了，它们相互感生、相互激发，同时并存。为了了解这一联立方程，只需将一个式子对z取偏微商，另一式子对t取偏微商，便可把一个场变量消去。消去H矢量的方程为（公式30）同理，消去E矢量的方程为（公式31）这两式具有完全相同的形式，这类偏微分方程叫做波动方程，因为它们具有波动的形式。为了证明这一点，我们把E和H设成沿z方向传播的简谐波，它们可用如下的复数形式来表示：（公式32） 将公式32带入公式28和29并利用k和的关系两端的模量相等。2.2 平面电磁

14、波的性质由麦克斯韦方程组经假设推到后可得到自由空间内传播的平面电磁波的性质有以下几点：（如图1）2.2.1电磁波是横波：电矢量E和磁矢量H都与单位波矢k垂直，即2.2.2电矢量与磁矢量垂直，即2.2.3 E和H同相位，并且在任何时刻、任何地点，EH的方向总是沿着传播方向k的。图1：平面电磁波简图2.2.4 E和H的幅值和成比例：3.2.5电磁波的传播速度为它在真空中的传播速度为2.3 偶极振子的对称美 偶极振子是了解电磁现象特别是电磁波的产生原理、传播机制以及电磁场的物质性等的基础,它形式简单而又能体现出电磁相互作用的一般特性,而且实际的天线辐射可以分解为偶极振子辐射的叠加。可见,对于偶极振子

15、的讨论,无论从有利于学生的认识发展还是从理论研究抑或从实际应用的角度看,都具有极重要的意义。图2：偶极振子附近电力线变化过程示意图电磁辐射振源模型是偶极子，它可看作是偶极矩p作间歇振荡的偶极子：它可看作是由一对相对作简谐振动的正、负电荷组成的。也可以看作是一段导线，其中有交变电流，其两端所积累的电荷也正负交替地变化着。计算表明，偶极振子周围电场强度矢量E位于子午面内，磁场强度矢量H位于与赤道面平行的平面内，两者互相垂直。从振子附近电场分布的情况看，空间大体可分为两个区域，现分别讨论如下：1在靠近振子中心的一个小范围内（即离振子中心的距离r）称之为波场区。这里电场与磁场的分布情况比较简单，电场线

16、都是闭合的。当距离r增大时，波面渐趋于球形，电场强度矢量E趋于切线方向。也就是说，在波场区内E垂直于矢径r。上面只描述了电场线分布及其变化过程，实际上整个过程都有磁场线的参与。无论在上述哪个区域里，磁场线都是平行于赤道面的一系列同心圆，故H同时与E和r垂直。前面曾指出，E和r也是彼此垂直，所以E、H和r三者构成一个局域的直角坐标架。每根环形磁场线的半径都随时间不断向外扩张。电场线环和磁场线环之所以会不断向外扩张，是因为如前所述，它们是相互激发、相互感生的。它们所激发的电磁场是关于两电荷连线的完全轴对称的，这样电偶极子振动就不断的向外空间发射具有对称美的电磁波。3 对称性原理在电磁学中的应用在我

17、们研究和讨论的问题中, 常常会遇到一些具有对称性的问题。在讨论这些问题时,如果我们利用对称分析的方法去讨论, 往往会使我们讨论的间题简化。皮埃尔 居里在18世纪90年代就提出了对称性原理, 它在力学、热学、电磁学、原子物理、固体物理等中都有广泛的应用。3.1 对称性原理在我们的日常生活中经常会看到具有对称性的例子。对称性的概念最初来源于生活, 在艺术、建筑等领域中, 所谓“ 对称” , 通常是指左右对称。例如, 人体本身就有近似的左褥对称性。而在现代物理学中, 对称性是个很深刻的问题, 左右对称只是各种对称中的一种,除此之外, 还有轴对称、球对称等概念, 这些都是我们比较熟悉的。在数学和物理学

18、中对称性的概念是比较深刻的, 它是在逐步发展着, 在今天它已具有十分广泛的含义。我们知道自然规律反映了事物之间的因果关系, 而因果关系可归结为下列公式：等价的原因等价的结果这就是因果性的等价原理。但对于具有对称性的原因和结果, 等价原理可写成下列公式对称的原因对称的结果在这里应注意, 上述原理中箭头是单向, 即对称的结果也有可能来源于不对称的原因, 所以我们说：原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少哟原因中的对称性那样多。反过来说结果中的不对称性必在原因中有反应，即原因中的不对称性至少有结果中不对称性那样多。以上原理叫做“对称性陈理” , 它是皮埃尔 居里于年首先提出的。利用对称性

19、原理可论证基础物理学中的很多间题, 但是当给出的“原因” 不足以唯一地确定“结果时” , 则不能利用对称性原理。然而, 如果在这种情况下我们将可能出现的全部“结果”放在一起考虑,“原因”中所表现的对称性就会恢复。例如代数方程显然此方程对的变换是不变的, 即它对于这种变换是对称的。但上述代数方程中的两个根中哪一个对上述变换都不对称。这是因为我们所给的“原因” （方程）不足以唯一地确定“结果”根。然而此方程全部根的集合仍具有方程式本身的对称性,类似这样的例子在物理学中是很多的。所以在存在唯一性的情况下, 可将对称性原理的表述修改如下：原因中的对称性必反映在全部可能结果的集合中，即全部可能结果的集合

20、中的对称性至少有原因中的对称性那样多。这样对称性原理又可用了。3.2 应用举例在对称的条件下必然有对称的结果，例如点电荷具有球对称性，故电场的分布必然的球对称的，这便是“对称性原理”。在普通物理的各门课中电磁学里对称性原理的应用特别突出。除旋转、平移外，还有一种几何变换具有特殊的重要作用，即“空间反射操作”在空间反射变换下的不变性叫做镜像对称。 假设一镜面在前取一右手坐标系，它在镜面后成的像为左手坐标系。如果x轴和y轴与面平行，z轴与之垂直，则轴、轴分别x轴、y轴平行，轴与z轴反平行。这便是镜像反射操作或镜像反射变换。图9：电场分量图求带电圆环轴线上任意一点电场强度E的方向。建立如图9所示的坐

21、标系，其中X轴和Z轴在带电圆环所在的平面内，y轴为圆环的轴线。取对称操作为围绕y轴的旋转，则图中P点处电场强度E的各分量变换为根据对称性原理有由此可以看出，对于x分量和z分量前后结论矛盾，除非由此可见，电场强度E唯一不为零的分量只能是，即E的方向只能与y轴平行。 结束语：当今的电磁学，正以全息的方式反映着一种新的、人与自然和谐的世界观。只有真正人爱物理学、热爱大自然的人才能全身心的投入，理解电磁学的美，努力揭开未知世界的奥秘。进一步讲，物理科学也是一切智力劳动的基础，是打开只是宝库的金钥匙。揭示电磁学的对称美，正是为了激发人们对它的热爱，进一步把美德追求引向真和善的彼岸，为科学创造和技术发明提

22、供新的动力和新的方法。而电磁学的对称美也许正是一把我们打开着未知世界的钥匙。主要参考文献1张相轮，程民治，物理科学美论2涂平华，经典电磁学发展里程概述，内江科技2009年第8期3刘键平，论麦克斯韦方程组的美，西南师范大学学报，第33卷，第6期4赵凯华，陈熙谋，电磁学，高等教育出版社7郭硕鸿，电动力学(第二版)，高等教育出版社5易双萍，欧阳玉，浅谈偶极振子辐射的图示，大学物理，第19卷，第10期6钟志龙，对称性原理在电磁学中的应用，韶关大学学报，第15卷，第12期致 谢本课题在选题及写作过程中得到尹晓峰老师的悉心指导。在此我要真心的地感谢尹老师的帮助！另外我还要感谢在做毕业设计过程中给予我极大的帮助的同学，以及其他一起愉快度过大学生活的各位同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能顺利地完成学业、论文。再次表示衷心的谢意！