复变函数教案

《复变函数教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数教案（94页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月复数是世纪人们在解代数方程时引入的年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著重要的艺术一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为 和，积为但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的因而复数在历史上长期不能为人民所接受“虚数”这一名词就恰好反映了这一点直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西），（魏尔斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作进行的到本世纪，复变

2、函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用第一章1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商幂与根运算.重点：德摩弗公式.难点：德摩弗公式.课时：2学时.1 复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，称为虚单位两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，因此，全体实数是全体复数的一部分实数

3、为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或设复数，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分

4、“数”和“点”及“数集”和“点集”3复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1 显然，对于任意复数均有， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2 （三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为 由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件 的一个值为的主角或的

5、主幅角，则有 注意：当时，其模为零，幅角无意义从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有 同时我们引进著名的欧拉公式： 则可化为 与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有 因此 ， 公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当时可得 此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有 公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式

6、： 例求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图 ）的参数方程为例 平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例 平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.作业:第42页 2,3,4 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义 满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点的，记为显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义 设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，则称为的内

7、点定义 若的每个聚点都属于，则称为闭集若的所有点均为内点，则称为开集定义 若，均有则称为有界集，否则称为无界集2. 区域与约当曲线定义 若非空点集满足下列两个条件： 为开集 中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.定义 若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义 区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域的几个例子例 平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例 平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例与例所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域例 上半平面 下半平面 它们都以实轴为边界，且均为无界区

8、域左半平面 右半平面 它们都以虚轴为边界，且均为无界区域例 图1.4所示的带形区域表为.其边界为与，亦为无界区域例 图 所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域定义 设及是两个关于实数在闭区间上的连续实数，则由方程 所确定的点集称为平面上的一条连续曲线，称为的参数方程，及分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；的简单曲线称为简单闭曲线若在上时，及存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线定义 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线定义（约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分为、三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质

9、： 图1.5彼此不交与一个为有界区域（称为的内部），另一个为无界区域（称为的外部）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿绕行一周时，的内部（或挖）始终在的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为的正方向（或负方向）定义设为复平面上的区域，若内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域例如，例所示的区域均为单连通区域，例所示的区域为多连通区域（请读者针对定义自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9 复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复

10、变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1 复变函数概念定义 设为一复数集，若存在一个对应法则，使得内每一复数均有唯一（或两个以上）确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值（或多值）函数，称为函数的定义域，值的全体组成的集合称为函数的值域 例如，及 均为单值函数，及均为多值函数今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数设是定义在点集上的函数，若令，则、均随着、而确定，即、均为、的二元实函数，因此我们常把写成 若为指数形式，则又可表为 其中，均为、的二元实函数由和两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面上的点集和复平面上的点集之间的一个对应关系（

11、映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）故今后我们也不再区分函数、映射和变换3. 复变函数的极限和连续性定义 设于点集上有定义，为的聚点，若存在一复数，使得，当时有 则称沿于有极限，记为定义的几何意义是：对于，存在相应的，使得当落入的去心时，相应的就落入的这就说明与的路径无关即不管在上从哪个方向趋于，只要落入的去心内，则相应的就落入的内，而在数学分析中，中只能在轴上沿着的左，右两个方向趋于，这正是复分析与数学分析不同的根源今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，均写成可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：若极限存在，则极限是唯一的

12、与都存在，则有 另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理 设函数于点集上有定义，为的聚点，则的充要条件及证明：因为从而由不等式可得 及 故由即可得必要性部分的证明由可得充分性部分的证明定义设于点集上有定义，为的聚点，且，若则称沿于连续根据定义，沿于连续就意味着：，当时，有与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：若，沿集于点连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母不为零）沿点集于连续若函数沿集于连续，且，函数沿集于连续，则复合函数沿集于连续其次，我们还有定理 设函数于点集上有定义,则在点连续的充要条件为：,沿于点均连续.事实上,类似于定理

13、的证明,只要把其中的换成,换成即可得到定理的证明.例 设 试证在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设,则因此故不存在,从而在原点不连续.定义 若函数在点集上每一点都连续,则称在上连续,或称为上的连续函数.特别地,当为实轴上的区间时,则连续曲线就是上的连续函数其次,若为闭区域,则上每一点均为聚点,考虑其边界上的点的连续性时,只能沿的点来取.与数学分析相同,在有界闭集上连续的伏辩函数具有以下性质：在上有界,即,使得 在上有最大值和最小值.在上一致连续,即,使对上任意两点,只要就有作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17第二章 解析函数1解析函数的概念与柯西

14、-黎曼方程教学目的与要求: 了解复变函数的导数与微分; 掌握复变函数解析的充要条件; 理解柯西-黎曼条件.重点：函数解析的概念与柯西-黎曼方程.难点：函数在一点解析的概念.课时：2学时.复变函数的导数与微分定义2.1 设函数在点的邻域内（或含的区域内）有定义，若极限（）（2.1）存在，则称此极限为函数在点的导数，记为，这时也称在点可导定义2.2 若函数在点可导，则称为函数在点的微分，记为或即（2.2）此时也称在点可微特别地，当时，于是（2.2）变为即由此可见，在复变函数中，在点可导与在点可微是等价的函数由在点可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，因此数学分析中求导基本公式，

15、均可类似地推广到复变函数中来同时，与数学分析中一样，函数在点可微，则在点连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得例2.1 在平面上处处不可微证明：由第一章习题11，知在平面上处处连续，但对于任意一点当取实数趋于零时，上述极限为，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在点平面上处处不可微如果函数在区域内每一点都可微，则称在区域内可微例2.2 （为正整数）在平面上可微，且即解析函数及其简单性质定义2.3 若函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数（或全纯函数、

16、正则函数）此时也称在区域内解析解析函数是复变函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关以后说到在某点解析则表示在该点的某一邻域内解析，说在闭域上解析，则表示在包含的某个区域内解析因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（）若在区域内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在内不为零）也在内解析，且（）（复合函数求导法则）设在区域内解析，在区域内解析，若均有，则在内解析，且例2.3 设多项式，则由例2.2及基本性质（）知，在平面上解析，且例2.4 设，则由例2.2及基本性质（）知有对于参数方程，则可直接由定义2.1求得柯西（）黎曼（）条件（简称条

17、件）设下面我们来探讨的可微性与二元实函数及之间存在的关系若在点可微，且设（2.3）又设，其中则（2.3）变为（2.4）由于当不论按什么方向趋于零时，（2.4）式总是成立，因此我们可以先设，即点沿着平行于实轴的方向趋于点（图），图2.1则此时（2.4）变为由此即知均存在，且有（2.5）同理，设，即点沿着平于虚轴的方向趋于点（图），此时（2.4）变为故亦都存在，且有（2.6）由（2.5），（2.6）及复数相等性质可得，（2.7）（2.7）称为柯西黎曼条件或柯西黎曼方程，简称为条件总结上述讨论，即得：定理2.1 （可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则有（）在点处偏导数都存在；（）

18、，在点满足条件，但定理2.1的逆不成立例2.5 函数在满足定理2.1的条件，在不可微证明但是由于因此当沿着射线随着时，它是一个与有关的值，故不存在，即在不可微，但是，只要适当加强定理2.1的条件，就可得到定理2.2 设在区域内有定义，则在内一点可微（或在内解析）的充要条件是：（），在点（或在内）可微；（），在点（或在内）满足条件当上述条件满足时，有(2.8)例2.6 讨论的解析性解：只在处满足条件，故只在可微，因此在平面上处处不解析例2.7 试证在平面上处处解析，且证明：，在平面上处处可微，且满足条件，故由定理2.2知在平面上处处解析且由公式（2.8）知作业: 第90页 2, 3, 4(1)

19、(3) 5(2) (4), 6(1) (3)初等解析函数教学目的与要求: 掌握指数函数与三角函数的性质,掌握它们与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.重点：指数函数与三角函数的性质与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.难点：指数函数与三角函数的性质.课时：2学时. 指数函数定义2.3 对于任意复数，则规定（2.9）为复指数函数复指数函数具有以下基本性质：(1) 当（为实数）时，则即为通常的实指数函数(2) （故），(3) 在平面上解析，且（例2.7）(4) 加法定理成立，即(5) 以为基本周期因为对任意整数，(6) 不存在因为当沿实轴趋于时，当沿实轴趋于时，在关系式(2.9

20、)中，当时就得到欧拉公式即(2.9)是欧拉公式的推广三角函数由(2.9)式，当时，有从而有据此，我们给出复三角函数的定义如下：定义2.4 规定为复数的正弦函数和余弦函数容易验证，这种定义的正弦和余弦函数具有如下性质：(1) 当为实数时,与通常的实正弦和余弦函数一致(2) 它们都在平面上解析，且(3) 是奇函数，是偶函数，且通常的三角恒等式亦成立，如，等等例如(4) 及均以为基本周期同理可证(5) 的零点（即的根）为（）的零点为（）(6) 在复数域内，不等式不成立例如，取（），则当时，故不成立例2.8 对任意复数，若，则必有（为整数）证明：即有从而或由性质(5)知或故推得（为整数）与实三角函数一

21、样，我们可定义其它的复三角函数：定义2.5 规定，为复数的正切、余切、正割、余割函数这四个函数均在平面上除坟墓为零的点外解析，且正切、余切的基本周期为，正割、余割的基本周期为作业:第91页 7, 9 10 (1) (3), 13 (1)3初等多值解析函数教学目的与要求: 了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质.重点：初等多值解析函数多值产生的原因.难点：支点与单叶性区域的划分；初等多值解析函数多值产生的原因.课时：4学时.定义2.6 设函数在区域内有定义，且对内任意不同的两点及，都有，则称函数在内是单叶的.并且称区域为的单叶性区域.1 根式函数定义 2.7 规定根式函数

22、为幂函数的反函数.（1） 幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域. 幂函数在平面上单值解析，它把扩充平面变成扩充平面，且分别对应于.可是由知道，每一个不为零或的，在平面上有几个原像.且此个点分布在以原点为中心的正角形的顶点上.于是在平面上就是值的.设则成为.由（2）知，（1）把从原点出发的射线变成从原点出发的射线，并把圆周变成.(如图2.2)图2.2当平面上的动射线从射线扫动到射线时，在变换下的像，就在平面上射线扫动到射线，从而，平面上的三角形就被变成平面上的角形. 特别，变换（1）把平面上的角形变成平面除去原点及负实轴的区域.一般地，变换（1）把张度的个角形.都变成平面除去原点及负实轴的区域

23、.下图是的情形. 图2.3区域是（1）的单叶性区域的充要条件是：对于内任一点，满足下面等式的点不属于.即：幂函数的单叶性区域，是顶点在原点，张度不超过的角形区域.（2） 分出的单值解析分支. 设出现多值性的原因是由于确定后，其辐角并不唯一确定.今在平面上从原点到点任意引一条射线（或一条无界简单曲线）.将平面割破.割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域，记为.在内随意指定一点，并指定的一个辐角值，则在内任意的点，皆可根据的辐角，依连续变化而唯一确定的辐角. 设（给定，只有一个与之对应）则是区域上的单值解析函数.事实上，由于与都是连续函数.故也是的连续函数.又解每一个为的一个解析分支.（3）的支

24、点与支割线.定义：设为多值函数，为一定点，作小圆周，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.定义2.8 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.附：支割线可以有两岸.单值解析分支可连续延拓到岸上.支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.例2.9 设定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且.求的值.解：求：当时，由知.作业：第93页 22 ，23二、对数函数1、定义2.9 方程的根称为

25、的对数，记为. 设 则当时，称为主值（支）.注：区别和.例2.10 2、性质： 证： 注： 三、指数函数的变换性质及其单叶性区域设 由 知 （ ）故变换若即 为单叶性区域若则 故 四分出的单值解析分支设，令（为固定的整数）则在内单值解析.证： 都连续，故连续.显然在内单值连续， 记 它们都在内可微. （极坐标下的条件） 在内解析.这时， ， 五以为支点，连接任一（广义）简单曲线可作为其支割线.（支割线通常是连接支点的简单曲线）.例2.10 设定义在沿负实轴割破的平面上，且（是下岸相应点的函数值）求的值.解： 求值：六、一般幂函数与一般指数函数定义2.10：为一般的幂函数. 一般地说，它是多值函

26、数.并以为支点，又称为一般的指数函数，它是无穷多个独立的单值函数.例2.11 1）求解：2）求解： 七、反三角函数1）反正切：反正切规定为方程的根的全体. 它与对数函数有如下关系：即例2.12 求解：2、反正弦 反正弦规定为方程的全体根，它与对数函数有如下关系： 即（其中表示双值函数）例2.13 求解：3、反余弦 反余弦规定为方程的根的全体.它与对数函数的关系为（其中表双值函数）八、具有有限个支点的情形函数的支点，其中为任意的次多项式.是的一切相异零点.分别是它们的重数，合于有以下结论： （a）、(1)的可能支点为和. （b）、当且仅当不能整除时，是的支点. （c）、当且仅当不能整除时，是的支

27、点. （d）、若能整除中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变点沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.例2.14 求的支点；及的支点.解：1）可能的支点是 图 2.4 的终值较初值增加了一个因子是支点.同理是支点. 的值并不改变，故不是支点. 2）、 解：可能的支点为 ，故是支点. 同理是支点. 故是支点.例2.15 试证在将平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在点取负值的那个分支在的值.解：设 .则当时，当且仅当取负值故所取分支为作业 第9394页 20（1）（3）第三章 复积分1复积分的概念及其简单性质教学目的与要求: 掌握复变函数积分的概念,积分存在的

28、条件及积分计算法和性质.重点：复变函数积分存在的条件及其计算法和性质.难点：复变函数计算法和性质.课时：2学时.1.复积分的定义 为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均制光滑或逐段光滑曲线， 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线，其方向在第一章已经作过规定，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可定义3.1设有向曲线以为起点，沿有定义，在上从到的方向取分点：把曲线分成个弧段（图.）图3.1在从到（）的每一个弧段上任取一点，作和数其中（）且设若（为复常数），则称沿（从到）可积，称为沿的积分，记为称为积分路径，同时表示沿的负方向的积分显然，若沿可积，则沿有界，另一方面，我们有定理3.

29、1 若沿曲线连续，则沿可积，且（3.1）证明：设则上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数，而在定理的假设条件下，及均沿连续，因而这两个曲线积分均存在，故积分存在且有（3.1）式公式（3.1）说明：复积分的计算问题可以转化为两个二元实函数的曲线积分的计算问题例3.1设表示连续点和的任一曲线，则 (1) (2) 证明：(1)因为所以故(2) ，分别选取和，则得及由定理3.1可知积分存在，因而存在故所以特别地，当为围线时，有，复积分的计算设光滑曲线的参数方程为：又设沿连续，则且由公式 (3.1) 可得即有（3.2）公式（3.2）称为复积分的变量替换公式例3.2 （重要的例子）其中是以为心，

30、为半径的圆周证明：因为的参数方程为：故由公式 (3.2) 得因此，时，当为整数且时，注意：此积分值与半径无关3. 复积分的基本性质设，沿曲线连续，则复积分具有与实曲线积分相类似的下列性质：(1) (是复常数)(2) (3) ，其中由曲线和连续而成(4) 定理3.2 设沿曲线连续，且，使得，均有，为的长度，则（3.3） 证明：由不等式取极限即得（3.3）式例3.3 计算积分其中积分路径（图.）为：图3.2(1) 连接由点到点的直线段(2) 连接由点到的直线段及连接由到点的直线段所组成的折线解：(1) 连接及的直线段的参数方程为：故(2) 连接与的直线段的参数方程为：连接与的直线段的参数方程为：作

31、业: 第141页 1 2 3 (1)柯西积分定理教学目的与要求: 掌握柯西积分定理及推广.重点：柯西积分定理及推广到复周线的情形.难点：柯西积分定理推广到复周线的情形.课时：4学时.1. 柯西积分定理 从所举的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被积函数在单连通区域平面上解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值都是相同，即积分与路径无关，但在例3.3中，被积函数在平面上处处不解析（见第二章习题），而积分值却与连接起点与终点的路径无关我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域任何闭曲线的积分值是否为零的问题1825年，柯西得到了如下著名的柯西积分定理：定理3.3 设在平面上的

32、单连通区域内解析，为内任意一条围线，则1851年，黎曼在附加条件“在内连续”的情况下，给出柯西积分定理一个简单的证明：黎曼证明：令，由公式 (3.1) 得由假设在内连续，从而在内连续，且满足条件：根据格林（）定理有，因此1900年，古莎（）在去掉在内连续的条件下证明了柯西积分定理，由于其证明较长，故略去不证由柯西积分定理的性质 (3) 可得定理3.4 设在单连通区域内解析，为内任意一条闭曲线（不必为简单闭曲线），则推论3.5 设在单连通区域内解析，则对于内任意两点与，积分值与连接起点与终点的路径无关证明：设与是内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成内的一条闭曲线，从而由柯西积分定

33、理及的性质（）有因此不定积分由推论3.5知道，如果在单连通区域内解析，则沿内任意一条曲线的积分只其起点和终点有关，因而当起点固定时，对于一个，就唯一地确定了一个积分值，这说明当固定时，积分就定义了内的一个单值函数，记为(3.5) 定理3.6 设在单连通区域内解析，则由(3.5)定义的函数在内解析，且证明：，作一个以为心，以充分小的为半径的圆，使得，在内取动点，则由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由沿与相同的路径到，再从沿直线段到（图.3）图3.3从而有于是但已知在内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有，从而由定理3.2有即由以上的证明过程我们可得到一个更一般的定理：定

34、理3.7 设 (1) 在单连通区域内连续(2) 沿区域内任一条围线的积分为零，则函数（为内一定点）在内解析，且（）定义3.2 设在区域内连续，则称满足条件（）的函数为的一个原函数对于的任意一个原函数，由定理3.7 知（）因此有（为复常数）即（3.6）在（3.6）中令，即得因此我们得到若为的任意一个原函数，则定理3.8 （牛顿莱布尼兹公式）在定理3.6或定理3.7的条件下，（） ( 3.7 )例3.5求 解：因为在平面上解析，为的一个原函数，故由（3.7）式即得.例3.6 求解：因为在平面上解析，且为它的一个原函数，故.作业: 第142页 4 (1) (3) 5柯西积分定理的推广首先，容易证明柯

35、西积分定理3.3与以下定理是等价的：定理设是一条围线，是的内部，在闭区域上解析，则其次，我们还可将定理3.3作更进一步的推广定理3.9 设是一条围线，是的内部，在内解析，在上连续，则.下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.定义3.3 考虑条围线,其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在的内部. 在的内部同时又 在外部的点集构成一个有界的多连通区域,以为它的边界.在这种情况下,我们称区域的边界是一条复围线,它包括取正方向的,以及取负方向的.换句话说,假如观察者沿复围线的正方向绕

36、行时,区域的点总在它的左手边.定理3.10 设是由复围线所围成的有界多连通区域, 在内解析,在上连续,则: ,或写成: , (3.8)或写成 . (3.9) 证 取条互不相交且全在内(端点除外)的光滑弧作为割线.用它们顺次的与连接.设想将沿割线割破,于是就被分成两个单连通区域(如图3.4)是的情形),其边界各是一条围线,分别记为和.而由定理3.9,我们有 图3.4将这两个等式想加,并注意到沿着的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到 .从而有(3.8)和(3.9).作业: 第142页 4 (2) (4)柯西积分公式及其推论教学目的与要求:

37、 掌握柯西积分公式;解析函数的高阶导数;理解柯西不等式;掌握刘维尔定理.重点：柯西积分公式；刘维尔定理.难点：柯西积分公式.课时：4学时.柯西积分公式定理3.10 （柯西积分公式）设围线是区域的边界，在内解析，在上连续，则（）（3.9）证明：对于任意固定一点，则函数作为的函数在内除点外解析现以点为心，充分小的为半径作圆周，使对于复围线及函数，应用定理3.10的（3.8）式有而由例3.2知因此又根据的连续性知对，只要时，就有（）于是由定理3.2知由的任意性即知，有（）（3.10）故有例3.7求，其中为圆周.解：因为在闭圆上解析所以满足定理3.11的条件，故由（3.10）式有又知这是因为在平面上解

38、析当区域为圆的特殊情形，我们可得到如下的解析函数的平均值定理：定理3.12 若函数在圆内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值证明：设表示圆周，则，（）故根据柯西积分公式（3.10）得 2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式（3.10）形式地在积分号下求导后得：（）（3.14）再求导一次得（）由此我们推得定理3.13在定理3.10的条件下，函数在区域内有各阶导数，且有（）（3.15）证明：首先，当时，我们证明（3.14）式成立，应用（3.10）我们有() 因此 由定理3.11的条件知，使得均有，从而因此由定理3.2知故对，只要，有即有于是（3.14）式成立可以用

39、数学归纳法类似于的情形，在假设时（3.15）成立，证明时（3.15）式也成立，只是稍微复杂一些，故略去不证例3.8 计算其中是绕一周的围线解：因为在平面上解析，故应用公式（3.15）得由定理3.13，我们可得到解析函数的无穷可微性：定理3.14 设在区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也都在内解析证明：，则我们作一个以为心，以充分小的为半径的圆使得此闭圆全含于内，则由定理3.13和在此圆内有各阶导数，特别地在有各阶导呼，再由的任意性即推得在内有各阶导数定理3.14说明，只要在区域内解析，（仅假设在内存在），就可推出的各阶导数在内存在且连续，而在数学分析中，由在上存在且连续，还不能推出在上存

40、在，这就是复变函数较之实变函数优越的地方作业:第142页8 9 (1) 10柯西不等式与刘维（）定理利用定理3.13我们可以得到一个重要的导数估计式：定理3.15 （柯西不等式）设在区域内解析，为内一点，区域包含于，则有（）其中证明：应用定理3.13于上，则有（）由柯西不等式，我们又可得到：刘维尔定理：平面上解析且有界的函数必为常数证明：设的上界为，则对任意的，均有，于是在柯西不等式中当时有（为平面上任意一点）由的任意性即知有，再由的任意性知在平面上有故在平面上恒为常数（见第二章习题）我们现在利用刘维尔定理来简洁地证明代数基本定理代数基本定理在平面上，次多项式（）至少有一个零点证明：（反证法）

41、假设在平面上无零点，由于在平面上解析，从而在平面上也是解析的其次，由于所以于是，使得，又因为在上连续，故，使得（）从而在平面上有即在平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，为常数，故亦为常数，与已知为多项式矛盾，定理得证摩勒拉（）定理柯西积分定理说明，只要在单连通区域内解析，则对内任一围线均有，我们现在证明其逆也是正确的摩勒拉定理设函数在单连通区域内连续，且对内任一围线，有，则在内解析证明：在假设条件下，由定理3.7知，函数（）在内解析，且（）再由定理3.14知在内还是解析的，此即说明在内解析的摩勒拉定理从另一方面刻划了解析函数的性质，因此亦可用它作为解析函数的等价定义作业:第143页 11 1

42、2 154 解析函数与调和函数的关系教学目的与要求: 了解解析函数与调和函数的关系；掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法.重点: 掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法.难点：共轭调和函数.课时：2学时.在前一节,我们已经证明了,在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择与才能使函数在区域D内解析。设在区域D内解析，则由C-R条件 ,得 , 因在D内连续，它们必定相等，故在D内有 同理，在D内有 即及在D内满足拉普拉斯（Laplace）方程： 这里是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。定理3.5如果二元实函数

43、在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程,则称为区域D内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中.定义3.6在区域D内满足C-R条件 的两个调和函数中,称为在区域D内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理3.18若在区域D内解析,则在区域D内必为的共轭调和函数.现在接着上面的讨论.反过来,如果是任意选取的在区域D内的两个调和函数,则在D内就不一定解析.要想在区域D内解析,及还必须满足C-R条件.即必须是的共轭调和函数.由此,如已知一个解析函数的实部 (或虚部)就可以求出它的虚部 (或实部）。假设是一个单连通区域，是区域内的调和函数，则在内有二阶连续偏导

44、数，且 即:在内有一阶连续偏导数，且 由数学分析的定理，知道是全微分，命 (3.21)则 （3.22）,其中是内的定点,是内的动点，是一个任意常数，积分与路径无关。将（3.22）式分别对求偏导数，得这就是C.-R.条件.由定理3.15知在内解析.故得定理3.19 设是在单连通区域内的调和函数,则存在由（3.22）式所确定的函数,使是内的解析函数.注 (1) 如单连通区域包含原点,则（3.22）式中的显然可取成原点(0,0)；如非单连通区域，则积分（3.22）可能规定一个多值函数.(2) 公式（3.22）不必强记,可以先如下去推（3.21）：由，然后两端积分之。(3) 类似地，然后两 端积分，有

45、 思考题 （1）“是的共轭调和函数”，其中是否可以交换顺序？（2）如果是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是什么？例3.15 验证是平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使合解 因在平面上任一点, ,故在平面上为调和函数.(图3.5) 图3.5法一故 要合必故法二 先由C.-R条件中的一个得故 .再由C.-R条件中的另一个得故 即 因此 (下同法一)作业: 第143页 16(1)(3)第四章 复级数1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数.课时：2学时1

46、.复数项级数 定义4.1 复数项级数就是 其中为复数 定义4.2 对于复数项级数，设 若存在，则称级数收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数收敛，则 其次，由复数的性质易于推得定理4.1 设 其中均为实数，则级数收敛的充要条件为基数与均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有定义4.3 若级数收敛，则称级数为绝对收敛.由关系式及及定理4.1即可推得.定理4.3 级数绝对收敛的充要条件为：级数及绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数.例1.对于级数当时，由于 ，而当时，于是因此级数收敛且有

47、，显然，当时，级数亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数 为定义在上的复函数项级数.定义4.5 设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于，或者说级数和函数记作 定义4.6 如果，使得当时，对任一，均有则称级数在一致收敛于.与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数在上一致收敛的充要条件是：，使当时，对任一及均有 由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 魏尔斯特拉斯-判别法 设在点集上有定义 为一收敛正项级数，若在上成立则级数在上一致收敛于，则在上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设在复平面点集上连续，级数

48、在上一致收敛于，则在上连续.定理4.7 设在简单曲线上连续，级数在上一致收敛于，则.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数在区域内解析,如果级数在内任一有界闭区域上一致收敛于函数,则称级数在内闭一致收敛于.由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理 设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数,则在内解析,且在内成立 证明: ,取,使得.在内任作一条简单闭曲线,根据定理及柯西定理推得.因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析.其次,设的边界,由已知条件得在上一致收敛于,从而在上一致收敛于,根据定理,我们有 即 于是定理结

49、论成立.作业:第178页 1.2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质.难点：幂级数在收敛圆周上的性质.课时：2学时定义 形如 的级数称为幂级数,其中是复变量, 是复常数.特别地,当时,级数就变为 幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数的收敛性.显然,当时,级数总是收敛的.当时,则有定理 如果幂级数在收敛,则对任意满足的,级数绝对收敛.若级数在发散,则对任意满

50、足的,级数发散.证明: 级数在收敛. 从而,使得 其次,级数可写成,因此由于级数收敛,故级数绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数,使得级数当时绝对收敛,当时发散.称为级数的收敛半径, 称为收敛圆,当时,我们说的收敛半径是,收敛圆为复平面.当时,我们说的收敛半径是,收敛圆只有一点,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于的情况.通常,幂级数的收敛半径可用以下公式求得:定理 (柯西阿达玛公式).若以下条件之一成立. 则当时, 的收敛半径,当,时, .下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理 设幂级数的收敛圆为.则它的和函数. 在内解析,且

51、 证明:事实上,对,则在上由定理知级数在上绝对收敛,从而根据判别法知在上一致收敛,故在中内闭一致收敛,在内, 的和函数解析且成立,由的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.例 级数 的收敛半径为由于在收敛圆上,此级数一般不趋于,因而在上级数处处发散,但其和函数却除处处解析.例 级数的收敛半径为在收敛圆上, 而级数收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)3解析函数的泰勒展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式.难点：泰勒

52、定理证明.课时：2学时一定理(泰勒展式)设函数在圆内解析,则在内 证明: ,以为心作一圆,且使,(如图)则由柯西公式 而当时, ,因此有 由于右端级数当时是一致收敛的,把代入后逐项积分得 其中 由为内任意一点知定理成立.结合定理与我们就可推出:推论 幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即 推论 函数在一点解析的充要条件是: 在的某一邻域内有泰勒展式.与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式.二 求泰勒展式的方法1求Taylor系数= 如求在z=0的展开式=1 = , =1+z+= 2.利用级数的运算。如 如 在展开 =3逐项微分法 如： 逐项积分法。 如：求在的展开式。（主支

53、）（其中取K=0分支，即分支）又 一般地=ln(1+z)+ 5级数代入级数法 如 作业: 第178页 5(1) (3) 7(1) (3)4.解析函数的零点及唯一性教学目的与要求: 理解解析函数零点的孤立性; 理解唯一性定理;掌握最大模原理.重点:解析函数零点的孤立性;唯一性定理;最大模原理难点：解析函数零点的孤立性; 理解唯一性定理;课时：2学时定义 设函数在的邻域内解析且，则称为的零点.如果在内的泰勒展式为： 则可能有下列两种情形：，此时在内不全为，则存在正整数，使得且对一切均有，此时我们说为的阶零点，时称为的单零点，时称为的重零点.设为解析函数的一个阶零点，则在的某个邻域内 其中在内解析.

54、由,使得当时, 于是,此即说明存在的一个邻域使得在此邻域内为的唯一零点.根据上述讨论,我们有:定理设函数在解析且,则或者在的一个邻域内恒等于,或者存在的一个邻域,在其中是的唯一零点.定理的后一个性质称为解析函数零点的孤立性.关于解析函数的唯一性问题,我们先证明下述引理:引理 设在区域内解析,如果在中的一个圆内恒等于,则在内恒等于.证明:设在内一个以为心的圆,内,对于的任意一点,用在内的曲线连接及,设 取,并在上依次取.使.且它的任意相邻两点间距离小于,再作每一点的邻域 图4.2显然时,.由于在内恒等于,而,因而,于是在内的泰勒展式的系数亦全为,从而在内恒等于,一般地,若已证明在内恒等于,就可推得,由为内外任意一点即知引理成立.结合引理及定理就可得到关于零点的一个重要结果:定理 设为区域内不恒等于的解析函数,则对于的每一零点均存在一个邻域,使得为在内唯一零点此