高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教A版必修2含答案

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1、2019届数学人教版精品资料第二章 点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教A版必修221空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面平面提出问题宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题1：生活中的平面有大小之分吗？提示：有问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分导入新知1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡

2、住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.化解疑难几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质提出问题问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上问题3：两张纸面相交有几条直线？提示：一条导入新知平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平

3、面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl化解疑难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点

4、P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用1根据下列符号表示的语句，

5、说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图(1)；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图(3)点、线共面问题例2证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内证法1：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平

6、面内证法2：(辅助平面法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”活学活用2下列说法正确的是()任意三点确定一个平面圆上的三点

7、确定一个平面任意四点确定一个平面两条平行线确定一个平面ABC D解析：选C不在同一条直线上的三点确定一个平面圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，不正确，正确当四点在一条直线上时不能确定一个平面，不正确根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故正确.共线问题例3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.

8、又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上活学活用3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BC

9、D1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三点共线典例如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD交于一点解题流程欲证EF、GH、BD交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由DFFCDHHA23可得GEFH且GEFH，即EFHG是梯形，由此得到GH与EF交于一点证明E、F、H、G四点共面EFHG为梯形GH和EF交于一点O证O平面ABDO平面BCD平面ABD平面BCDBDOBD得出结论. 规范解答因为E，G分别

10、为BC，AB的中点，所以GEAC.又因为DFFCDHHA23，所以FHAC，从而FHGE.GEFH.(4分)故E，F，H，G四点共面又因为GEAC，FHAC，所以四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.(6分)因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，(9分)且交线只有这一条，所以点O在直线BD上(10分)这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点(12分)名师批注如何证明四点共面？,根据公理2的推论可知，本题可利用HFGE即可确定E，F，H，G四点共面.为什么GH和EF交于一点？,因为E，F，H，G四点共面，

11、且GE綊AC，HF綊AC，所以GEHF且GEHF，即EFHG为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过GH和EF的两个平面的交线. 活学活用如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.点P在直线BD上随堂即时演练1若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()AQb

12、BQbCQb DQb解析：选B点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.2两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A相交 B重合C相交或重合 D以上都不对解析：选C若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合3下列对平面的描述语句：平静的太平洋面就是一个平面；8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；四边形确定一个平面；平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集其中正确的是_解析：序号正误原因分析太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的平面是无大小、无厚薄之分的如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确

13、定一个平面平面是空间中点的集合，是无限集答案：4设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.解析：l，ABlC，C，CAB，ABC.答案：C5将下列符号语言转化为图形语言(1)a，bA，Aa.(2)c，a，b，ac，bcP.解：(1)(2)课时达标检测一、选择题1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l解析：选B注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合间的关系2(2012福州高一检测)下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图

14、形D两条相交直线可以确定一个平面解析：选DA错误，不共线的三点可以确定一个平面B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C错误，四边形不一定是平面图形D正确，两条相交直线可以确定一个平面3空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是()A1 B2C3 D1或3解析：选D若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面4下列推断中，错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，重合解析：选CA即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线

15、的三点确定一个平面，故D也对5在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上DM既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选A点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上二、填空题6(2012福州高一检测)线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_解析：因为线段AB在平面内，所以A，B.由公理1知直线AB平面.答案：直线AB平面7把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，a

16、bcO_.解析：(1)图C符合A，a(2)图D符合a，P且P(3)图A符合a，aA(4)图B符合a，c，b，abcO答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8平面平面l，点A，B，点C平面且Cl，ABlR，设过点A，B，C三点的平面为平面，则_.解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C，且点C，所以C.因为点RAB，所以点R，又R，所以R，从而CR.答案：CR三、解答题9求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面解：已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：如图所示，因为ab，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为.因为laA，lbB，所

17、以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推论2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明：如图(1)连接B1D1.EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF、BD确定

18、一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ.故P，Q，R三点共线21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系提出问题立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起

19、立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是导入新知1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点化解疑难1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义

20、中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线2空间两条直线的位置关系若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线若从是否共面的角度看，也可分两类：直线平行公理及等角定理提出问题1同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行空间中是否有类似规律？提示：有观察下图中的AOB与AOB.问题2：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行问题3：测量一下，这两个

21、角的大小关系如何？提示：相等导入新知1平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当时，a与b互相垂直，记作ab.化解疑难对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定

22、理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补两直线位置关系的判定例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_. 解析直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面同

23、理，直线AB与直线B1C异面所以应该填“异面”答案平行异面相交异面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)活学活用1(2012台州高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A6B4C5 D8解析：选B与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条2若

24、a，b，c是空间三条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是_解析：在正方体ABCDABCD中，设直线DC为直线b，直线AB为直线a，满足ab，与a相交的直线c可以是直线BC，也可以是直线BB.显然直线BC与b相交，BB与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交答案：异面或相交平行公理及等角定理的应用例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，MM1綊AA1.又AA1綊BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边

25、形BB1M1M为平行四边形(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，

26、否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用3如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明：(1)如题图，在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHGH.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.两异面直线所成的角例3如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的

27、大小解取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异

28、面直线所成角范围是(0，90活学活用4已知ABCDA1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成角的大小解：如图所示，连接A1D和C1D，B1CA1D，DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，A1DA1C1C1D，A1C1D为等边三角形即C1A1D60.异面直线A1C1与B1C所成的角为60.典例如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明连接BD.因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD.同理，FGBD，且FGBD.因此EHFG.又EHFG，所以四边形

29、EFGH为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EHBD，同理EFAC，又BDAC，因此EHEF，所以四边形EFGH为矩形2菱形的判断本例中，若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题知EHBD，且EHBD，同理EFAC，且EFAC.又ACBD，所以EHEF.又EFGH为平行四边形，所以EFGH为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ACBD，且ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1与2可知，EFGH为正方形4梯形的判断若本例中，E、H分别是AB、AD中点，F、G分别是BC，CD上的点，且C

30、FFBCGGD12，那么四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知EH是ABD的中位线，则EHBD且EHBD.又，FGBD，FGBD，FGEH且FGEH，四边形EFGH是梯形方法感悟根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法随堂即时演练1不平行的两条直线的位置关系是()A相交B异面C平行 D相交或异面解析：选D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面2已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对解析：选BABC的两边与PQR的

31、两边分别平行，但方向不能确定是否相同PQR30或150.3已知正方体ABCDEFGH，则AH与FG所成的角是_解析：FGEH，AHE45，即为AH与FG所成的角答案：454正方体AC1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案：相交5.如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角解：如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.E、F分别为BC、AD的中点，ABCD，EGCD，GFAB，且EGCD，

32、GFAB.GFE就是EF与AB所成的角，EGGF.ABCD，EGGF.EGF90.EFG为等腰直角三角形GFE45，即EF与AB所成的角为45.课时达标检测一、选择题1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交解析：选B假设a与b是异面直线，而ca，则c显然与b不平行(否则cb，则有ab，矛盾)因此c与b可能相交或异面2.如图所示，在三棱锥SMNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或异面解析：选AE、F分别是SN和SP的中点，EFPN.同理可证HGPN，EFH

33、G.3(2012福州高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交 B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示AB与CD所成的角为60，故选D.4下列命题中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B对于，这两个角也可能互补，故错；对于，正确；对于，不正确

34、，举反例：如右图所示，BCPB，ACPA，ACB的两条边分别垂直于APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于，由公理4可知正确故正确，所以正确的结论有2个5若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条二、填空题6(2012连云港高一检测)空间中有一个角A的两边和另一个角

35、B的两边分别平行，A70，则B_.解析：A的两边和B的两边分别平行，AB或AB180.又A70，B70或110.答案：70或1107已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_解析：设棱长为1，因为A1B1C1D，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角在AED1中，AE，cosAED1.答案：8如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_解析：中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交答案：三、解答题9.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C

36、的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.E是AA1的中点，EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，EQ綊B1C1(平行公理)四边形EQC1B1为平行四边形B1E綊C1Q.又Q、F是DD1、C1C两边的中点，QD綊C1F.四边形QDFC1为平行四边形C1Q綊DF.又B1E綊C1Q，B1E綊DF. 四边形B1EDF为平行四边形10已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB

37、，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN，(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上可知：AB与MN所成角为60或30.21.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系提出问题应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建塔呈平面八角形，外

38、观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性问题1：立柱和地面是什么位置关系？提示：相交问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？提示：在平面内问题3：直线和平面还有其他关系吗？提示：平行导入新知直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点一个

39、公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示化解疑难1利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内2直线在平面外包括两种情形：a与aA.空间中平面与平面的位置关系提出问题观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有无数个导入新知两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没

40、有公共点两平面相交l有无数个公共点(在一条直线上)化解疑难1判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型2画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行直线与平面的位置关系例1下列说法：若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中说法正确的个数为()A0个B1个C2个 D3个解析对于，直线a在平面外包括两种情况：a或a与相交，a和不一定平行，说法错误对于，直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，a不一定平行于.说法错误对于，ab，b，a或a，a与平面内的无数条直线平行说法正确答案B类

41、题通法空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断活学活用1下列说法中，正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行A0 B1C2 D3解析：选C正确；错误

42、，如图1所示，l1m，而m，l1；正确，如图2所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1平面A1B1C1D1，且BD平面A1B1C1D1，故正确；错误，直线还可能与平面相交由此可知，正确，故选C.平面与平面的位置关系例2(1)平面内有无数条直线与平面平行，问是否正确，为什么？(2)平面内的所有直线与平面都平行，问是否正确，为什么？解(1)不正确如图所示，设l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行(因为a1，a2，an，与平面无交点)，但此时与不平行，l.(2)正确平面内所有直线与平面平行

43、，则平面与平面无交点，符合平面与平面平行的定义类题通法两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一条公共直线若平面与平行，记作；若平面与相交，且交线为l，记作l.活学活用2在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有_组互相平行的面与其中一个侧面相交的面共有_个解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面六棱柱共有8个面

44、围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系答案：463如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：平面ABC与平面A1B1C1无公共点，平面ABC与平面A1B1C1平行平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，平面ABC与平面ABB1A1相交同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交典例在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状解题流程规范解答由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲(4分)甲名师批注

45、因为Q是棱DD1上的动点，所以当Q与D1重合时，D1B1，AB1，AD1均为正方形的对角线，即D1B1AB1AD1，所以，AB1D1为正三角形.当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙(8分)乙名师批注点Q在DD1上，两个端点是特殊位置，所以Q与D重合时，由DC1AB1知，截面是矩形AB1C1D.当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙(12分)丙名师批注当Q在DD1两点之间时，延长AQ交A1D1延长线于O点，连接B1O交C1D1于R点，则AB1RQ为截面图形.活学活用如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，B

46、C的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示随堂即时演练1Ml，Nl，N，M，则有()AlBlCl与相交 D以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面内，另一点在外，故l与相交2.

47、如图所示，用符号语言可表示为()AlB，lCl，lD，l解析：选D显然图中，且l.3平面平面，直线a，则a与的位置关系是_答案：平行4(2012临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是_解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行答案：0或15三个平面、，如果，a，b，且直线c，cb.(1)判断c与的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由解：(1)c.因为，所以与没有公共点，又c，所以c与无公共点，则c.(2)ca.因为，所以与没有公共点，又a，b，

48、则a，b，且a，b，所以a，b没有公共点由于a、b都在平面内，因此ab，又cb，所以ca.课时达标检测一、选择题1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行 B相交C平行或相交 D不能确定解析：选C如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交2如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A平行 B相交C直线在平面内 D平行或直线在平面内解析：选D由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行由此可知，本题中这条直线可能在平面内否则此直线与另一个平面

49、平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)3(2011浙江高考)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析：选B若在平面内存在与直线l平行的直线，因l，故l，这与题意矛盾4若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A内的所有直线均与a异面B内不存在与a平行的直线C内直线均与a相交D直线a与平面有公共点解析：选D由于直线a不平行于平面，则a在内或a与相交，故A错；当a时，在平面内存在与a平行的直线，故B错；因为内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确5

50、给出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行其中正确说法的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B(1)当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(1)错；(2)由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故(2)错；(3)过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(3)错；(4)过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故(4)对二、填空题6下列命题：两

51、个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若l，m是异面直线，l，m，则.其中错误命题的序号为_解析：对于，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故错误；对于，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB平面DCC1D1，B1C1平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故错误答案：7与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_个解析：A，B，C，D四个顶点在平面的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个答案：78下列命题正确的有_若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数

52、个点不在平面内，则l；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.解析：对，直线l也可能与平面相交；对，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面故正确答案：三、解答题9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD

53、的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交10.如图，已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论解：平面ABC与的交线与l相交证明：AB与l不平行，且AB，l，AB与l一定相交，设ABlP，则PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与的