中考数学必做36道压轴题合订本含变式训练

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1、2016中考必做的36道压轴题及变式训练第1题 夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”【例1】（2013北京，23,7分）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式； （3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式链接：（2013南京，26,9分）已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a0) （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交

2、于点D 当ABC的面积等于1时，求a的值； 当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值变式：（2012北京，23,7分）已知二次函数在和时的函数值相等（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围第2题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破【例题】（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物

3、线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标【变式】（2011安徽芜湖，24，14分）平面直角坐标系中，如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）和重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标第3题 “模式识别”记心

4、头，看似“并列”实“递进”【例题】（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点D（1）求a，b及的值；（2）设点P的横坐标为 用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由【变式一】（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数的图象经过点P（2，5）（1）求b的值并写出当时y的取值范围

5、；（2）设（m，）、（m+1，）、（m+2，）在这个二次函数的图象上 当m=4时，、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； 当m取不小于5的任意实数时，、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【变式二】（2013重庆，25题，12分）如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBP

6、Q的面积为，ABN的面积为，且，求点P的坐标第4题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”【例题】（2012四川资阳，25，9分）抛物线的顶点在直线上，过点F（2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MAx轴于点A，NBx轴于点B（1） 先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2） 设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PAPB，求点M的坐标【变式一】（2010湖北黄冈，25，15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，

7、连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点F（1，），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由【变式二】（2012山东潍坊，24,11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，0)、B(2，0)、C(0，1)三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0，2)作平行于x轴的直线、（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线相切；（3）求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直

8、线的距离之和等于线段MN的长第5题 莫为“浮云”遮望眼，“洞幽察微”探指向【例题】（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H 若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标； 若M的半径为，求点M的坐标【变式一】（2010湖南邵阳，25，12分）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点

9、E，与x轴相交于点F（1）求直线BC的解析式；（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作P 当点P运动到点D时，若P与直线BC相交，求r的取值范围； 若，是否存在点P使P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式二】（2012广东省，22，9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求C

10、DE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）第6题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质【例题】（2011贵州遵义，27，14分）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值

11、时，求点E的坐标【变式一】（2012山东枣庄，25，10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（1，0）B点在抛物线图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式二】（2011四川南充，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M是BC的中点（1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转，

12、当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（即MC）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成AEF试探究AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值第7题 “两种对称”正方形，“以美启真”助破题【例题】（2013浙江杭州，23,12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1（1）求证：APE=CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x， 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； 当图

13、中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值【变式一】（2013湖南娄底，23,9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由【变式二】（2013北京海淀区九上期末卷）如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M将图

14、1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k解答问题：（1） 当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为 ；在平移过程中，的值为 （用含k的代数式表示）；（2） 将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，090，原题中的其他条件保持不变计算的值（用含k的代数式表示）第8题 对称图形为载体，特殊位置要留意【例题】（2013四川资阳，24，12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线，与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分

15、别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为34的两部分，求出该直线的解析式.【变式一】（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动若它们同时出发，运动的时间为t

16、秒，当点P运动到O时，它们都停止运动 （1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围； （2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形第9题 平行线内“正方形”，构造全等“弦方图”【例题】（2012山东滨州，25,12分）如图1，是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上过点A作AF于点F，交于点H，过点C作CE于点E，交于点G（1）求证

17、：ADF CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为，试用，表示正方形ABCD的面积S【变式一】（2013山东淄博，24，9分）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）【变式二】（2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的

18、四个顶点分别在四条平行线上.这四条直线中相邻两条之间的距离依次为（，）.（1）求证：；（2）设正方形ABCD的面积为，求证：；（3）若，当变化时，说明正方形的面积随变化的情况.第10题 “并列”问题“递进”解，经典问题再追问【例题】（2012山东德州，23，12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出

19、S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【变式】（2013辽宁锦州，25，12分）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E、F分别是BC、CD边上的点，EAFBAD，连结EF，过点A作AMEF于点M试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你

20、的猜想第11题 “伴随图形”来研究，“分类讨论”显功底【例题】（2011辽宁本溪，26，14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，

21、以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由【变式】（2013湖南郴州，25，10分）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tan A=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代

22、数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值第12题 中心对称“带上路”，以美启真构菱形【例题】（2013陕西，25，12分） 问题探究（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由. 问题解决（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=，CD=，且，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形

23、ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.【变式一】（2012陕西，25，12分）如图，正三角形ABC的边长为（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由【变式二】（2011湖北武汉，24，10分）（1） 如图，在ABC中，点D、E

24、、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC边长，AQ交DE于点P求证：=；（2）如图2，ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点 如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； 如图3，求证：第13题 “定义”悟出基本图，解后反思“圆外圆”【例题】（2013北京，25，8分）对于平面直角坐标系中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB=60，则称P为C 的关联点已知点，E（0，-2），F（，0）（1）当O的半径为1时， 在点D，E，F中，O的关联点是_； 过点F作直线交轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线上的点（，）

25、是O的关联点，求的取值范围；（2） 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范【变式一】（2013福建泉州，25，12分）如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A(-2，0)，P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使APO = 30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点 P的个数有几个？若改变，指出点 P的个数情况，并简要说明理由【变式二】（2012江苏南京，27，10分）如图，A、B为O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合），我们称APB为O上关于A、B的滑

26、动角（1）已知APB是上关于点A、B的滑动角 若AB为O的直径，则APB= ； 若O半径为1，AB=，求APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系第14题 “旋转变换”迷人眼，“见微知著”深追问【例题】（2012浙江义乌，23，10分）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1） 如图，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2） 如图2，连接AA1

27、，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值【变式一】（2011安徽，22，12分）在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0180)，得到A1B1CAA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3（1）如图1，当ABCB1时，设A1B1与BC相交于点D证明：A1CD是等边三角形；【证】（2）如图2，连接AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为S1、S2求证：S1S213；【证】（3）如图

28、3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，ACa，连接EP当 时，EP的长度最大，最大值为 【变式二】（原创题）如图，边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以D为圆心，DB的长为半径作弧交CA延长线于E，连接DE、BE（1） 求证：BDE是等边三角形；（2） 以点D为中心，把CDE顺时针旋转角（）得到当时，连接，求的值；当、AB所在直线夹角为15时，求所有可能的度数；若点P是边上任意一点，在旋转过程中，试探究BP有没有最大（小）值？如果有，直接写出最大（小）值；如果没有，说明理由第15题 构造全等获突破，道是“无圆”却“有圆”【例题】（2012青海，27题，10分）如图1，四

29、边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F 请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题 探究1：小强看到图1后，很快发现AE=EF这需要证明AE和EF所在的两个三角形 全等，但ABE和ECF显然不全等（一个直角三角形，一个钝角三角形）考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明AEMEFC就行了随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图2，取AB的中点M，连接EMAEF=90，FEC+AEB=90，又EAM+AEB=90，EAM=FEC点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点，AM=ECBME是等腰直角三

30、角形，AME=135，又CF是正方形外角的平分线，ECF=135，AEMEFC（ASA）,AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立请你证明这一结论 （3） 探究3：小强进一步还想试试，如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看若不成立请你说明理由 【变式一】（2013浙江湖州，24题，14分）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P（0

31、，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长（不必写解答过程）【变式二】（2013内蒙古呼和浩特，23题，9分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，AEP=90，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为 ；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DM

32、EP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由第16题 精确草图获思路，勾股相似构方程【例题】（2013上海，25题，10分）在矩形中，点是边上的动点，连接，线段的垂直平分线交边于点，垂足为点，连接（如图1）已知，设，（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）当以长为半径的P和以长为半径的Q外切时，求的值；（3）点在边上，过点作直线的垂线，垂足为，如果，求的值【变式一】（改编题）在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O在线段AD上（1） 如图1，连接OB、OC，求证：BDOCDO；（2） 已知与直线AB、AC都相切，切点分别为E、F，当AD=12，CD=5，时，求证

33、：与直线BC相切【变式二】已知：如图1，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作与对角线AC相切于点F，过P、F作直线，交BC边于点E 当点P运动到点位置时，直线恰好经过点B，此时直线的解析式是（1） 求BC、的长；（2） 设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；（3） 以点E为圆心作与x轴相切 探究并猜想：和有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围第17题 “正笔侧锋”细解读，“拨云见日”明“指向【例题】（2012广东广州，24题，14分）如图，抛物线与x轴

34、交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设点D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【变式一】（2013山东淄博，23题，9分）ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）（1） 如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；（2） 如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；（3）如图3，点C从点O沿y轴

35、向下移动，当点C的坐标为C（0，）时，求ODB的正切值【变式二】（原创）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC平行于x轴，AB=6，点A的横坐标为2，反比例函数的图象经过点A、C.（1） 求点A的坐标；（2） 求点B、D所在直线的函数关系式；（3） 若点P（p，），是否存在实数p，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.第18题 “圆的折叠”来探究，发现“等圆”能破题【例题】（2012江西南昌，28题，12分）已知，纸片O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作（1）折叠后的所在圆的圆心为O 时，求OA的长度； 如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度； 如图

36、3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片O沿弦CD折叠操作 如图4，当ABCD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值； 如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论【变式】（2011湖南常德，25题，10分）已知ABC，分别以AC和BC为直径作半圆，P是AB的中点（1） 如图，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使，则有结论.四边形是菱形请给出结论的证明；（2） 如图，若（1）中ABC是任意三角形，其它条件不变，则（

37、1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图，若PC是的切线，求证：第19题 “强化条件”要看清，思路生成有“源头”【例题】（2011上海，25题，14分）在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长【变式一】（2012安徽，

38、22题，12分）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分EDF;（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.【变式二】（2012上海，24题，12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA=O

39、AC时，求t的值第20题 “相似”与“”有区别，“参数运算”需细心【例题】（2012湖北黄冈，25题，14分）如图，已知抛物线与x轴相交于点B、C，与y轴相交于E，且点B在点C的左侧（1） 若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；（2） 在（1）的条件下，求BCE的面积；（3） 在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4） 在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【变式一】（2013湖南永州，25题，10分）如图，已知ABBD，CDBD(1)若AB=9，CD=4，BD=1

40、0，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2) 若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3) 若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4) 若AB=m，CD=n，BD=，请问在m、n、满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?

41、 两个P点? 三个P点?【变式二】（2011山东临沂，26题，13分）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第21题 “角的等量”来探究，“把水倒掉”巧构造【例题】（2012江苏南通，28题，14分）如图，经过点A(0，4)的抛物线yx2bxc与x轴相交于点B(2，0)和C两点

42、，O为坐标原点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线yx2bxc向上平移个单位长度、再向左平移m(m0)个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，OMBOABACB，求AM的长 【变式一】（2011福建莆田，24题，12分）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，)（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），当PCB=BCA时，求直线CP的解析式【变式二】（1）如图，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边AMN，连接CN

43、求证：类比探究（2） 如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由拓展延伸（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角 连接CN，试探究与的数量关系，并说明理由第22题 排除干扰建模型，认清“动”“静”用相似【例题】（2013海南省，24题，14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数ykx4k（k0）的图象过点P交x轴于点Q（1）求该二次函数的解析式；（2）当点

44、P的坐标为（4，m）时，求证：OPCAQC；（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒 连接AN，当AMN的面积最大时，求t的值； 线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时点P的坐标；如果不能，请说明你的理由xyOABPMNQC【变式一】（2011河北，26题，12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A（

45、1，0），B（1，5），D（4，0）（1）求c，b（用含t的代数式表示）；（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N 在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值； 求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S【变式二】（2011重庆潼南，26题，12分）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求

46、点E的坐标；（3）在（2）的条件下： 求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积； 在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由第23题 “一路走来”遇阻碍，“变换”拂面望眼开【例题】（2012福建福州，22，14分）如图1，已知抛物线(a0)经过A(3，0)、B(4，4)两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、

47、B对应）【变式一】（2011江苏镇江，24题，7分）如图，在ABO中，已知点A（，3）、B（1，1）、O（0，0），正比例函数y=x图象是直线l，直线ACx轴交直线l与点C（1）C点的坐标为 ；（2）以点O为旋转中心，将ABO顺时针旋转角（90180），使得点B落在直线l上的对应点为B，点A的对应点为A，得到AOB = ； 画出AOB（3）写出所有满足DOCAOB的点D的坐标【变式二】（2013江苏盐城，27题，12分）如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCO

48、D，则BF=CD解决问题（1） 将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2） 如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3） 如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来）.第24题 “多级分类”获贯通，“相似求解”靠“双基”【例题】（2012云南省，23题，9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、 两点.（

49、1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点作交轴于点，求点的坐标；（3） 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【变式一】（2012山东青岛，24题，12分）如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t(0t4)s解答下列问题：（1）当t为何值时，PQAB？（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y

50、与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由【变式二】（2013江苏淮安，28题，12分）如图，在 ABC中， C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动

51、过程中，设PCQ的面积为S平方单位求S与t之间的函数关系式；当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积第25题 聚焦特殊三角形，切换视角“液体积”【例题】（2013河北，26题，14分）一透明的敞口正方体容器ABCD -ABCD 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（CBE = ，如图1所示）探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直

52、棱柱体积）（3）求的度数(注：，）拓展 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图若液面与棱CC或CB交于点P，设PC = x，BQ = y分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围 延伸 在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC继续向右缓慢旋转，当 = 60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3 【变式一】（2013北京，22题，5分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截

53、取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1） 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_ 【变式二】（原创题）【阅读理解】（摘编

54、自人教课标版八年级数学（下册）教材）宽与长的比是或（约为0618）的矩形叫做黄金矩形下面，我们用宽为4cm的矩形纸片折叠出一个黄金矩形第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图4中所示的AD处；第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，如图4【问题解决】（1） 图3中AB= cm；（2） 你发现图4中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由；（3） 在图3中，连接BD，以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长.第26题 阅读“定义

55、”重理解，两级分类显功底【例题】（2013江苏南京，27题，10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图1，且沿周界ABCA与环绕的方向相同，因此ABC 与互为顺相似；如图2，且沿周界ABCA与 环绕的方向相反，因此ABC 与互为逆相似（1） 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：ADE与ABC； GHO与KFO； NQP与NMQ其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 (填写所有符合要求的序号)（2）如图3，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC

56、的边上(不与点A、B、C重合)过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC互为逆相似请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由【变式一】（2013安徽，23题，14分）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中B=C.（1） 在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2） 如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，B=C，E为边BC上一点，若AB

57、DE,AEDC,求证：；（3） 在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD=ADC的平分线交于点E，若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情形又将如何？写出你的结论（不必说明理由）【变式二】（2011江苏南京，27题，9分）如图1，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点（1）如图2，已知RtABC中，ACB=90，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是

58、ABC的自相似点（2）在ABC中，ABC 如图3，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； 若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数第27题 “理解约定”细分析，列表观察“规律现”【例题】（2012浙江衢州，23题，10分）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1） 将一张标准纸ABCD（ABBC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（ABBC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线