激光原理第二章光学谐振腔理论

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1、党学明仪器科学与光电工程学院合肥工业大学笫二章光学谐振腔理论主要内容:主要内容:第六节对称共焦腔的自再现模J第七节一般稳定球面脸的模式特征 ) )第八节高斯光束X 第九节非稳腔的模式理论+概述毛学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分 少一。与微波腔相比，光频腔的主要特点是侧面敞开以抑制振荡模式/轴向尺寸远大于光波长和腔的横向尺寸。从理论上分析时，通常认为其侧面没有边界，因此，将其称为开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放式光腔进行讨论。光学谐振腔出概述.光学谐振腔理论研究的基本问题是:光频电磁场在腔内的传输规律从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。由于开放式光腔侧面不具有确定的边界，一

2、般 情况下不能在给定边界条件下对经典电磁场理 论中的波动方程严格求解。因此，常采用一些 近似方法来处理光腔问题。I.概述案用的近似研究方法包括:1 几何光学分析方法在几何光学近似下，光的波动性不起主要作用，可将 光看成光线用几何光学方法来处理。对于光学谐振腔来说，当腔的菲涅耳数远大于1时，光在 其中往返传播时横向逸岀腔外的几何损耗远大于由 于腔镜的有限尺寸引起的衍射损耗。此时可用几何 光学的方法来处理腔的模式问题。这种方法的优点是简便、直观,主要缺点在于不能得 到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析。概述号矩阵光学分析方法矩阵光学使用矩阵代数的方法研究光学问题，将 几何光线和激光束在光腔内的往返传

3、播行为 用一个变换矩阵来描写,从而推导出谐振腔的 稳定性条件。此外，利用高斯光束的ABCD定律和模的自再现 条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本 征方程的模参数公式，便于光腔的设计和计算。这种方法的优点在于处理问题简明、规范丿易于 用计算机概述波动光学分析方法Figg蠶詔能吩可以建立利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布，谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性，但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下，该积分方程的解析求解 才是可能的。对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。多数情况下，需要使用近似方法

4、求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性，但与 其他理论相比，仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。士概述本章中采用矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳 定性，用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式 问题。光学谐振腔中的光场分布以及输岀到 腔外的光束都是高斯光束形式，其特性和谐振 腔密切相关，因此，也在本章中讨论。本章的最后釆用几何光学分析方法对非稳腔 进行简单讨论。+概述宁本章中只研究无源谐振腔，又称非激活腔或被动腔， 即无激活介质存在的腔。虽然处于运转状态的激光器的谐振腔都是存在增益 介质的有源腔（又称激活腔或主动腔）,但理论和实践 表明，对于中、低增益的激光器，无源腔

5、的模式理论 可以作为有源腔模式的良好近似。对于高增益激光 器,适当加以修正也是适用的。这是由于激活介质的主要作用在于补偿腔内本征模 在振荡过程中能量的损耗，使之满足谐振条件，形成 和维持自激振荡。其对场的空间分布以及谐振频率 的影响是次要的,不会使腔的模式发生本质的改变。】第一节光学i皆振腔的基本知识 煤节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用，以及腔模的概念光学谐振腔的构成和分类根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。按能否忽略侧面边界，可将其分为何1腔反肘镜波导管开腔、闭腔气体波导腔图2.1.1各类光腔的典型结构 （G闭程幵腔;（c）气体波导腔。第一节光学谐振腔的基本知识

6、1.2.3.4.5.6.根据腔内傍轴光线几何逸岀损耗的高低，又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔；按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔;就腔内是否插入透镜之类的光学元件，或者是否考 虑腔镜以外的反射表面，可分为简单腔和复合腔；根据腔中辐射场的特点，可分为驻波腔和行波腔;根据构成谐振腔反射镜的个数，可分为两镜腔和多从反馈机理的不同，可分为端面反馈腔和分布反馈 腔；】第一节光学i皆振腔的基本知识5作用光学谐振腔的作用主要有两方面: 提供轴向光波模的光学正反馈；通过谐振腔镜面的反射,轴向光波模可在腔内往 返传播多次通过激活介质而得到受激辐射 放大/从而在腔内建立和维持稳定的自激振 荡。光腔的这种

7、光学反馈作用主要取决于 腔镜的反射率、几何形状以及之间的组合 方式。这些因素的改变将引起光学反馈作 用的变化，即引起腔内光波模损耗的变化。第一节光学谐振腔的基本知识 控制振荡模式的特性。由于激光模式的特性由光腔结构决定,因此, 可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。通过对腔的适当设计以及采取特殊的 选模措施，可有效控制腔内实际振荡的模式 数目，使大量光子集中在少数几个状态中，从 而提高光子简并度，获得单色性和方向性好 的相干光。通过调节腔的几何参数可直接控制激光模的横向分布特性、光斑半径、 谐振频率以及远场发散角等。戛第一节光学i皆振腔的基本知识S腔模一腔模无论是闭腔或是开腔，都将对腔内的电

8、磁场 施以一定的约束。一切被约束在空间有限范 围内的电饭扬都将只能吞在一系歹d分立b勺 本征状态之中，场的每一个本征态将具有一 楚的辕荡频索和一定庙空间夯布。注喊晃技 术的术语中，通常将光学谐振腔内可能存在 的电磁场的本征态祐为鹿的穫我。从免勺 观点来看，激光模式也就是腔内可能区分的 夹扌的状态。同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一种權戈曲具肴确是的基本蒋征注要包括】第一节光学i皆振腔的基本知识 电磁场分布特别是在腔的横截面内的场分布； 谐振频率； 在腔内往返一次所经受的相对功率损耗； 相对应的激光束的发散角。由于腔内电磁场的本征态由Maxwell方程组和腔的 边界条件决定，因此不同类型和

9、结构的谐振腔的模 式也将各不相同。一旦给定了腔的具体结构，其中 振荡模的特征也就随之确定下来。光学谐振腔理 论就是研究腔模式的基本特征，以及模与腔结构之 间的具体依赖关系。原则上说.只要知道了腔的参数，就可以唯一地 确定模的上述特征。】第一节光学i皆振腔的基本知识腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向（腔轴线方向）的分布和在垂直于传播方向的 横截面内的分布。其中,腔模沿腔轴线方向的 稳定场分布称为谐振腔的纵模/在垂直于腔轴 的横截面的稳定场分布称为谐振腔的横模。1）纵模 F-PB：多光束干涉理论可知，发生相长干涉 的条件是:波从某一点岀发，经腔内往返一周 再回到原来位置时，应与初始出发波同相。

10、込 2L = q.M4第一节 光学谐振腔的基本知识对于非均匀介质：=弹，=匸”dz所以：X笙 V =q qq 2L平面腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。入q称为腔 的谐振波长,vq称为腔的谐振频率。平面腔中的谐振 频率是分立的。可以将FP腔中满足的平面驻波场称为腔的本征模式。其特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的 轴线方向（纵向）形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常 将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模。不同 的q值相应于不同的纵模。q称为纵模序数。】第一节光学i皆振腔的基本知识当整个光腔内充满折射率为n的均匀物质时，有U = nL；C 厶F才b = qL 2由于光频谐振腔的

11、腔长远大于光波波长，整数q通常具 有1041。6数量腔的两个相邻纵模频率之差Avq称为纵模的频率间隔, 简称纵模间隔c C腔长L越小，纵模间隔越大。有什么用处? 什么是频率梳？第一节光学谐振腔的基本知识横模这种稳态场经一次往返后,唯一可能的变化仅是，镜 面上各点场的振幅按同样的比例衰减，各点的相位 发生同样大小的滞后。镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减，各点的相 位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形 成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布 称为自现模或横模。场%瞬这种稳定 光场的各种横向稳定分希。第一节 光学谐振腔的基本知识不同的纵模和横模具(a)TEMw(c)TEM0|(b)TEM

12、,000050 C7(d)TEM(OTEM、|(0 TEMh()TEMqo(hTEMoj1 + 3 + 5 + + （2加1） a D式中D为平面腔的横向尺寸（直径）注意到往返时间为tO2L7c,即可求得光子的平均寿命t p及 相应的倾斜腔的损耗与卩，L，D均有关Q g *sqrt( p )， 且陆L的增大友D的减小而增加例：D=lcm, L=lm计算，为了保证6 3 0.1,必须有 2D忧0 =2xl0-4rat/41n如果要求损耗低于0.01则应有0W2x1O-6sqO4”上式表明平行平面腔的调整精度极高q.第二节光学谐振腔的损耗* 3)衍射损耗由衍射引起的损耗随腔的类型、具体几何尺寸及振

13、荡模式而不同，是一个很复杂 的问题。这里只就均匀平面波在平面孔径 上的夫琅和费(Fraunhofer)衍射对腔的损耗 作一粗略的估计。8心122 吝=0.61 +第二节光学谐振腔的损耗+第二节光学谐振腔的损耗如果忽略掉第一暗环以外的光，并假设在中央亮斑内光强均匀 分布，贝吗寸到第二个孔径以外的光能与总光能之比应等于该孔 阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面积之比，即W$+ L&y - 7TCTW + Ao7r(a + Ldy空斗1.221a222ajdLAL2描述由衍射所引起的单程能量相对损耗百分数6丿当衍射损耗 不太大时，应与平均单程指数损耗因子6,相等LA 于N称为腔的菲涅耳数,即从一个镜面

14、中心看到另一 个镜面上可以划分的菲涅耳半周期带的数目（对平面 波阵面面言）。N是衍射现象中的一个特征参数，表 征着衍射损耗的大小。-在描述光学谐振腔的工作特性时，经常用到菲涅耳数 这个概念。它是从一个镜面中心看到另一个镜面上 可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最 大往返次数。 N愈大，损耗愈小。q.第二节光学谐振腔的损耗于注:根据半波带的理论（参见波带片），观察点光振幅取决于圆孔所含有的菲涅耳半波带的数目。如果圆孔的半径为p, 圆孔与光源和观察点的距离分别为R和rO,波长为入,则半波带数k为1讥+丿观察点的位置不同,0不同,k数也不同。与k为奇数相对应 的观察点处,合振幅最大;与k为

15、偶数相对应的观察点处,合振幅最小。如果带数不是整数,则合振幅在上述最大值和 最小值之间。这时,若将观察屏沿对称轴线移动,便可看到 光强不断变化。根据半波带理论（参见波带片），q.第二节光学谐振腔的损耗二、光子在腔内的平均寿命初始光强为I。的光束在腔内往返M次后光强变为:如果取C = 0时刻的光强为IO,则到t时刻为止光在腔内往返的次数m应为m-2LT r称为腔的时间常数，是描述光腔性质的重要参数 当t=T r时，I(t)I0/e+第二节光学谐振腔的损耗于表明了时间常数Tr的物理意义经过Tr时间后， 腔内光强衰减为初始值的1/e。6愈大，Tr愈小，说 明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。与n的关

16、 系？可以将TR解释为“光子在腔内的平均寿命”。设t时刻腔内光子数密度为N, N与光强I(t)的关系为：/(0 = Nhvv /(Z)= Ioe %N(t) = Noe %V为光在谐振腔的传播速度，所以有N。表示t=0时刻的光子密度，第二节光学谐振腔的损耗上式表明:由于损耗存在，腔内光子数密度将随时间按指数衰减 t=T R时刻，衰减为NO的1/e;在时间内减少的光子数目为-dN =N 亠 T-dt这(-dN)个光子的寿命为t，若在经过dt时间后，将不 在腔内。N。个光子的平均寿命为1、(-dN)t =dt = t R腔内光子的平均寿命T r与腔的损耗有关，损耗越小， T R越大，腔内的光子的平

17、均说明越长q.第二节光学谐振腔的损耗芒、无源腔的质因数一Q值在无线电技术中，LC振荡回路、微波谐振腔、光学谐 振腔是光频段电磁波、损耗的大小用品质岀数Q来衡 量。Q的定义E小EQ = co = 2兀 v P P式中E为储存在腔内的总能量，P为单位时间内 损耗的能量，V为谐振频率，3为角频率 设光学谐振腔的体积为V,则总能量E=NhvV 单位时间损耗的光能为dE 1 sdN p = -nvv dtdt第二节光学谐振腔的损耗以LvQ = cotr =27rvQ = cotr = 2vr R =3cAv可见空的损耗愈小2值愈高。Q值高，表示腔的储能性好，光子 在腔内的平均寿命长。四、无源腔的单模线宽

18、由于光强与光场振幅的平方成比例丿空内光场的振幅为A(0 =此光场表示为由自然加宽知E(0 =2TRejatz 1 5c vAV =171Tr17lL Q腔的损耗越低，T R越长，Q越高，越窄+第三节光学谐振腔的稳定性条件若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向 逸岀腔外，将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简 称稳定腔。反之则称为非稳腔。光学谐振腔的稳定性条件，其实质是研究光线 在腔内往返传播而不逸出腔外的条件。本节利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔 中光线往返传播的规律。在此基础上，推导出 谐振腔的稳定性条件。q.第三节光学谐振腔的稳定性条件* 一、光线传播的矩阵表示1）光线矩阵.沿Z轴方向传播的傍

19、轴光线在某一一给定横截面内的光线矢量r可以用4此横截面内光线离轴线的距离1以及光线与轴线之间的夹角8来表征，将这两个参数构成的列阵打称为光线在某一截面处的光线矩阵。并规定光线g位置在轴线上方时r取正，反之取负;光线的出射方 向在轴线上方时0取正，反之取负。+第三节光学谐振腔的稳定性条件2）变换矩阵光线考察傍轴光线门通过一个光学系统后光线参数的变换规律。在旁轴条件下0厂0， 则有 tanq sin,所以岀射光线参数2_ 2与入射光线参数可表示为:卩4光学系统送2|图2.10傍轴光线通过光学系统传播的示意图MBArx + BO、A BCt、+ DOXC D_+第三节光学谐振腔的稳定性条件一1h .

20、 J将A可矩阵称为该光学系统的光线C D变换矩阵，它描述了光学系统对傍轴光线的 变换作用。下面推导一些光学系统的光线变换矩阵。A段自由空间的光线变换矩阵几+第三节光学谐振腔的稳定性条件7 + LB、4.1 L0 1所以B、球面反射镜的光线变换矩阵Tr 显然勺=珀 a r02 = 0 + a = q + 2q =仇-Rq三节光学谐振腔的稳定性条件考虑符号，所以有:&21 o-ilRR的符号：R为球面反射镜的曲率半径，对凹面镜R 取正值，凸面镜R取负值C薄透镜的光线变换矩阵Tf由儿何光学知111+ =Z1L2f所以第三节光学谐振腔的稳定性条件D、谐振腔的等效周期透镜波导- 我们知道球面反射镜的焦距

21、为R/2,因此Tf和TR是 完全等同的。-即反射镜可看作f=R/2的薄透镜。因此谐振腔的两端面镜可以看作薄透镜。If222h 壮/im 2.15 i皆振胶和等效透镜波廿=TL1参数为q当光线再从镜M2行进到镜Ml时, 又有+第三节光学谐振腔的稳定性条件兮在腔内往返传播的矩阵a）往返一次的光学变换矩阵到达镜M2时光线参数为当光线在镜M2上反射时，反射光线古第三节光学谐振腔的稳定性条件于然后，又在镜Ml上发生反射-分别带入:r2r222z2L /2L (十(1-)出1011 L0 1瓷7煖为傍轴光线在腔内往返一次时的总变换矩阵，称为 往返矩阵q.第三节光学谐振腔的稳定性条件 往返传播n次的光学变换

22、矩阵= TTT.T飞-=TnX7Z个TTn为n个往吗矩阵的乘积，由薛而凡斯特定理知道(C D J sinPCsin n(pC D nn丿式屮(p arc cos (A+D )E (A B 丫 1 P A sin n(p-sin(n - )(p Bsinncp D sin nep- sin(/i 一 l)(p经过n次往返传播后的光线参数k=C/;r,+D共轴球面腔的往返矩T以及Tn均与所考虑的初始出发时的光线参数 无关，因此可用于描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为q.第三节光学谐振腔的稳定性条件h共轴球面腔的稳定性条件防心+恥 的G和取值大小，反映的是光线偏离认=5 +D詢光轴能力的大小，即造

23、成激光几何损耗的大 小，当其为有限值，即小于镜面的横向尺寸时，光不 逸出，即为稳定。我们讨论(P的取值情况：1)cp为实数a. Tn为有限值的条件为Sirup不为0申不諄于Kll即 0=acr cos (A+D)工 K”第三节光学谐振腔的稳定性条件2L ,2L、八 2L2L 2L 2L2 R R2只见-(A+D ) = - Q- - - (1-) (1-) ) =1- - +22 R2-人R2Ri= 2（1 一 #）（1 一占）一1代入上式有：0 0 g2 1 % R2上式即为谐振腔的稳定条件. gl,g2为谐振腔的g参数b. Sin（p=Oz Tn为极大值d=acr cos (A+D) =K

24、”2I(a+d)= 1+第三节光学谐振腔的稳定性条件所以有：昭2=1或者昭2=0满足该式之一的腔为临界腔常见几种临界腔(1)平行平面腔平行平面腔：腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不致逸 岀腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光路).沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从侧面逸岀腔外，这又与非稳腔相像。 此时有R1=R2=, g】=g2=i 昵=1gg(P)+第三节光学谐振腔的稳定性条件 （炭心腔满足条件 R1十只2=1_的谐振腔称为共心腔，因这时腔的两个镜 面的曲率中心互相重合。平行平面腔、共心腔等，其性质界于稳定腔与非稳腔之间一简并光束| AS逸光克O古第三节光学谐振腔的稳定性条

25、件 共心腔通过公共中心的光线能在腔内往返无限多 次，且一次往返即自行闭合，而所有不通过公共中心的光线在腔内往返 有限多次后，必然横向逸出腔外。这一类临界腔可称为介稳腔。（小、（泌）对称共焦腔。图2.23临界腔中傍抽光线的传播+第三节光学谐振腔的稳定性条件81=82=隔=在共焦腔中，任意彳旁轴光线均可在腔 内往返无限多次而不致横向逸岀，而 且经两次往返即自行闭合。在这种意 义上，共焦腔应属于稳定腔之列。 以后我们将会看到.整个稳定球面腔 的模式理论都可以建立在共焦腔振荡 模理论的基础之上，因而共焦腔是最 重要和最有代表性的一种稳定腔。q.第三节光学谐振腔的稳定性条件为p为虚数当(P值为复数时，由

26、于有虚部，必然导致sirmcp与 sin(n-l)cp的值随n的增大按指数规律增大。从而 使冷、9n的值也随n增大按指数规律增大。傍轴 光线在腔内往返有限次后必将横向逸岀腔外。即 满足条件丄(A+Q)1即 g&l或者-(A+D)-1 即 g&-）,则每次 渡越时变化越来越小，最后镜面上的场分布将趋 于一稳定状态。继续传播时，镜面上的场分布应该 自再现。这种特殊的稳定的场分布称为自再现场或 腔的自再现模。对于对称腔情况，由“自再现要求”，两镜面上的场 分布，除了相差一个与位置坐标无关的复常数因子Y （因而表示为振幅衰减和相位滞后）外，是完全相 同的，因此自再现模的数学表达式为y)并考虑对称腔有S

27、尸Sj尸s心,刃=丫 丘 jj W，yeikpds用V(x,y)表示镜面上这少不受衍射影响的稳定场分布 函薮，贝I有u(x, y)= 刃J攵&, y, x , y )dsslKjx、y, x , /)=N一 ikp(x,y,V ,y)Tl式中,K(x,y, 乂”)称为积分方程的核称为谐振腔的衍射积分方程或光腔的本征方程。满足方程的任意一 个函数v(x, y)称为光腔的本征函数，相应的常数Y为本征值，一个 本征函数代表腔内一个自再现模(即横模)，表示在镜面一上的一种 场分布。一般而言，v(x,y)为复数，它的模|v(x,y)|描述镜面上的振 幅分布，而辐角argv(x,y)则描述镜面上场葩相位分

28、布。二积分方程解的物理意义%(兀，y)= YnmKO, y,兀；y)%(X ； y ds由于积分方程是二维的，故需要两个模参数来区分这些 不同的横模。本征函数一般为复函数，其模描述开腔镜面上光场的振幅分布；辐角则描述镜面上光场的相位分布。本征值也为复函数,其振幅和相位都具有直接的物理意 义自再现模在腔内单程渡越所经受的平均相对功 率损耗称为模的平均单程损耗，简称单程损耗。 在对称开腔情况下，模的单程损耗为5二盘 m = 1-表明单程损耗随横模模式的不同而不同，并且|Ymn I 愈大,模的单程损耗愈大。 6mn代表了自再现模在理想开腔中完成一次渡越时 的总损耗,此损耗包括光束横向几何偏折损耗，同

29、时 也包括了衍射损耗。以后将这类由谐振腔的几何结构所引起的能量损失 （不包括诸如腔内介质的吸收、散射等类型的损失） 统称为衍射损耗。/mn1-自再现模在腔内经单程渡越的总相移&P定义为 网=arg u j+1 arg u j叽二 arg 丄-为使自再现模在腔内形成稳定振荡，必须满足多光束 相长干涉条件：其在腔内往返一次的总相移为2口的整数倍。因此， 对称开腔自再现模的谐振条件为：%=arg=2龙由此式可确定模的谐振频率。-可见,Ymn的模度量自再现模的单程损耗，其辐角度 量自再现模的单程相移丿从而也决定了模的谐振频 率。对称开腔:自再现模积分方程的本征函数决定了镜面上不同横模光 场的振幅和相位

30、分布。本征值决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振 频率。非对称开腔：按光场在腔内往返一周才能自再现这一条件写出相应的 积分方程。此时，方程的本征函数解只能确定某一个镜面上的稳态场 分布/本征值的模表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗，辐角表示模往返一次的相移。占第五节平行平面腔的自再现模r行平面腔的自再现模所满足的积分方程至今尚未 得到精确的解析解：本节首先给岀矩形平行平面镜腔模式积分方程的 具体形式，然后介绍条形镜平行平面腔自再现模积分方程的 数值迭代解法，并根据计算结果分析条形镜平行平面腔自再现模 的特征。占第五节平行平面腔的自再现模于、平行平面腔的模式积分方程设矩形腔镜的边长为2a

31、和2b,且a、b、L、入之间满足如下关系:L可b入p = J（x 一 X ）2 + （y 一 y ）2 + 公 将按（xxJ/L, （y-y/L的P = 7a-，）2 + （y-y，）2 + Z2幕级数展开为:占第五节平行平面腔的自再现模骂满足条件a2/LAvv(L/a)2和b2/LAvv(L/b)2近似有:eikp eikLelk 2L2L(才)2 .(y”2i.：_ik（xF）2 + （y_y，）2%（x，7）= /n, eL J j %（x , y ）e 2L 2L dx，dy，a_ Ax-x9 ）2 -jq（x）=人 J元 e_ikL J 込（X，）J2L dx，上述方程对X和y坐标是

32、对称的，可对其进行变量分离。 令 vmn(x,y)=vm(x)vn(y)S（y）= Zn厂虬 L（y, ）e_ikkAdy, 2Z Jb n=rmrn将求解一个二元函数积分方程的问题转化成求解两 个单元函数的积分方程。其中，第一式为在X方向宽度为2可沿y方向无限延伸 的条形镜平面腔的模式积分方程第二式为在y方向宽度为2b,沿x方向无限延伸的条 形镜平面腔的模式积分方程。-由于这两个方程的形式是完全一样的,因而只须求解 其中之一。占第五节平行平面腔的自再现模占第五节平行平面腔的自再现模 兰、平行平面腔模的数值迭代解法利用数值迭代法求解自再现模式积分方程首先 由福克斯和厉鼎毅提出，用该方法求得了很

33、多种类型谐 振腔的数值解，给出了自再现模的各种特征，包括场的 振幅和相位分布曲线，单程损耗和单程附加相移曲线等。因此也有人称此方法为福克斯厉迭代法。a_订(x-x)21J tn(x )e 1 2L dx1Uj+2 = - Uj+_a一般先设ul=l然后计算u2归一化u2 计算u3蚩代法的重要意义在于,-用逐次近似计算直接求岀了一系列自再现模，从而 第一次证明了开腔模式的存在,已经严格证明了开腔 模的存在性，但迭代法却更为直观。-迭代法能加深对模的形成过程的理解，因为它的数 学运算过程与波在腔中往返传播而最终形成自再现 模这一物理过程相对应，而且用迭代法求出的结果 使我们具体地、形象地认识了模的

34、各种特征。迭代法虽然比较繁杂，但却具有普遍的适用性，它 原则上可以用来计算任何几何形状的开腔中的自再 现模，而且还可以计算诸如平行平而腔中腔镜的倾 斜、镜面的不平整性等对模的扰动.点是;在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐降 落，整个镜面上的场分布具有偶对称性。我们将具 有这种特征的横模称为腔的最低阶偶对称模或基模。矩形镜腔和圆形镜腔的基模通常以符号TEMOO表示。 其中,振幅分布曲线为偶对称形式，从镜面中心到镜 边缘光场振幅逐渐减小。相位分布曲线不是直线，而 是有起伏的曲线,说明镜面不是等相面，在镜面边缘 处相位产生滞后。TEMOO不仅不再是均匀平面波， 而且也已经不再是平面波了于对不

35、同形式的初始激发波作类似计算可以得到条状 腔高阶模的场分布。高阶模振幅分布曲线出现零点, 也就是在镜面上岀现节线，节线数与模阶数一致。 对于相同菲涅耳数的腔，高阶模在镜边缘的相对场 振幅比基模大，且随模阶数增高而增大，说明模阶数 越高，在镜面上形成的光斑尺寸越大。高阶模的相 位分布则在越过场节线时发生相位跃变。求出自再现模后，便可计算单程损耗和单程相移。 条形镜平面腔中基模与一阶模的单程损耗与菲涅耳 数之间的关系曲线如图221所示。可见，对于同一 *黄模QPft箍由N値决定，且随N的增大而渝小。对 扌简一 N值Q随模C介次的增夫而增大/其申基模的6 最低。S（!）= _kL+A9呈相移为KL为

36、单程结合相移，为附加单程相移，对于同一横模 由N唯一决定，且随N的增大而增大，基模最低 条形腔的自再现谐振频率的计算公式c 心71度，因此相对q可以忽略频率间隔:2UM 2. 2 I 条形鏡甲面Si 挾的齐-.-V Itll线计算结果表明(P in仅有儿度到儿十占第六节对称共焦腔的自再现模苗足条件R1 = R2二L的谐振腔称为对称共焦腔,这 时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。博伊德和戈登首先证明方形球面镜共焦腔模式积分方程具有严格的解析函数解，它们是一组特殊定 义的长椭球函数，并且当腔的菲涅耳数足够大时，可 近似表示为厄米多项式与高斯函数乘积的形式。而对于圆形球面镜共焦腔，本征函数的解为超椭球

37、函 数，在腔的菲涅耳数足够大的条件下，可近似表示为拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式。据此,共焦腔模的一系列基本特征都可以解析地表示出来。此外,共焦腔的模式理论还可用来研究一般稳定球面腔系 统，因此在开腔模式理论中占有重要位置。占第六节对称共焦腔的自再现模 于、方形自再现模所满足的积分方程式及其精确解 -屈-（才 + y2） _ &2 一（八+才2）T XX + yy L_2La a严+XK）%（x, y） = ymn e-ikL J f ujx, y dx dy,-a -a”第六节对称共焦腔的自再现模宁按博伊德和戈登的方法进行变数代换,取4c 4cX =x,Y yIaaa /pikL EI孕一

38、f 化（X）ei加dX 2兀上才-ikL纟 -一 f （r）eiYY，dr2兀?辰nk 门.r c = = 2冗 NL吓代GQ）二务 J j瞪（加叫iXdY上式不存在交错项: -ikL a/c a/c占第六节对称共焦腔的自再现模在C为有限值时的本征函数为%(兀，y) = Fm(Y)Gn(Y) = Som(c,X / )S。”(c, Y/&) m,n =0,1,2,. 其中 Sm (c, X / ) =(c, x / a), Sg (c, Y / ) = Sn (c, y / a)为角向长椭球函数。与vmn(x. y)相应的本征值为A、益=V2c77rC (c, i) 加=o, i, 2,3.

39、签=j2c/加；C(c,l) v-0,1,2,3.戏(c,l),磴(c,l)为径向长椭球函数，贝-i KL-(m+n+l)”阿=4Ne22imR(c,l)Som(c,T) = 1 1 FTIFTp f_ielcTTSom(c,T)dT，且(G1 )及Som(c,T)均为实函数二、自再现模的特征1.镜面上场的振幅分布1)厄米特一高斯近似当X“ ya的区域内，即在共焦反射镜面中心附 近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式和高 斯分布函数的乘积：y工心Y2Fm(X) = Som(c9= CnHn(Y)e式中 G、G为常系数；u(x)为机阶厄米特多项式 罗%(X) = (- 1)它急/ = S 简芝箭

40、(2X)5m 0,1,2,其中号】表示勞的整数部分。最初几阶厄米待多项式为(图252)H(X) = 2XH2(X) = 4X2-2IH3(X) = 8X3-12XIH4(X)-16X4-48X2h-12应该指出。当UfOO时,厄米特高斯函数V2V2H柳(X)L 2, H“(Y)L 2(:(25(2.536) 成立，则式(2.545)仍在极好的近似程度上满足方程(2.5.6)。如果式(2.546)不能满 足，则在镜面中心附近，厄米特-高斯函数仍能正确描述共焦腔模的振幅和相位分布。即为方程(2,56)的本征函数，在c为有限值的情况下，只要条件 c = 2Nl占第六节对称共焦腔的自再现模并将X, Y

41、换回镜面上的直角坐标x, y,最后得出2、2、2d2厂厂C（xz+/）%d）= C加U竺劝比（匕 心aaH+y2= H ( mn1 m存H他InLALZ/n2）基模取 N = M = O, 分布函数即得出共焦腔基模（TE叫模）的场X2 +尹2乙。（X,刃=Ce aos =冷L入/兀占第六节对称共焦腔的自再现模 基模为高斯分布，镜面中心光最大，向边缘平滑 降落 光斑的大小与反射镜的横向尺寸无关，与波长 和腔长有关（是共焦腔的一个重要特性。当然， 这一结论只有在模的振幅分布可以用厄米高斯 函数近似表述的情况下才是正确） 咼斯光束的能量主要集中在束腰内部2丄P = I e % l/crdr 7cco

42、nlnJo O2 os o注意:% =2In 2LA仏=0.5889%常常用到边界定义在1/2强度最大值的半径（即半功率点处）的 光斑尺寸wOs3）高阶横模%(3)=臨比W。Wos72x + y占第六节对称共焦腔的自再现模占第六节对称共焦腔的自再现模最初几个高阶横模的振幅分布函数为:22% (兀 y) = Cw xe w os v20(x, y) = C208x2/ 一2OS兀2 + y2寺点：横模在镜面上的振幅分布取决于厄米多项式与高斯函数的乘 积。厄米多项式的零点决定了场的节线，厄米多项式的正负交 替变化与高斯函数随X、y的增大而单调下降的特性丿决定了场 分布的外形轮廓TEM mn模沿x方

43、向有m条节线，沿y方向有n条节线。这些节 线的分布并不均匀，中心区域节线较密。高阶模的光斑半径须沿X、y方向分别进行计算，通常定义沿X、 y方向晃祝的有域半径分别为：%=比*2加+ 1% = % 丁2 + 1可见丿模阶次越高丿有效模式半径越大。2.相位分布镜面上场的相位分布由自再现模的辐角决定。由于Vn (x,y)是实函数,argv mn (x,y)=O,因此，对任意阶次的横模来说, 镜面上各点场的相位均相同，共焦腔反射镜本身构成场的 一个等相位面。3.单程损耗见2.25 p70 由于共焦腔的反射镜有会聚作用，且共焦腔模主要 集中在镜面中心附近，因此，其损耗比平面腔模的损 耗低好几个数量级。

44、共焦腔各模式的损耗与腔的具体几何尺寸无关，单 值地由N确定,且随着N的增加而迅速下降。基模的 损耗可近似按下述公式计算：6oo=lO.9xlO-4-94N由于高阶模的光斑随着阶次的增高而增大，能量分布 也越偏离中心。因此，在同一菲涅耳数下，衍射损耗 随模阶次的增高而迅速增大。利用共焦腔的这种横 模鉴别能力可进行横模选择。占第六节对称共焦腔的自再现模 单程相移和谐振频率戏（c,l）,尺：）（c,l）为径向椭球函数，则7T-i KL-(m+n+l)】门、门、= 4Ne 2 戏Qi)磴Qi) 共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为R+扣+小)叽=arg(l / yj = arg(a ct ) =

45、 -KL + a + n + V) 所以谐振频率：Vmnq对于纵模”第六节对称共焦腔的自再现模对于横模： C1AvAl/ = r * =”2LJ22 c1AvAy = - * =“2L、22与平面腔相比较：c A-|cv = - Lg + J r -曾 2Ln 2L平面腔一般几到几十度上式表明,AVq、属于同一数量级，不再可以 忽略，这说明共焦腔横模序数对频率的影响要比平面 腔大得多。”第六节对称共焦腔的自再现模三、方形球镜共焦焦腔的行波场一旦知道镜面上的光场，即可利用菲涅耳-基尔霍夫衍 射积分公式求出谐振腔内任一点的光场。（坐标原点 选在腔的中心）f)e M(z) -妙和(x,y,z)x2

46、+ y2常一个由镜面上的场所产生的、并沿着腔的轴线方向传播的 行波场。当乘以输出镜的透过率后,可用来表示输出到谐振腔外 的场。这种行波场称为厄米高斯光束。1.振幅分布XW其中，基模的振幅分布为血(5)皿風胡宀)特点:2.模体积定义:某一模式的体积是指该模式在腔内所扩展的空 间范围。-模体积越大，说明对该模式的振荡有贡献的激活粒 子就越多，从而可获得较大的输岀功率。由于基模的光斑大小随Z变化，因此，对称共焦腔的 基模模体积可按下式进行：lLL2 710* = |L22 = |LWJ 7iw2(z)dz = 2 高阶模： 鴉=|厶兀% = 2 Ltt J 2m + J 2iz + w；s = J2

47、m +打2n + W(ms ns000In占第六节对称共焦腔的自再现模* 3等相位面分布共焦腔行波场的相位分布由式(2.120)中的(p(x,y, z)决 定。与腔轴线相交于z0点处的等相位面方程由cp(x,yzz)=(p(OzOzzO )zz0z(x + y?)恋 y, z )-0(0, 0, z0 ) = (m+n+l) (arctan ? -arctan 不)+kSzO+ 缶沪 口(arctan 彳-arctan 辛)-0所以:a2 + /)f22(石)X + b)2R(z0)”第六节对称共焦腔的自再现模宁式表明，共焦腔行波场的等相位面是以Z轴为旋转 轴的旋转抛物面。 z00 时,z-Z

48、oO; zoO,表明等相面是凹面向着腔中心的球 面。由R(f)=2f=L可知行波场的等相面与共焦腔 反射镜面重合。-由R(0)-8,R(8) 8,可知共焦腔中心位置以及距 中心无限远处的等相位面都是平面。-由R(zO )=0,得Z。=f,可见共焦腔反射镜面是曲率 最大的等相位面。4远场发射角21 + r2W r% = lim二 lim乙一Xx zZ-oc7共焦腔的基模光束按双曲线规律从腔中心向外扩展丿不同位置处光 束的发散角不同。通常丿将远场发散角定义为基模高斯光束的发散 角：=2相应高阶模的远场发散角为= j2/n + l&0 On = yj2n + 10o理论计算表明丿共焦腔基模光束的发散

49、角具有毫弧度的数 量级，其方向性相当好。由于高阶模的发散角是随模阶次 而增大，所以多模振荡时比束的方向性要比单基模振荡差。圆形球镜共焦焦腔圆形球面镜共焦腔的处理方法与方形镜相似,只是由 于反射镜的孔径为圆形,因此采用极坐标系统（r,（p）来 讨论。其模式积分方程的精确解析解是超椭球函数系, 可以证明，当N足够大时，圆形球面镜共焦腔的自再现模 为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积、加%= CmnK 2r2cosm sin m（f）式中丄n m （g）为拉盖尔多项式a恥)=i恥)=1+加-1 圆形球面镜共焦 腔基模在镜面上 的振幅分布仍然 是高斯型的，与 方形球面镜共焦nk=0(“ +加!(-畀腔情况类似。 L；(勺=|(1 + m)(2 + m)-2(2 + m 疋 +