高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全(陈策提mai供huan)

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1、习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,- 3,- 4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：点A在第I卦限；点 B在第n卦限；点 C在第忸卦限；点D在xOy面上；点 E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？ zOx面上的呢？答：在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？ z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z车由上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间

2、的距离：(1)(0, 0, 0), (2, 3, 4)；(2)(0, 0, 0),(2, -3, -4)；(3)(-2, 3, -4), (1 , 0, 3)；(4)(4, -2, 3),(-2, 1, 3).解：(1) .v22 32 4229(2) s = 22 (-3)2 (-4)2 二.29(3) s = , (1 2)2 (0 - 3)2 (3 4)2 二、67(4) s (2 -4)2 (1 2)2 (3 -3)2 = 3.5 .5. 求点(4, -3, 5)到坐标原点和各坐标轴间的距离解：点(4,-3,5)到 x轴，y轴，z轴的垂足分别为(4,0, 0), (0 , -3 ,0)

3、,(0 ,0 ,5)故S0 h42( -325 - 5 2乞二、(4 -4)2( -3 -0)2(5 - 0)2 二34Sy = , 4厂(二3一3厂52 = 41sz = , 42 (-3)2 (5 -5)2 =5.6. 在z轴上，求与两点 A (-4 , 1, 7 )和B ( 3 , 5 , -2)等距离的点.解：设此点为M ( 0 , 0 , z),贝U(-4)2 12 (7 -z)2 =32 52 (-2 -z)214解得 z =14即所求点为M ( 0, 0,).97试证：以三点 A (4, 1, 9), B (10,-1, 6) , C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角

4、三角形证明：因为 AB|=|AC|=7且有AC|2+|ABf=49+49=98=| BC|1故厶ABC为等腰直角三角形8.验证：(a b) c = a (be).证明：利用三角形法则得证 见图7-1图7-19.设 u = a -b 2c, v = -a 3b c.试用 a, b, c 表示 2u - 3v.解：2 u -3v = 2(a - b 2c) -3(-a 3b-c)=2a -2b 4c 3a -9b 3c二 5a -11b 7c10.把厶ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1, D2, D3, D4,再把各分点与试以 AB =c, BC 二a 表示向量 D1A, D2A,D3A和

5、 D4A.D1,A连接,解:D1A = BA - BD11ca52ca5D3 A = BA - BD3D4A = BA - BD43 -ca54 -ca.511.设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60 ，求这向量在该轴上的投影解：设M的投影为M ，贝UPrjuOM = OMcos60 =4 1 =2.12. 一向量的终点为点 B ( 2, -1, 7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点 A的坐标A(x, y, z)，贝UTAB =4, -4,7 =2 -x, T-y,7 -z解得 x=- 2, y=3, z=0 故A的坐标为 A(-2, 3

6、, 0).P2 ( 7, 1 , 3)，试求:13. 一向量的起点是 P1(4，0，5)，终点是(1) RP2在各坐标轴上的投影;(2)RP2的模;(3) PP2的方向余弦；(4)ax 二 PrjxP1P2 =3,(4)pp2方向的单位向量解:ay =PrjyRP； =1,az =PrjzPP2 = 一2PP2(7匚4)2 (1一0)2 (3-5)2、T4coscos:cos :二ppPP214.三个力 F 1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), 弦解：F 3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余R=(1-2+3，2+3-4，3-4+5)=(2， 1， 4)175#

7、| R h 22 12 4 /21cos 二 4.V212 R 1cos, cos =,V21x/21ea, eb, ec来表达15.求出向量a= i + j+k, b=2i- 3j+5k和c =-2i- j+2k的模，并分别用单位向量 向量a, b, c.解：| a |=、12一厂12 = .3| b F 22 (-3)2 52 = 38I c (-2)2 (-1)2 22 =3a =、3ea, b = 38eb, c = 3ec.16.设 m=3 i+5j+8 k, n=2 i-4j-7 k, p=5i + j- 4k，求向量 a=4m+3 n- p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的 分

8、向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2 i-4j-7k)- (5i +j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=i3,在y轴上分向量为7j.417.解：设a二何，ay,az则有nc o s-3二 ax，aH 1- 1)177#求得ax设a在xoy面上的投影向量为b则有b=ax,ay,0ji贝y cos=4a b 2 a G =ax2 ay22, ax2 ay2则ay求得ay又 a =1,则 ax +ay +从而求得a =1,1, _2 2aZ =1218.已知两点 M1（ 2，5，-3），M2（3,-2，5），点 M 在线段 M1M2上，且 M1M =3MM求向径OM的坐标.解

9、：设向径OM = x, y, z#M1M 工x_2, y _5,z 3MM 2 二3 -x, -2 -y,5 -z因为,M1M =3MM2x -2 =3(3-x)所以，y-5=3(-2-y)=z 3=3(5-z)11x =411 1 故 OM =冲,3.19.已知点P到点A (0, 0, 12)的距离是乙OP的方向余弦是2 -，求点P的坐标.7772 2解：设P的坐标为(X, y, z) , | PA| =xy22(z -12) =49cos又 cos：2-z 95 24 zZi = 6,Z257019z27Xi 二 2,X219049yX2 y2z2285心 y249故点P的坐标为P ( 2

10、,3, 6)(190 285 570) , , ).49 494920.已知a, b的夹角2n丁(2) (3 a-2b) =3, b= 4，计算:(a + 2 b).2冗1解: (1) a b = cos |a| |b| = cos3 43 4 = -632(1) a b;(3a-2b)(a2b)=3aa6ab-2ba-4bb=3|a |2 4a b-4|b|22= 3 34 (-6)-4 1661.21. 已知 a =(4,- 2, 4), b=(6,- 3, 2),计算:(1)a b;(2) (2 a- 3b) (a + b);(3)|a-b |2(2a-3b)=4 6 (-2) (-3)

11、 4 2 =38(a b) =2a a 2a b-3a b -3b b=2|a |2 a b-3| bf-2 42 (-2)2 42 -38-362 (-3)2 22 =2 36 -38-3 49 二-1132 2 2 | a -b| =(a -b) (a -b)二 a a -2a b b b =| a| -2a b | b|= 36-2 38 49 = 922. 已知四点 A (1 , -2, 3), B (4, -4, - 3) , C (2, 4, 3), D (8, 6, 6),求向量 AB 在 向量CD上的投影.解：AB=3 , -2, -6, CD=6 , 2, 3ABPrjCDA

12、B 二D _ 3 6 (-2) 2 (-6) 34CDv 62223223.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.179#16a b-15 | b |2 = 0解：(a+3b) (7a-5b) = 7 |a |22 2(a-4b) (7a-2b) = 7| a | -30a b 8| b| = 02由及可得:a b a b 1(a b)1, , . ,2 2 2 2 | a | b |2| a | | b |41 2 宀a b1又 a b| b|0，所以 cost2| a | b |21n故-arccos.2 324. 设a=(-2,7,6),b

13、=(4, - 3, - 8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+ b,a b,且a+b=2,4, - 2a- b=-6,10,14又(a+ b) (a- b)= 2 x (-6)+4 x 10+(-2) x 14=0故(a+ b) _ (a- b).25. 已知 a =3i+2j - k, b = i-j +2 k,求:(1) a x b;(2) 2 a x 7 b; 7 bx 2a;(4) ax a.2 1-1 332解：(1) ab =i+j+k = 3i_7j_5k-1 22 11-12a7b= 14(ab)=42

14、i- 98 j - 70 k7b2a = 14(ba)=T4(a b)=42i98j 70k a a 二 0.26.已知向量a和b互相垂直，且| a |=3, |b|=4.计算：(1) |(a+ b) x (a b)|;(2) |(3a+ b) x (a 2b)|.(1) |(a b) (a-b)=|a aa b b a-b b|=|-2(a b) |n=2|a | |b| sin24 |(3 a b) (a- 2b)|=|3a a- 6a b b a- 2b b|=|7(b a) |n=：7 3 4 sin 84227. 求垂直于向量 3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量

15、夹角的正弦解:-4 axb =-132j-4-1 5 j+ 5k与a b平行的单位向量(亠j k)3| a b |I a | | b|5、32662618128. 一平行四边形以向量 a =(2,1, 1)和b=(1, - 2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦 解：两对角线向量为屛=a b = 3 i - j , 12 = a -b=i 3 j - 2k因为 111 l2 h|2i 6 j 10k |140,|1上帀|l 2卜14所以sin.|h|l 2|、140一帀、14#即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点 A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点 M ,

16、 N , P 分别是 AB, BC, CA 的中点，证1 明：MN MP (AC BC).4证明：中点M , N , P的坐标分别为3 1M(1,1,2), N(1,3,?), P(0,1,3)MN 二-2,2, -2MP =-1,0,|#AC =_4,4, -4#BC 珂-2,0,3#22-2-2-2 23i +3j +0 -1-1 022MN MP 二k=3i 5 j 2k4 -4-44-4 4i +j +k= 12i + 20 i+ 8k0 33-2-2 0T TAC BC =MN MPBC).430. (1 )解： a b =azbzi j ax ay bx by=(aybz-azby

17、)i+ (ajbx-ajbz)+ (axby-aybx)k则(a b) C= (aybz-azby) Cx+ (azbx-axbjCy +(axby-aybx) CaxbxCxaybyCyazbzCz若a,b,C共面，则有a b后与C是垂直的.从而(a b) C =0反之亦成立.(a b) C =axbxaybyazbzCx Cy Cz(b C)片bxa= CxbybzCy CzCxCyjy(C a) b =axaybxby由行列式性质可得：axayazbxbxbybz=CxCxCyCzaxax ay az故bybzCxCyCzCyCz=axayazayazbxbybzCzazbz7(a b)

18、 C = (b C) a =?C a) b31.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积 解：设四顶点依次取为A, B, C, D.AB =0,1,2, AD = 2, -2,13 .5则由A, B, D三点所确定三角形的面积为S J|AB AD|J|5i 4 j 2 k U 楚2 2 21同理可求其他三个三角形的面积依次为八2, . 3.2故四面体的表面积 S=1亠-2亠 3 3 52 232解：设四面体的底为BCD，1VS BCD h，3从A点到底面 BCD的高为h，则1831T14+BC XBD =_Vi _ j +8k22而 SBC

19、D又二BCD所在的平面方程为：4x y-8zT5 = 04+18+15则 h= fJ16+1 +6433. 已知三点 A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线证明：AB 二1,3,4 ,AC 二2,6,8显然AC =2ABAB AC =AB 2AB =2(AB AB)=0故A，B，C三点共线.34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,- 4)垂直，求动点的轨迹方程解：设动点为M(x, y, z)IM0M 二x1,y -1,z-1因 M0M _ n,故 M0M n =0.即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4

20、z-仁0即为动点M的轨迹方程.35. 求通过下列两已知点的直线方程：(1) ( 1，-2，1)，( 3,1,-1);( 2)( 3, -1，0)，( 1，0, -3) 解：(1)两点所确立的一个向量为s=3 -1, 1+2 , -1-1=2 , 3, -2故直线的标准方程为：x -1 y 2z -1 亠 x -3y -1 z 123 一2 一23- 2(2) 直线方向向量可取为s=1 -3，0+1，- 3-0= -2，1，-3故直线的标准方程为：x-3 y 1 z 亠 x -1y z 3或 _-21-3-21-32x 3y z 4 = 036. 求直线的标准式方程和参数方程、3x -5y +2

21、z +1 =0解：所给直线的方向向量为3-5另取xo=O代入直线一般方程可解得 yo=7,zo=17 于是直线过点(0, 7，17)，因此直线的标准方程为x y -7 z _171 一 -7 - -19且直线的参数方程为：x =ty =7-7tIz =17 -19t37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x- 2y+6z=11平行故 n=3,-2,6，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6( z+2)=0即 3x-2y+6z+2=0.38. 求过点M(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM。垂直

22、的平面方程解：所求平面的法向量可取为n= OM 0二1,7, -故平面方程为：x- 1+7(y- 7)- 3(z +3)=0即 x+7y- 3z- 59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程解：设平面在y轴上的截距为b则平面方程可定为 z =12bb 2b又(1,2,-1)在平面上，则有12-112b b2b得 b=2.故所求平面方程为-=142440.求过（1,1,-1）, （-2,-2,2）和（1,-1, 2）三点的平面方程 解：由平面的三点式方程知X K|y %Z Z1X? z2 _z1=0X3 x1、3乂z3 _z1X1y

23、-1z+1代入三已知点，有-212-12+1=01-1一1 一12+1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形:（1）y =0;（2） 3x-仁0; 2x-3y-6=0; x -y =0; 2x- 3y+4z=0.解：y =0表示xOz坐标面（如图7-2）3x-仁0表示垂直于x轴的平面.（如图7-3）185#图7-2图7-3x=3和y =-2的平面.（如图7-4）（3）2x- 3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x -=0表示过z轴的平面（如图 7-5）2x- 3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.#图7-4图7-5图7

24、-642. 通过两点（1, 1, 1 ,）和（2, 2, 2）作垂直于平面 x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n =A,B,C 已知平面法向量为 叫=1,1,-1 过已知两点的向量 l=1,1,1由题知 n ni=o, n 1=0即A+ 0 = c =0, A=B.A B C = 0所求平面方程变为 Ax-Ay+D=0又点（1, 1, 1）在平面上，所以有 D=0故平面方程为x- y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件:（1）经过点（5，-4，6）；n(2) 与平面2x- 3y+z=0成 的角.4解：（1）因平面过点（5

25、，-4, 6）故有 5-4k-2 X 6=9得 k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1=1,k,-2n 2=2,-3,1且co上亠Im肌|n 42二 cos-42187#解得k二44. 确定下列方程中的I和m: (1)平面 2x+ly+3z-5=0 和平面 mx-6y-z+2=0 平行;(2)平面 3x-5y+lz- 3=0 和平面 x+3y+2z+5=0 垂直. 解：(1) n 1=2, l,3,n2= m,-6,-1=182 l 32m ,l m-6-13(2) n 1=3, -5, l ,n 2=1,3,2#E _ n2=3 1-5 3 l 2 = 0=丨=6.#45. 通过点（1,

26、-1, 1）作垂直于两平面解：设所求平面方程为 Ax+By+ Cz+ D=0 其法向量n=A,B,Cx-y+z-仁0和2x+y+z+仁0的平面.#aS CR-CBI 3n1=1,-1,1,n2=2,1,1n_m= A-B C=0 n _ 亚=2A B C =0又（1,- 1, 1）在所求平面上，故 A- B+C+D=0，得 D=0 故所求平面方程为2 cCx y Cz = 03 3即 2x-y- 3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i- j+2k的单位向量 解：ni=3, -1,7,n2=1, -1,2.n _ 厲，n _ n 2-1-1-1-1 5ij 2k则打5i

27、j -2k).47.求下列直线与平面的交点：X-1y 1z(1)1,2x+3y+z-仁0;-26x 2y -1z -3,x+2y- 2z+6=0.2 一 3 一 2x =1 t解：（1 ）直线参数方程为*y = -1-2tz =6t代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）x - -2 2t(2)直线参数方程为y =1 3tz = 3 2t代入平面方程解得t=0.故交点为（-2, 1，3）求下列直线的夹角：#(1)5x-3y303x2y z T = 02x 2y - z 23 = 03x 8y z -1 8 = 0#(2)x2y _3 z -1-123y-3 _ z-8-1-2x =1#解

28、：（1）两直线的方向向量分别为:ijkS1=5, - 3,3 X3, - 2,1=5-33=3,4, - 13-21ijkS2=2,2, - 1 X 3,8,1=22-1=10, - 5,10381#由 Si S2=3 X10+4 -5)+( - 1) 10=0 知 S1 丄 S2n从而两直线垂直，夹角为2（2）直线x -2y -3-12z -1二的方向向量为3y _3 z_8Si=4, - 12,3,直线 _1- -2的方程可变x =1亠 2y _z 2=0、，为，可求得其方向向量 S2=0,2, - 1 0);22 z=4-x , x=0, y=0, z=0 及 2x+y=4;(2) x+

29、y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;22(4) z=6- (x +y ),x=0, y=0, z=0 及 x+y=1.解：(1)半轴分别为1, 2, 3的椭球面，如图7-13.(2) 顶点在(0，0，-9)的椭圆抛物面，如图7-14.图 7-147-15.图 7-15 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是#解：(1) (2) ( 3) (4)分别如图 7-18, 7-19, 7-20, 7-21 所示.图 7-18197#(1)兰工兰/与口二口 =三二81 36 93-642 2 . y_1692三=1与丄4 4-3解：(1)直线的参数方程为x = 3 3ty = 4 - 6

30、tz = -2 4t代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2, 2）（2）直线的参数方程为x =4t1 y = -3tz = 2 +4t代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为（4，-3，2）.62.设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3,且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程解：设（x, y, z）为圆上任一点，依题意有厂22小X +y =9z = 5即为所求圆的方程22263.试考察曲面1在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程9 254（1）平面 x=2;平面y=5;平面y=0;平面z=2.解：（1）截线方程为J + z2（5.5）2（2 .

31、5）2x = 2=1其形状为x=2平面上的双曲线-2 2区+2（2）截线方程为 94）=0为xOz面上的一个椭圆.2x 截线方程为 （3、2）2（22）z22 二1y =5为平面y=5上的一个椭圆.2 20（4）截线方程为925Z=2为平面z=2上的两条直线.64.求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为故曲线在xOy面上的投影曲线方程为2 2 .65.建立曲线x +y =z, z=x+1在xOy平面上的投影方程 解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为2 21 225x +y =x+1 即（x ） y .24-|-

32、1 225故曲线在xOy平面上的投影方程为(x ) y ：24z = 0习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点 集和边界：(1) ( x, y)|xz 0;2 2(x, y)|1 x+y 4;2( x, y)|yx ;(4) ( x, y)|(x-1)2+y2w 1 U (x, y)|(x+1)2+y2w 1.解：开集、无界集，聚点集：R2，边界：(x, y)|x=0.(2) 既非开集又非闭集，有界集，聚点集：(x, y)|1 x2+y2 x2 v2 y_”0 #xy1-1讥y0sin xyJx2 2(6)lim iS(xy )y )0(x2y

33、2)e y22- .xy 4 xy ;#解：原式晋e?皿(2)原式=+ s(3)原式=limUxy(2+Vx丙)xy( vxy 1 1) cxy 1-1原式=lim2.Ty e原式=讪沁厂1 0=0.xy#原式=叫yT2(x2 y2)2(x2 y2)ex2 y2limX0y )0x2 y22e(x2 2)#6. 判断下列函数在原点0(0, 0)处是否连续:203#x2 y2 = 0,Isin (x3y3)(1)z= x2y2#0,22小x y 0;工 sin (x3 y3-(2)z = 3)33x y0,x3y3x3y3-0,=0;#2 2(3) (2)z = x y +(x y)0,x2y2

34、 =0;解：由于o空sin(x3 y3)x2y2又 lim( x y) = 0，且 limx_0x_0y0sin(X;0 y j0故 lim z = 0 二 z(0,0).x 0y j0x3y3x2y233、X y )x3y3sin(x3 y3)x3y3空(x y)sin u=lim1u Q usin (x3 +y3)x3y3#故函数在0(0,0)处连续. lim zRimy二00 U十 z(0,0) =0#故0(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y)沿直线y=x趋于(0，0)点，则y 02 2=1,#若点P(x,y)沿直线y=-x趋于(0，0)点，则limx0 y -_x0z = lim

35、x02 2X (-x)2 2 2x (-x)4x二 limx )0x2-0# f (x,y)=y2 2xy2 -2x故lim z不存在故函数z在O(0，0)处不连续.x )0y)07. 指出下列函数在向外间断：2x 一 y(1) f (x,y)= 33；x十y#x22 2(3) f (x,y)=ln(1 - x - y );(4)f (x,y)=0,厂0,y =0.#解：因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处均连续.因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线 y=2x上的所有点处间断而在其余各点 处均连续因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以

36、函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断而在其余各点 处均连续因为点P(x,y)沿直线y=x趋于0(0,0)时.x Jlim f (x, y) = lim 2 e v0jo x2y =x0故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续求下列函数的偏导数:-：x#-：x#2 x(1)z = x y+ y(2)s =u2 v2uv(3)z = xln . x2 y2 ;x(4)z = ln ta n ;y(5)z = (1 + xy)y;(6)u = zxy;(7)u = arcta n(x-y)z;(8)u解：(1) W = 2xyex:zx:y2x-：x#-：u.s:vv2 u-：x#二 In

37、 . x2y2exxJx2 +y22x2 2ln(x y )x2y223 y22yxy2 2 .x y:z 1一ex2 x 12 2xseccsctan- y:z1：y tanysec2 - (-g)二y y2x2xcsc -y(5)两边取对数得In z = y ln(1 xy).z=(1 xy)yyln(1 xy)lx二(1 xy)y1 xy二 y2(1 xy)yJ-：x#矿(1”加 xy)yln(1 xy) yIL1 xy=(1 xy)yxy_(1砂彳xy205U .xy(6) ln z z yex.U .xyIn z z.：Uxy Jxy z；:z#;:U；:x11 (x-y)z2z(x

38、- y)zz(xy严1 (x-y)2z#.:uz(x-y)z(-1) z(x-y)zJ1z 22z .:y1 (x-y)1(x-y).:u(x_y)zl n(x_y) (x_y)zl n(x_y)r22zz1 (x-y)1 (x-y)cU(8) ex.：U:y1丄 xz Inzx.#.：U:z10.设 z =e，求证:X2x :y2 :Z cy 2z.yy -2xz In x.z证明：:u2xy2(x y)-x2y2x2y2 2xy3_ 2 _ 2 x(x y)(x y)由对称性知.:ux2y2 2yx3：:y (x y)29已知x y2 2江，求证:(x y)2#/z证明:一 =ex由z关于

39、x,y的对称性得#1 1y yX2M y2 M=x2x y1 -X-e11 11eX2e =2z.y11.设 f (x,y) = x+(y-1)arcsin，求 (x,1). vy#解：fx(x,y) =1 (y -1)#则 fx(x,1) =10 = 1.5 ）处的切线与正向x轴所成的倾角.L.xy_12.求曲线4 在点(2, 4,y =4#解:千1x,:z:x=1(2,4,5)设切线与正向x轴的倾角为a故c=413.求下列函数的二阶偏导数：则 tan c=1.44,22(1)z = x + y - 4x y ;y(2)z = arcta n ;xx(3)z = y ;z= ex 7tZ32

40、解: (1厂 4x3 -8xy2,:z.x厂12x2回2,-2:z16xy：x .:y#由x,y的对称性知-2一 z16xy.:y:x-2/ z22=12y -8x .ycz1一 2cx 1十21 x;：2z(x2 y2) 0 y 2xxy.:x2 一/2 丄22_(x y ),2 . 2、2(x y ):z11x1,yX Xyx.：2zxyy2 -,(x y )dz2 2(x y ) -y 2y2 2y x(x2 y2)2(x2 y2)2z _ x2 y2 - x 2x _ y2 -x2:y ；:x(x2 y2)2 (x2 y2)2.:z.xyxiny,_2 z X, 22 二 y in y, .x-：zX一 =xy:y-2Zx _2=x(x-1)y,-y：2z.:x鋼xyxln y =yx(1 xln y),2z-y :x=yxx Iny yxd = yxJ(1 xln y).czex2x,-：zx2y一 =e:y.z2:x=ex2 y2x 2x e y 2 = 2ex y(2x2 1),.z-2-y:z.;y= 2xex2 y