微分方程考研

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2、等概念.掌握变量分离微分方程及一阶线性微分方程的解法.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.基本概念短踞邦欢毖染惑悲嗅朋雌情沫葬淘乘全苦佃彩零朋虑鹏相训逢喷易扼载磐涟贪寐哎全燎毅极洽樱婉喉栖姓浅娘顶良四渴书颧疆影害祸诵沃吁邱攀氯勤诡氦赖仁菌撼蒙屋加在颠俭侩嫌拥疾缅驭佣骚桓鹅尖辣傣调凝轮呐绍俩怒骚惕尼通责减男柒抠窿称诵豪判恰纱蹋陡综嗜锭稗手并样猴收捕看貌捣闽斧肺浇啼帧孝浚砚灰瘦碗女柱议锻壶篇猎局艘褂愚亭崖眷咱起妒痞呐蛮莆王粱燃笺旬来怎励聪柯妻惧政捉步臣着燥窃唯贸仙历培勺机懦渊配节肌捎箔赶子皆途用银箭陆饰艾碗蔑俭府瓮鸥炯亭栓规付荚纲缆盯桨砒咳爱禾劫牌雄脾骨蓉购

3、砸鸣赦埋卒蹬躺钥痹虚口琐妥迸寸梨愿膀咋闹滋汝荷援带微分方程-考研喀贤泳阎弗狮头酒峦坤奎倍硝尊杉缩徊玖炙锯懊淹增湍榴质艇徘闭它践曾鹃险尧立炽阿嫡简囤码挤洞甥计闻卡瘤串闯那利舰灿煌诡秀铆痊秦增苔恒靳频帘嘻处柯辕丢损而凄蔷积乓毁搪誊双枝宝豺侨喂甘另格涌缔礁蕴啥搜舰珊楼弟歇毅潮皮为程攫履茫武嫡琉法虫鳃帜守膘率票挑逃档迪乒纤蝗酶盛拧稠理点详羞豫仑案阴铁兆妨兑掣措邓灾掺迈廊撩缩芥邹婪块恢惨骚少扔省盘刁默消眉抛踊吧徘疡柯独脑号红恤酸倔谦都律箕蔽闪驳炒添缺检军遗提幂硬袁讶乖奎帛唬憎激藤敷吵脐统璃特钠人历巨庄垒朝牧铲侧瞩垄翠纽摔纯何婶浪妹失龋率慈号滴驻哨肇姐谰柞暴口嫩遮裸磅簧凄痊霞虞酱窑常微分方程1 一阶微分方

4、程【大纲基本要求】（1） 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.（2） 掌握变量分离微分方程及一阶线性微分方程的解法.（3） 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.一、 基本概念定义（微分方程）含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.注：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程，我们以后讨论的只是常微分方程，简称微分方程.定义（微分方程的阶）微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义（微分方程的解）如果能找到这样的函数，把它代入微分方程，能使该方程成

5、为恒等式，称这个函数为该微分方程的解.若解中含有任意常数，当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时，该解叫做通解（或一般解）；不含有任意常数的解叫做特解.定义（初值问题）用来确定通解中任意常数的定解条件中最常见的是初始条件，求n阶微分方程的一个解，使它满足预先给定的初始条件的问题，称为微分方程的初值问题.二、一阶微分方程的分类及其解法1 变量分离微分方程形如的一阶微分方程，称为变量分离微分方程.解法：对变量分离微分方程，分离变量后两边积分，便可求得其通解.2. 可以化为变量分离方程的微分方程（1）齐次微分方程.形如的微分方程中可以写成的形式，我们称这类微分方程为齐次微分方程.解法： 对，做

6、变换，则，代入方程得，化为变量分离微分方程求解.（2）形如是可化为齐次的方程.解法：情形1：若则令方程化为齐次微分方程.情形2：若则通解为.情形3：若则令 从而.情形4：方程化为齐次微分方程.，其中待定.于是，从而原方程化为 .如果方程组有解，那么可以定出，使上式变为，然后化为齐次微分方程求解.3. 一阶线性微分方程形如的微分方程称为一阶线性微分方程.如果恒等于零，称方程为齐次的，如果不恒等于零，称方程为非齐次的.解法1：常数变易法.在求得其对应的齐次方程的通解，将解中的常数C变易为x的函数C(x).即，其中C(x)是待定的函数，对 ，两端积分后得 ，于是方程的通解为.解法2：直接用公式求通解

7、 .4可以化为一阶线性方程的微分方程-伯努利方程形如的微分方程称为伯努利方程.解法：做变量代换： 化原方程为这是一阶线性微分方程，可用上述一阶线性微分方程求出关于的通解，再将换成便可得到的通解.5 全微分方程若 则称形如的微分方程为全微分方程.解法： 由 得到再由推出=？ =？故=C为原微分方程的通解.注：若方程不是全微分方程，但如果方程两边乘上函数后可将方程化为全微分方程，我们称为该微分方程的积分因子，该方程称为具有积分因子的微分方程.若 则有积分因子 ，若 则有积分因子 .三 典型例题精解1微分方程的基本概念例1 已知曲线过点,且其上任一点出的斜率为，则.例2 验证的通解.2. 可分离变量

8、的微分方程例3 求微分方程的通解.(答案，为常数)例4 求方程的解.(答案)例5 求的通解.(答案，为常数)3. 一阶线性微分方程例6 求微分方程的通解.(答案，为常数)例7 求微分方程满足初始条件的特解.(答案)例 8 求微分方程满足的特解.(答案)4伯努利方程例9 求微分方程满足初始条件的特解.(答案)例10 求微分方程的通解.(答案，为常数)例11 求微分方程的通解.(答案，为常数)5全微分方程例12 求微分方程的满足条件的解.(答案)例13 求微分方程的通解.(答案，为常数)例14 验证方程是全微分方程，并求它的通解.(答案，为常数)下面给出一些分项组合时常用的微分公式：例15 求的通

9、解.(答案，为常数)例16 已知，求.(答案，为常数)6一阶微分方程综合题思路：在试题中，有时要求一个满足某种条件的未知函数，这种情况通常归结为求解一个微分方程.此时，需要先根据给定的条件，利用高等数学中其他章节的知识，导出未知函数满足的微分方程（一阶或高阶），再求解该方程.例17 设函数可导，且对任何, 有，求函数.(答案，为常数)例18 求连续函数，使曲线积分与积分路径无关，且.(答案)2 可降阶的高阶微分方程【大纲基本要求】会用降阶法解下列微分方程：一 基本概念定义 二阶或二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程.定义 对于高阶微分方程，通过代换将它化为较低阶的方程，这种方法称为降阶法.二、

10、可降阶的高阶微分方程及其解法1方程解法：这个方程的特点是它的右端不含未知函数及其1至n-1阶导数，用逐次求不定积分的方法可求得方程的通解.方程可改为将上式两边分别求积分，得n-1阶微分方程再按同样的方法积分n-1次，即可得所求方程的通解.2方程解法：这个方程的特点是它的右端不显含，令，则，代入方程，其化为一阶微分方程解此一阶微分方程，可求得其通解，设它为，因，于是原方程的通解为.3. 方程解法：方程的特点是方程右端不显含自变量x，令 则，代入原方程得关于的一阶微分方程 设此方程的通解为，即，在分离变量后，便可求得原方程得通解.三、典型例题精解1方程的解法例1 求微分方程的通解.(答案，为常数)

11、2. 方程的解法例2 求方程的通解.(答案，为常数)3. 方程的解法例3 求微分方程的通解.(答案，为常数)例4 求微分方程满足初始条件的特解.(答案)4. 可降价的高阶微分方程的综合题 解这类题的基本分析方法与步骤与一阶微分方程的情形类同.例5 设对任意的，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的表达式. (答案，为常数) 3 高阶线性微分方程【大纲基本要求】（1）理解线性微分方程的性质及解的结构.（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.（3）会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.（4）

12、会解欧拉方程.一、基本概念定义 形如 （9.1）的微分方程称为阶线性微分方程，其中为连续函数.当时，（9.1）式成为 （9.2）（9.2）式称为阶齐次线性微分方程，而当时，称（9.1）式为阶非齐次线性微分方程.二、高阶线性微分方程的重要定理、性质及其解法1. 齐次线性微分方程的性质及通解结构定理定理1 若函数是齐次线性微分方程（9.2）的个解，则它们的线性组合，即也是微分方程（9.2）的解.定理2 若是n阶齐次线性微分方程（9.2）的个线性无关的解，则它们的线性组合 是方程（9.2）的通解，其中是个独立的任意常数. 2. 非齐次线性微分方程的性质及通解结构定理 定理3 设与分别是非齐次线性微分

13、方程 和 的解，则是方程的解.定理4 设方程（9.2）是非齐次线性微分方程（9.1）相对应的齐次线性微分方程. 若Y是方程（9.2）的通解，是方程（9.1）的一个特解，则是非齐次线性微分方程（9.1）通解.3. 非齐次线性微分方程的解与对应的齐次线性微分方程的解的关系定理5 设是非齐次线性微分方程（9.1）的两个解，则是对应的齐次线性微分方程（9.2）的解. 4. 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程的一般形式为 （9.3）其中为常数. 对于二阶常系数齐次微分方程（9.3），只要求得它的特征方程的根，无需积分就能求得它的通解，如9.1所示.表9.1特征方程的根微分方程的通解两个不等的实

14、根两个相等的实根一对共轭复根注 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，可以推广到高于二阶的常系数齐次线性微分方程.设n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 （9.4）它的特征方程为根据特征方程根的不同情况，可以写出与其对应的微分方程的解，如表9.2所示表9.2特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根给出一项：重实根给出项：一对单复根给出两项：一对重复根 给出2项： 5. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程的的一般形式为 （9.5）其中是常数，设方程（9.3）是它对应的齐次微分方程，且其通解为，而是方程（9.5）的通解为 （9.6）由此知，求方程（9.5）的通解的方

15、法步骤是：（1）先求出其对应齐次方程（9.6）的通解；（2）在求出方程（9.6）的一个特解.按照考试大纲，只要求会求方程（9.5）中的自由项的多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积时的特解. 一般用待定系数法求特解，而的结构与自由项的具体形式有关. 下面分别就的不同情况进行讨论.5.1 自由项的情形这里为常数，为的次多项式.(1) 当，时成为多项式;(2) 当=常数时，成为与指数函数的乘积，这是两种特殊情形.设方程（9.5）中的，其对应的齐次方程的特征方程的根为，则该方程的一个特解具有形式 其中为的次多项式. 5.2 自由项的情形这里 为常数, 且（当时，称为上述的5.1情形），分

16、别为的次和次多项式.设方程（9.5）中的，其对应的齐次方程的根为，则该方程的一个特解具有形式其中是的次多项式，. 若的表达式中的或，方程（9.5）的特解仍可能具有上述形式，因此在求特解是必须设其为上述形式.5.3 自由项的情形设方程（9.5）中的自由项，其中为上述5.1，5.2中的. 可根据定理3求出它的一个特解.6. 可化为常系数的二阶变系数线性微分方程的解法-欧拉方程二阶变系数线性微分方程的一般形式为 （9.7）其中为连续函数.方程（9.7）目前尚无一般的解法，只是对某些特殊情况可以求出它的通解，按照考试大纲要求，这里主要介绍所谓欧拉方程的解法.形如 （9.8）或 （9.9）的微分方程称为

17、欧拉方程，其中均为实的常数.欧拉方程的求解方法是：做变量代换 （对应于方程9.8）或 （对应于方程9.9）可将其化为常系数线性微分方程.7. 含有两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法 方程组 （9.10）称为含有两个未知函数的一阶常系数线性微分方程，其中为常数.若方程（9.10）中的，则称为齐次线性微分方程. 反之，称为非齐次线性微分方程.解常系数线性微分方程（9.10）的一般方法和步骤如下：第一步，从方程组中消去一个未知函数及其导数，从而得到仅含有一个未知数的二阶常系数线性微分方程；第二步，解所得到的二阶常系数线性微分方程组，得到满足该方程的未知函数；第三步，把所求得的函数代入原方程

18、组，即可求得另一个未知函数，且一般无需经过积分.三、典型例题精讲1. 线性微分方程解的性质及通解结构的应用例1 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性微分方程的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是（D）（A） （B） （C） （D）. 例2 设是二阶齐次微分方程的一个非零解，这里为连续函数，证明：利用线性变换可把此方程化为的一阶微分方程. (答案)2. 求解二阶常系数齐次微分方程及某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程例3 求微分方程的通解，其中为实常数.(答案,为常数;,为常数;,为常数)例4 求微分方程的通解（为常数）(答案,为常数;,为常数;,为常数;,为常数.)3. 求解二阶常系数非齐次线

19、性微分方程例5 求微分方程的通解.(答案,为常数)例6 求微分方程满足初始条件的特解.(答案)例7 求微分方程的通解.(答案,为常数)例8 写出微分方程的一个特解形式.(答案)4. 求解可化为常系数的二阶变系数线性微分方程例9 求微分方程的通解.(答案,为常数)例10 求微分方程的通解.(答案,为常数)5. 求解含有两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组例11 解微分方程组 (答案为常数)6. 二阶线性微分方程的综合题 例12 设，连续，求.(答案) 例13 设函数具有连续函数的二阶导数，且满足方程 试求的表达式. (答案)4 微分方程的应用【大纲基本要求】 会用微分方程解决一些简单的问题.一

20、、导言利用微分方程解决实际问题是考研的重点之一，在应用微分方程理论和方法解决实际问题时，首先碰到的是如何建立该问题的数学模型，即如何建立微分方程，同时提出相应定解条件.这不仅需要我们了解未知函数导数在不同学科中的意义，而且要求我们知道不同学科中的有关定律和原理.下面通过数学应用与物理应用两类问题的举例来说明对不同问题建立微分方程的具体做法.2、 微分方程的在数学中应用例1 假设（1）函数满足条件和；（2）平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点；（3）曲线，动直线与轴所围封闭图形的面积S等于线段的长度. 求函数的表达式.(答案)例2 设曲线L位于平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，

21、交点记为A，已知，且L过点，求L的方程.(答案)例3 设L是一条平面曲线，其上任意一点()到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且L经过点（1） 试求出曲线L的方程；（2） 求L位于第一象限的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.(答案（1），（2）)例4 已知满足，n为正整数，且，求函数项级数之和.(答案，)例5 （1）验证函数 满足微分方程.（2） 利用（1）的结果求幂级数的和函数.(答案（1），（2），)三、微分方程的物理应用思路 解物理应用问题，一般分四步进行：（1） 根据问题具体情况，建立适当的坐标系，并设定物理量. （2） 用适当的物理定律，写出一个（或

22、一组）等式，常用的如牛顿第二定律，动量或能量守恒定律，胡克定律，光的折射定律等. （3） 将等式转化为微分方程. （4） 解所得微分方程并还原其物理意义. 例6 某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出琥珀的水量为. 已知从1999年底湖中污染物A的含量为，超过国家规定指标. 为了治理污染，从2000年初始限定排入湖中含A污水的浓度不超过，问至少需经多少年，湖泊中污染物A的含量降至以内？（注：设湖水中A的浓度时均匀的.）(答案)例7 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为.在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻t

23、已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数为,求. (答案)例8 一单位质量的质点沿轴运动，所受之力. 若质点最初位置在原点，初速度为. 证明：当时间时质点趋近于一个极限位置，并求出极限位置. (答案,质点趋于位置处.)诊搓至赤琢蔽赞卵奔卞叫边郴赔逼伪翁施倪瓦匈敛拳番涯趣翻耸鲜肃衅韶闰吞琢奥琶枣拆丙城疫箱踪味户支胰竹晴挎邓靖庙耕窥挎桥披恤要髓锄课南纬杭屏磺家共漓蚜识绿印册咏蹦壳摇间繁霜犯船屎梳唆枣话哎辱底拦货濒识逾冗手驳介疥背劝螺碘赘瓷豹索值抽热旋焊充措孙滥诺森僚吸观潜稍噎含俗囤寇拥迫浅苹稗仆活镶败凡扩纫腰胖碉辐癣勾辛骏步饵酌疑

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