大学物理高斯定理

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1、(1) 点电荷的场强点电荷的场强02041rrqE0221041rrqqF库仑定律库仑定律0qFE电场强度电场强度(2) 场强叠加原理场强叠加原理nEEEE21电场强度的计算电场强度的计算复复 习习(3) 电荷连续分布的电荷连续分布的 带电体的电场带电体的电场)(30)(4qqrrdqEdE)(体分布体分布dVdq )(面分布面分布dSdq )(线线分分布布dldq 电电荷荷分分布布高斯高斯（CarlFriedrichGauss，17771855） 德国数学家、天文学德国数学家、天文学家、物理学家家、物理学家高斯在数学上的建树颇高斯在数学上的建树颇丰，有丰，有 “数学王子数学王子” 美称。美称

2、。 因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资助下与助下与17951798年入格丁根大学学习。年入格丁根大学学习。 1777年年4月月30日生于布伦日生于布伦瑞克。童年时就聪颖非凡，瑞克。童年时就聪颖非凡，10岁岁发现等差数列公式而发现等差数列公式而令教师惊叹。令教师惊叹。 大学一年级（大学一年级（19岁岁）时就解决了几何难题：）时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。用直尺与圆规作正十七边形图。1799年年以论文以论文所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明的因式这一定理的新证明获得博

3、土学位。获得博土学位。 1807年年起任格丁根大学数学教授和天文台台起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。长，一直到逝世。1838年年因提出地球表面任一点因提出地球表面任一点磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。 1855年年2月月23日在格丁根逝世。日在格丁根逝世。(1)物理学和地磁学：物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及

4、地磁分布的理论研究。度非力学量以及地磁分布的理论研究。(2)光学光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。行为和成像，建立高斯光学。(3)天文学和大地测量学中：天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。地球大小和形状的理论研究等。(4)试验数据处理：试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。高斯还创立了电磁

5、量的绝对单位制。高斯高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：主要成就：规定规定：1、电场线、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）（电场的几何描述） 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等 于该点电场强度的于该点电场强度的。 1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的曲线上每一点的切线方向表示该点场强的； dSdNE/EdSE电场线密集的地方场强大。电场线密集的地方场强大。电场线稀疏的地方场强小，电场线稀疏

6、的地方场强小，dS电场线的特性电场线的特性 1） 电场线起始于正电荷电场线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远处)， 终止于负电荷，终止于负电荷，不会不会在没有电荷处在没有电荷处中断中断； 2） 电场线不相交。电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。静电场电场线不闭合。 电场线的这些性质是由电场线的这些性质是由静电场的基本性静电场的基本性质质和和场的单值性场的单值性决定的。可用静电场的基本性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。质方程加以证明。+qq2+ + + + + + + + + + + + （Electric Flux）定义：定义：通过电场中某一通过电场中某一曲面的电场线数，叫做曲面

7、的电场线数，叫做通过这个面的通过这个面的电通量电通量。 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面 SEES eES cos 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角EES ESenSS=ESnSE，E 非均匀电场非均匀电场，S 为任意曲面为任意曲面SSEdcosdee SSEdeSEddenSS ddSd为面元矢量为面元矢量dS 有两个法线方向，有两个法线方向，d 可正可负。可正可负。En为通过为通过 S 面的电通量。面的电通量。E1dS22E11ESSSESEdcosde EdsSEcosdde0d,2e220d,2e11 为为封闭曲面封闭曲面S闭合面上各面元的闭合面上各面元的外法线方向为正

8、向外法线方向为正向。表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。e电场线穿电场线穿出出闭合面为闭合面为正正通量，通量，电场线穿电场线穿入入闭合面为闭合面为负负通量。通量。2dS解：解：下下右右左左后后前前eeeeee下下后后前前eee 0dsSE左左左左左左左左ESESsSEcosd e左左右右右右右右ESESsSE cosd e0 eeeeee下下右右左左后后前前例：例：一个三棱柱体处在电场强度一个三棱柱体处在电场强度 的的匀强电场中。匀强电场中。求：求：通过此三棱柱体表面的电

9、通量。通过此三棱柱体表面的电通量。1CN200iExyzEonnn二、静电场中的高斯定理二、静电场中的高斯定理（Gauss Law）niiSqSE10e1d内内 在真空中在真空中的静电场内，的静电场内，通过任一通过任一闭合闭合曲面的电曲面的电场强度通量，等于场强度通量，等于该曲面所包围的该曲面所包围的所有电荷的代数所有电荷的代数和除以和除以 。0（与（与面外面外电荷无关，电荷无关，称为称为）请思考：请思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e高斯定理可用高斯定理可用库仑定律库仑定律和和场强叠加

10、原理场强叠加原理导出。导出。1、高斯定理、高斯定理高斯定理的导出高斯定理的导出dS结果与球面半径无关，结果与球面半径无关，即以点电荷即以点电荷q 为中心的任一球为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。E204rqE 022044qrrq0cosdSESdESSeSSdSrqdSE2041）点电荷位于球面点电荷位于球面 中心中心SSr+ +q2）点电荷在任意闭合曲面点电荷在任意闭合曲面 内内S 和和 包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以通过两个闭合

11、曲面的电场线的数目是相等的，所以SS0qSdEeSeqSS通过通过 的电通量：的电通量：S即：即：通过任一个包围点通过任一个包围点电荷的闭合曲面的电通电荷的闭合曲面的电通量与曲面无关，结果都量与曲面无关，结果都等于等于0qRq2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd211dS1E3）点电荷在闭合曲面之外点电荷在闭合曲面之外0SeSdEiq1q2q1kqnq4）在点电荷系的电场中，在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量通过任意闭合曲面的电通量nkkiiEEEEEE11面内电荷产生面内电荷产生面外电荷产生面外电荷产生SeSdE SiSdE00001qqk)(内内iq01)()(外外内

12、内iSiSSdESdE )(内内iq)(内内iSeqSdE01ESd对连续带电体，高斯定理为：对连续带电体，高斯定理为：表明：表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面，电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面，所以所以正电荷是静电场的源头正电荷是静电场的源头。表明：表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以所以负电荷是静电场的尾负电荷是静电场的尾。dqSdES01 00eiq00eiqniiSqSE10e1d内内 高斯定理高斯定理静电场是有源场。静电场是有源场。说明：说明：niiSqSE10e1d 高斯定理高斯定理总总 结结iq1q2q1kqnqESd1）高斯面上

13、的电场强度高斯面上的电场强度为为所有所有内外电荷的总电场强度。内外电荷的总电场强度。2）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献。有贡献。4）反映了静电场的基本性质反映了静电场的基本性质静电场是静电场是有源场。有源场。3）穿进穿进高斯面的电场强度通量高斯面的电场强度通量为负为负，穿出为正穿出为正。正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。问题：问题：如果高斯面上如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必处处为零，则该面内必无无净净电荷。电荷。2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，

14、则高斯面上 E 处处为零。处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 不一定为零不一定为零。3）如果高斯面上如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内不一定有电荷。处处不为零，则该面内不一定有电荷。4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强一定为零。场强一定为零。 高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强不一定处处为零。场强不一定处处为零。)(1内内sioSqSdE 1

15、）如果高斯面上如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷处处为零，则该面内必无电荷。1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三个闭合面个闭合面 求求通过各闭合面的电通量。通过各闭合面的电通量。,321SSSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到2qABePs点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*例：例：一点电荷位于边长为一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上，的立方体的顶角上，求：求：通过该立方体表面总的电通量。通过该立方体表面总的电通量。解：解：

16、顶角所在的三个面上的通量为零。顶角所在的三个面上的通量为零。其余三个面上直接计算困难其余三个面上直接计算困难考虑用考虑用 8 个这样的立方体个这样的立方体将点电荷拥在中心。将点电荷拥在中心。其外表面上的电通量为：其外表面上的电通量为：由对称性：由对称性：0324eq SeSdE0q)(内内iSeqSdE01如均匀带电的球体、球面、球壳。如均匀带电的球体、球面、球壳。如均匀带电的长直柱体、柱面。如均匀带电的长直柱体、柱面。如均匀带电的无限大平面、平板。如均匀带电的无限大平面、平板。 高斯定理的一个重要应用是：高斯定理的一个重要应用是： 计算带电体周围电场的电场强度。计算带电体周围电场的电场强度。

17、常见的具有对称性分布的源电荷有：常见的具有对称性分布的源电荷有：求解的关键是选取适当的高斯面。求解的关键是选取适当的高斯面。 只有在场强分布具有一定的只有在场强分布具有一定的对称性对称性时，才能比时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。较方便应用高斯定理求出场强。1）分析场强分布的对称性分析场强分布的对称性，找出场强的方向，找出场强的方向和场强大小的分布。和场强大小的分布。2）选择适当的高斯面选择适当的高斯面，并写出通过该高斯面，并写出通过该高斯面的电通量。的电通量。3）求出高斯面所包围的电量求出高斯面所包围的电量。4）按高斯定理按高斯定理求出场强求出场强。 用高斯定理计算场强的步骤：用高斯定理

18、计算场强的步骤：)(内内iSeqSdE01如何选取高斯面：如何选取高斯面：2）高斯面必须通过所求的场点；高斯面必须通过所求的场点；3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿过该面的电通量。过该面的电通量。4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。斯面法线方向一致。 或或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。场强大小相等，方向与高斯

19、面法线方向一致。1）高斯面必须是高斯面必须是闭合曲面；闭合曲面；)(内内iSeqSdE01注意注意 高斯定理在任何电荷分布情况下都成立，但高斯定理在任何电荷分布情况下都成立，但只有少数几种高度对称电荷分布的系统，其场强只有少数几种高度对称电荷分布的系统，其场强才能用高斯定理简单地计算出来。才能用高斯定理简单地计算出来。这是因为：这是因为： 已知电荷分布，利用高斯定理求场强，已知电荷分布，利用高斯定理求场强，意味着要解上面的意味着要解上面的积分方程积分方程！ 但如果电荷分布具有的对称性，能使场强这但如果电荷分布具有的对称性，能使场强这个物理量从积分号下提出来，左面只剩下面积积个物理量从积分号下提

20、出来，左面只剩下面积积分，问题就简单地解决了。分，问题就简单地解决了。)(内内iSeqSdE01OR+r1Sr2s例：均匀带电球面的电场强度例：均匀带电球面的电场强度 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的的薄球壳（面）。薄球壳（面）。求：求：球面内外任球面内外任意点的电场强度。意点的电场强度。RQ解：解：均匀带电球面的电场分布具均匀带电球面的电场分布具有球对称性。有球对称性。由高斯定理：由高斯定理：SEdS cos0/qi内内球对称时的高斯定理可写为：球对称时的高斯定理可写为：内内ioqrE14224 rE 取半径取半径 r 的同心球面为高斯面，的同心球面为高斯面，高斯面上场强大小相等，

21、方向与面元高斯面上场强大小相等，方向与面元一致。一致。OR+0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE 02 4QErr2s20 4RQrRoE（1）Rr 0Rr（2）内内ioqrE142例：例：均匀带电球体，已知均匀带电球体，已知 q、R。求：求：任意点的电场强度任意点的电场强度。解：解：RqEr R 时：时：电量电量 qqi由高斯定理由高斯定理024qrE场强场强204rqE 电通量电通量r24rESdESeRqR204Rqo均匀带电球体均匀带电球体场强场强大小分布曲线大小分布曲线204,rqERr304,RqrERrorE例：例：两同心均匀带电球面，半径为两同心均匀带电球面，半径

22、为 R1 和和 R2 ，分别带电分别带电 q1 和和 q2 。求：求：空间电场分布。空间电场分布。 解：解：由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。24rqEo 内内;42rEo 224:rERro q1q1+q2R R1 :由球对称时的高斯定理：由球对称时的高斯定理：24rEo 0= 0;R1R2oq1q2:21RrR解：解：Sqi内内SeSdE 作作闭合圆柱面闭合圆柱面为高斯面。为高斯面。例：例：无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面，面电荷密度为，面电荷密度为 ，求：求：平面附近某点的电场强度。平面附近某点的电场强度。12SSSE dSE dSE dS侧

23、1200/ESESS 02 SES 02E 12SSS侧侧具有具有面对称性，面对称性，02EEEEEEO)0(x000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题解：解：场具有场具有轴对称性轴对称性，SeSdE下下上上侧面侧面SdESdESdE侧侧面面rhEdSE200 hqi hrhEe 012 rE02 选同轴闭合圆柱形高斯面。选同轴闭合圆柱形高斯面。例：例：无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求：求：距直线为距直线为 r 处的电场强度。处的电场强度。 R 0iq0 E解：解：场具有轴对称。高斯面：同轴圆柱面。场具有轴对称。高斯面：同轴圆柱面。例：例：均匀带电圆柱面的电场。均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向沿轴线方向单位长度带电量为单位长度带电量为 。上上底底侧侧面面下下底底SdESdESdESdESe(1) r R Rlqi20rRE rE02上上底底侧侧面面下下底底SdESdESdESdESerlE2令令R2lrR课堂练习：课堂练习：求均匀带电圆柱体的场强分布，已知求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R， 202Rr ERr Rr r02 02 lrlE Rr Rr lrRrlE2202