高三数学一轮复习 5.4数列求和课件

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1、备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考熟练掌握等熟练掌握等差、等比数差、等比数列的前列的前n项项和公式和公式.1.以填空题的形式考查可转化为等差数列以填空题的形式考查可转化为等差数列 或等比的求和问题或等比的求和问题2.以解答题的形式考查利用错位相减法、以解答题的形式考查利用错位相减法、 裂项相消法或分组求和法等求数列的前裂项相消法或分组求和法等求数列的前 n项和，如项和，如2010年高考年高考T19.归纳归纳 知识整合知识整合 2倒序相加法倒序相加法 如果一个数列如果一个数列an的前的前n项中首末两端等项中首末两端等“距离距离”的两的两项的和相等或等于同一个常数，那么

2、求这个数列的前项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和项和即可用倒序相加法，如等差数列的前即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导项和即是用此法推导的的 3错位相减法错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法项和即可用此法来求，如等比数列的前来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的项和就是用此法推导的 4裂项相消法裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些

3、项可以相互抵消，从而求得其和以相互抵消，从而求得其和 探究探究1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消抵消 2利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？ 提示：提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，在正负项抵消后，是否只

4、剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项或前面剩下两项，后面也剩下两项 5分组求和法分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减别求和后再相加减 6并项求和法并项求和法 一个数列的前一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求类型，可采用两项合并求解解 例如，例如，Sn10029929829722212 (10099)(

5、9897)(21)5 050.答案：答案：63(教材习题改编教材习题改编)(2351)(4352)(2n 35n)_.4若若Sn1234(1)n1n，则，则S100_.解析：解析：S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.答案：答案：505已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn且且ann2n，则，则Sn_.答案：答案：(n1)2n12分组转化求和分组转化求和 例例1(2012山东高考山东高考)在等差数列在等差数列an中，中，a3a4a584，a973. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)对任意对任意mN*，将数列，将数列an中落入区间

6、中落入区间(9m,92m)内的内的项的个数记为项的个数记为bm，求数列，求数列bm的前的前m项和项和Sm.自主解答自主解答(1)因为因为an是一个等差数列，是一个等差数列，所以所以a3a4a53a484，a428.设数列设数列an的公差为的公差为d，则则5da9a4732845，故故d9.由由a4a13d，得，得28a139，即，即a11.所以所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)分组转化求和的通法分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可然后通过对通项变形，转化为等差

7、数列或等比数列或可求的前求的前n项和的数列求和项和的数列求和1(2013包头模拟包头模拟)已知数列已知数列xn的首项的首项x13，通项，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数为常数)，且，且x1，x4，x5成等差数成等差数列求：列求：(1)p，q的值；的值；(2)数列数列xn前前n项和项和Sn的公式的公式解：解：(1)由由x13，得，得2pq3，又因为，又因为x424p4q，x525p5q，且，且x1x52x4，得，得325p5q25p8q，解得，解得p1，q1.裂项相消法求和裂项相消法求和 例例2设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Snnann(n1)(n1,2,

8、3，) (1)求证：数列求证：数列an为等差数列，并写出为等差数列，并写出an关于关于n的表达式；的表达式； 自主解答自主解答(1)当当n2时，时，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得，得anan12(n2,3,4，) 所以数列所以数列an是以是以1为首项，为首项，2为公差的等差数列为公差的等差数列 所以所以an2n1. 用裂项相消法求和应注意的问题用裂项相消法求和应注意的问题 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项

9、公式裂项后，有时候需要调整前面两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等2等比数列等比数列an的各项均为正数，且的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；错位相减法求和错位相减法求和 例例3(2012天津高考天津高考)已知已知an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn，bn是等比数列，且是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410. (1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式； (2)记记Tna1b1a2b2anbn

10、，nN*，证明，证明Tn8an1bn1(nN*，n2) (2)证明：由证明：由(1)得得 Tn22522823(3n1)2n， 2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1. 若本例若本例(2)中中Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求，求证：证：Tn122an10bn(nN*)用错位相减法求和应注意的问题用错位相减法求和应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；数的情形； (2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两的表达式时应特别注意将两式式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准

11、确写出“SnqSn”的表达的表达式式 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于参数，应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解3已知等差数列已知等差数列an的前的前3项和为项和为6，前，前8项和为项和为4.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.解得解得a13，d1.故故an3(n1)(1)4n.(2)由由(1)得，得，bnnqn1，于是，于是Sn1q02q13q2nqn1.若若q1，将上式两边同乘以，将上式两边同乘以

12、q有有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1 数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的 (1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称

13、的特点消去的项有前后对称的特点 (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解答题模板答题模板利用错位相减法解决数列求和利用错位相减法解决数列求和快速规范审题快速规范审题利用利用anSnSn1时，易忽时，易忽视条件视条件n2.错位相减时，错位相减时，易漏项易漏项.答题模板速成答题模板速成用错位相减法解决数列求和的步骤：用错位相减法解决数列求和的步骤：第一步判断结构第一步判断结构若数列若数列anbn是由等是由等差数列差数列an与等比数列与等比数列(公比公比q)的对应项之积的对应项之积构成的，则可用此法构成的，则可用此法求和求和第二步乘公比第二步乘公比设设anbn的前的前n项和项和为为Tn，然后两边同，然后两边同乘以乘以q第三步错位相减第三步错位相减乘以公比乘以公比q后，向后，向后错开一位，使含后错开一位，使含有有qk(kN*)的项对的项对应，然后两边同时应，然后两边同时作差作差第四步求和第四步求和将作差后的结果求将作差后的结果求和，从而表示出和，从而表示出Tn答案：答案：1 006(1)求求Sn的表达式；的表达式；(1)求数列求数列an的通项；的通项；