平面解析几何初步

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1、2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程 .2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系 数法求圆的标准方程知识点一 圆的标准方程 思考 1 确定圆的标准方程需要知道哪些条件？如图所示， 以（1,2）为圆心， 以 2 为半径的圆能否用方程 （x 1）2答案 圆心坐标与圆的半径 思考 2 在平面直角坐标系中， （y 2）2 4 来表示？答案 能梳理 圆的标准方程（1）方程 （xa）2（yb）2r2 称为以点 C（a，b）为圆心， r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方 程（2）以原点为圆心， r 为半径的圆的标准方程为 x2 y2 r2.知识点二 点与圆的位

2、置关系 思考 点 A（1,1），B（4,0），C（ 2， 2）同圆 x2y24 的关系如图所示，则 |OA|， |OB|， |OC|同圆的半径 r2 是什么关系？答案 |OA|2，|OC|2.梳理 点 M（x0，y0）与圆 C：（xa） （y b） r 的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M 在圆上|CM | r2 2 2（x0a）类型一 求圆的标准方程 命题角度 1 直接法求圆的标准方程 例 1 （1） 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M（0， 5）在圆 C 上，且圆心到直线（y0b）2r2点M 在圆外|CM |r2 2 2（x0a）2（y0b）2r2点M 在圆

3、内|CM |r2 2 2（x0a）2（y0b）24，2，23 ，直线 AB 的斜率为 kABy 23 71x12 ，即 x7y 10 0.同理2510 7，因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x y50.x7y100，由 得圆心坐标为 （ 3,1）2xy50，又圆的半径 r 30 2 15 25， 故所求圆的标准方程是 （x 3）2（y1）2 25.类型二 点与圆的位置关系例 3 （1）点 P（m2,5）与圆 x2y224 的位置关系是 （ ）A点 P在圆内B点 P 在圆外C点 P 在圆上D不确定答案 B解析 由（m* 2a220，即 a1.类型三 与

4、圆有关的最值问题例4 已知实数 x，y满足方程 （x 2）2 y2 3，求y的最大值和最小值x解 原方程表示以点 （2,0） 为圆心， 3为半径的圆， 设yk，即 y kx. x当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值，|2k 0| 此时k21）252m解得 k 3.2524，得点 P 在圆外（2）已知点 M（5 a1， a）在圆（x1）2y226的内部，则 a的取值范围是 _ 答案 0,1）a 0，解析 由题意知，5 a 1 1 2 a 226 ，a0，即 解得 0 a1.26a26，反思与感悟 （1）判断点与圆的位置关系的方法只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可把点

5、的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断（2）灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围的取值范围是跟踪 训练 3 已 知点（1,1）在圆（x a）2 （ya）24 的 外部， 则 a 故 xy的最大值为 3，最小值为 3.x引申探究1若本例条件不变，求 yx 的最大值和最小值解 设 yxb，即 yx b.当 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，故 y x 的最大值为 2 6，最小值为 2 6.2若本例条件不变，求 x2y2 的最大值和最小值解 x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与

6、圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为 2，故（x2 y2） max （2 3）274 3，（x2y2）min（2 3）27 4 3.反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型y b（1）形如 u形式的最值问题，可转化为过点 （x， y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题xa（2）形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 yax l截距的最值问题bb（3）形如 （xa）2（yb）2 形式的最值问题， 可转化为动点 （x，y）到定点 （a，b）的距离平方的最值 问题跟踪训练 4 已知 x 和 y 满足 （x 1）2 y2 41，试求：（1）x2y2的最值；（2

7、）x y 的最值解 （1）由题意知， x2y2 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值 原点(0,0)到圆心 ( 1,0)的距离为 d1，13故圆上的点到坐标原点的最大距离为1 2132，11最小距离为 1 12 12，因此 x2y2 的最大值和最小值分别为 49和41.(2)令 x y z，并将其变形为 y x z， 问题转化为斜率为 1 的直线在经过圆上的点时， 在 y 轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在 y 轴上的截距取得最大值和最小值，1z|1，2 2，解得 z22 1，因此 x y 的最大值为 22 1

8、，最小值为 221.1若某圆的标准方程为 （x1）2 （y5）23，则此圆的圆心和半径长分别为 （ ）A（1,5）， 3B （1， 5）， 3C（1,5），3D（1， 5），3答案 B2圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 （1,2）的圆的标准方程是 （ ）Ax2（y2）21Bx2（y2）2122C（x1）2（y3）21Dx2（y3）21答案 A解析 方法一 （直接法 ）设圆的圆心为 C（0，b），则 0 1 2 b2 21，b 2，圆的标准方程是 x2 （y 2）21.方法二 （数形结合法 ）作图（如图），根据点（1,2）到圆心的距离为 1易知，圆心为 （0,2），故圆的标准方程是 x2 （

9、y 2）21.3已知点 A（1，1），B（1,1），则以线段 AB 为直径的圆的标准方程为 （ ）Ax2y22B x2 y2 22 2 2 2Cx2y21D x2y24答案 A解析 AB 的中点坐标为 （0,0）， |AB| 1 1 2 1 1 2 2 2，圆的标准方程为 x2 y2 2.4若实数 x，y满足 （x5）2（y12）2142，则 x2 y2的最小值是 答案 1由几何意义可知，解析 x2y2 表示圆上的点 （x，y）与（0,0）的距离的平方， 而（0,0）在圆的内部， 最小值为 14 52 1221.5求下列圆的标准方程（1）圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A（5,6），C（3，

10、 4）；（2）过两点 C（1,1）和 D（1,3），圆心在 x 轴上的圆解 （1） 由题意知， AC 为直径，则 AC 的中点为圆心， 圆心坐标为 （4,1），半径为r|A2C|532 642 26 ， 圆的标准方程为 （x 4）2 （y 1）226.（2）由几何知识知， CD 的垂直平分线经过圆心，3 1kCD1， CD 的中点坐标为 （0,2），1 1CD 的垂直平分线为 y x2.则圆心坐标为 （2,0），r 12 2 10 2 10， 圆的标准方程为 （x 2）2 y2 10.1判断点与圆的位置关系 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小（2）代数法：主要是把点的坐标代入圆

11、的标准方程来判断：2 2 2点 P（x0， y0）在圆 C 上? （x0a）2（y0b）2 r2；22 2点 P（x0， y0）在圆 C 内? （x0a）2（y0b）2r 2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：（1）弦的垂直平分线必过圆心（2）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心（3）圆心与切点的连线是半径（4）圆心与切点的连线必与切线垂直3求圆的标准方程常用方法（1）待定系数法 （2） 直接法一、选择题1方程 y 9 x2表示的曲线是 （ ）A 一条射线B一个圆C两条射线D半个圆答案 D2已知一圆的圆心为点 A（2，

12、3），一条直径的端点分别在 x 轴和 y轴上，则圆的标准方程 为 （）22A（x2）2（y 3）213B（x2）2（y3）213C（x2）2（y3）252D（x2）2（y 3）252答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为 r 2 0 2 3 0 2 13.故所求圆的标准方程为 （x 2）2（y3）2 13.3已知直线 l 过圆 x2 （ y 3）2 4的圆心，且与直线 xy10 垂直，则直线 l 的方程是 （ ）Axy20B xy20Cx y30D xy3 0答案 D解析 圆 x2 （y 3）2 4 的圆心为点 （0,3），又因为直线 l 与直线 x y 10 垂直，所以

13、直线 l 的斜率 k 1.由点斜式，得直线 l：y 3x0，化简得 x y 30.4过点 A（1，1），B（1,1），且圆心在直线 xy20 上的圆的标准方程是 （ ）2 2 2 2A（x3）2（y1）24B （x 3）2（y1）24C（x1）2（y1）24D （x1）2（y1）24答案 C解析 根据圆在直线 xy20上可排除 B、D，再把点 B 的坐标代入 A，C 选项中，可得C 正确5点（5a1,12a）在圆（x1）2y21 的内部，则实数 a的取值范围是 （ ）1A|a|1B a3311C|a|5D |a|13答案 D 解析 依题意有 （5a）2 144a21，得 169a21，2 1

14、1所以 a21169，即 |a| 113，故选 D.6若圆心在 x轴上，半径为 5的圆 C位于 y轴左侧，且与直线 x2y0相切，则圆 C 的标 准方程为 （ ）A（x 5）2y25B （x 5）2y25C（x5）2y25D （x5）2y25答案 D解析 设圆心坐标为 （a,0），由题意知， |a5| 5，|a|5.圆 C 位于 y 轴左侧， a 5， 圆 C 的标准方程为 （x 5）2y2 5.7若直线 y ax b 通过第一、二、四象限，则圆 （x a）2 （y b）2 1 的圆心位于 （ ）A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 D解析 （a，b）为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得a0，即 a0，b 0），由题意知， |2a5|455，解得 a2， C（2,0）则圆 C 的半径为 r |CM | 22 5 2 3. 圆的标准方程为 （x 2）2 y2 9.（2）与 y 轴相切，且圆心坐标为 （ 5， 3）的圆的标准方程为 答案 （x5）2（y3）2 25解析 圆心坐标为 （ 5， 3），又与 y 轴相切， 该圆的半径为 5，该圆的标准方程为 （x 5）2（y3）225.反思与感悟 （1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，