浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用

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1、中文提要数形结合是数学解题的重要方法之一，在各类大型的考试尤其是中高考中都起着举足轻重的作用。在解题中应用“数形结合”思想，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而简化解答过程。本论文主要研究的是数形结合在高考数学解题中的应用并对利用数形结合解题的题型进行了分类解析，总体上本文从高中数学的主干与核心知识出发，以2008年数学考试大纲为依据，重点结合2008年全国高考数学新课程试卷（理科）以及2008其他各地方的传统高考理科数学试题的典型题目，从以下几个方面具体分析“数形结合”思想在解题中的应用：（1）利用数形结合解决集合问题（2）利用数形结合解决函数（也包括三角函数）问题（3）利用数形结

2、合解决不等式和线性规划问题（4）利用数形结合解决解析几何问题（5）利用数形结合解决立体几何问题关键词： 高考数学解题 数形结合ABSTRACTThe combination of algebra and geometry is one of the important ways in mathematical problem solving, it plays a pivotal role in various large scale, especially in the college entrance examinations. In problem solving, using the

3、combination of algebra and geometry, you can simplify complex issues and make abstract question be specific question, Thus simplifying the process to answer. This paper is a study about the application of combination of algebra and geometry in the college entrance examination mathematical problem so

4、lving by classified analysis. on the whole, this article starts from the backbone and the Core Knowledge of high school mathematics , based on 2008 Examination Syllabus, mainly combines the national college entrance examination and the new curriculum of mathematics examination papers (science)in 200

5、8. With the typical questions, it will analyze the application of combination of algebra and geometry from the following respects:（1）Using the combination of algebra and geometry to solve taggregate problem（2）Using the combination of algebra and geometry to solve functions (including trigonometric f

6、unctions) problem（3）Using the combination of algebra and geometry to solve inequalities and linear programming problem（4）Using the combination of algebra and geometry to solve analytic geometry problem（5）Using the combination of algebra and geometry to solve three-dimensional geometric problemKey wo

7、rds: combination of algebra and geometry mathematical problem solving一、 关于“数形结合”思想1、“数形结合”思想的历史“数形结合”由来已久，早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中，度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不得解决的问题，最终也是借助于代数方法得到圆满解决。这些都说明

8、了“数形结合”思想有着悠久的历史。2、什么是“数形结合”数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素.，恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。数形结合包括“以形助数”和以数辅形”两个方面1。3、“数形结合”的意义数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的。数和形是数学的两个基本概念，全部数学内容大体

9、就是围绕这两个概念提炼、演变、发展而逐步展开的。数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学家拉格朗日在数学概要一书中所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”我国数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”由此可见形和数的相互依赖、相互制约的辩证关系二、 “数形结合”思想在我国数学高考中的应用1、“数形结合”思想方法在高考内容中的体现可以说，用数形结合解题在高中数学各个板块中都有应用，像函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几

10、何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。2、“数形结合”思想方法在高考解题中占有非常重要的地位。数学考试大纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，具体来说数形结合把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，巧妙运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空

11、题的解答中更能体现其优越性，近年在解答题中也加重了对数形结合的考查。通过下表2008年各地高考数学理科试卷涉及数形结合的题目及分值来看，其重要程度不言而喻。2008年高考数学理科试卷涉及数形结合的题目及分值统计 知识点 题号高考卷种集合函数不等式线性规划解析几何立体几何总计分数全国卷一2，810，1315，2111，16，1859全国卷二13，8514，2112，1954宁夏海南卷1，102411，14，2012，15，1864江苏卷415，18，204，149，121675广东卷16128，11，185，2065山东卷3，4，1710，11，226，2068注：宁夏海南卷，江苏卷，广东卷，山

12、东卷为2008年全国高考数学新课程试卷。三、“数形结合”思想在全国各省市2008年高考题的体现及分类解析1、利用数形结合解决集合问题图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。（1）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题如：当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。（2）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆

13、相离则表示两个集合没有公共元素若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题例如：例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD分析不等式表示的集合通过数轴解答.-2 -1 3 4 x解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D答案D点评：对于不等式表示的集合,应用数形结合可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算。例 2 .（2008四川卷,理1）设集合，则( )（）（）（）（）分析此题重点考察集合的交集，补集的运算；画韦恩氏图，数形结合。解 又 答案B _B_A_2_3_u_4_15点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题

14、思路清晰，分类清楚，易于操作。统计：2008全国 1、天津6 、重庆11、上海2、陕西2、 辽宁1、安徽2、浙江2、江西2山东1、江苏4均为与例1例2相似利用数形结合解答的集合问题2、利用数形结合解决函数（也包括三角函数）的问题函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，从而实现数形结

15、合与转化，简化解题。 如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的交点个数问题。不等式f（x）g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理。 例3. （2008浙江卷,理5） 在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）4分析本题考查了诱导公式以及三角函数的图象等知识，不规则方程判断根的个数问题。 解： 图象如图所示，直线与该函数图象有两个交点。答案C点评：

16、本题考查学生的数形结合的能力。在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。对于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解,再说有几个根是不可能的,而借助数形结合将根的个数问题转化为图像的交点个数问题. Oyx例4.（2008山东卷，文12）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）A BCD分析本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。解：由图象知，函数为增函数，取特殊点 ，答案A点评：本题先给出函数图像，结合已知条件及对数函数性质

17、，从图象中挖掘出,再利用代数方法求得结果，属于典型的数形结合。例5.（2008福建卷，理12）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。分析本题考查识别函数图像的能力。解：令，则，当时，由图象知，即，是增函数，则答案，错，当时，即，是减函数，则答案错，故选答案点评：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，再利用数的方法分析解答，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。例6. (2

18、008山东卷、理3)函数的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD分析 是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.答案A点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，仔细观察图像给出的信息，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，俩者相结合快速解答本题。统计：2008全国 2，6，8、全国 3，8、北京8、天津3，7，9、 重庆4，6，13、上海4，6，11、陕西7，11、四川3，5，11、 辽宁12，13，16、 浙江5，8，15、安徽9,11,13、福建4、江西3，6，12、湖南6，10，13，14、 湖北4，13、山东4，5 广东12、 宁夏海南1，7、 均为函数与图像

19、相结合的典型题目。 3、利用数形结合解决不等式和线性规划问题处理不等式问题时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解，从图形上找出解题的思路，是为数形结合在解不等式问题中的应用；线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用例7（2008江西卷,理14）不等式的解集为 分析画出函数和函数在同一直角坐标系中的图像，找出其交点（-1，），利用指数函数的单调性性质，则不等式的解集就是交点左边的x的取值范围，具体到本题，则只需要解的解即可。 XY(0,1)O（-1，）

20、答案（，3 (0，1 点评：用数形结合思想解方程（组）与不等式，关键是构造它们所对应的函数，再利用函数的图象就可以说明结果，这种解法集中体现了数形结合的思想和知识的内在联系。例8（2008年浙江,理17）若，且当时， 恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_。分析作出可行域，如图阴影部分所示OABxy， 不等式组表示的平面区域为，如图，由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，；同理，以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。答案 1点评：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答，求解的最佳方法就是利用数形结合,先理解所研究对象的几何意义,

21、然后用运动的观点去分析,就可以以不变应万变求解这类问题.此类题目在各地高考试题中均有考查，主要以选择、填空的形式出现。统计：2008全国 9、 全国 4、北京2，13、天津8，16、 上海1，8江西9，14、 山东16、宁夏海南6、 江苏11全国 13、全国 5、北京5天津2、陕西10、安徽15、浙江17福建8、湖南3、 广东4、 山东124、利用数形结合解决解析几何问题圆锥曲线及其解析式是高中阶段的重要知识，数形结合方法在圆锥曲线中的应用是把问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质转化为数量关系问题，数形结合方法是圆锥曲线解题中一种十分重要的思维策略。例9.（2008海南卷，理1

22、1）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）FPQABCD分析点在抛物线的内部,要使点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即时最小。则故选A.答案A.点评：抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常结合草图用定义进行转化.而不可一味的蛮用代数计算。数形结合的作用就在于利用形能简化数的运算，反过来运用数又能使形更加精细。本题充分体现了数形结合思想在解解析几何题中的作用.例10（2008广东卷，理18）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，

23、过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）AyxOBGFF1图4解：（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，关于的二次方程有一大于零的解，有两解，

24、即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。点评：解析几何问题要画出图形，采用数形结合的方法解答。统计：2008全国 10，14，15，21全国 9，11，15、21 北京4，7天津5，13、 重庆3，7，8，15陕西5，8、 四川4，12，14辽宁10、 安徽8、 浙江7，11，12福建11，14、 江西15、 湖南8，12湖北9、广东11、 山东10，11宁夏海南11，14、 江苏9，12均为有关利用数形结合解答解析几何的典型题目 5、利用数形结合解决立体几何问题引进向量的方法后，立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯

25、粹的代数运算。从而大大简化解题。例11（2008年安徽卷，理18）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。分析：要证线面平行,可以在面内找的平行线,取的中点,通过线线平行证出,也可以找平面的平行平面通过面面平行证出; 异面直线AB与MD所成角可以通过平移转化为平面角求出;而（）中点B到平面OCD的距离不易找出,可以利用线转化为点A到平面OCD的距离求出，我们分别用综合法和向量法来解这道题：解法一：（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补

26、角）作连接所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为解法二.(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, ,. , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为点评：立体几何问题一般都可以用两种方法综合法和向量法，经过转化,把立体问题转化为平面问题,将空间问题转化为代数运算从而证得求出. 统计：2008山东卷

27、(20) 和2008江苏卷（16）和（22）为新课标卷灵活应用向量法解立体几何题的代表。四、 运用“数形结合”思想切实提高解题能力通过以上高考题的解答我们可以很清楚地看到如果能给数学命题以直观图像的描述，揭示出命题的几何特征，就能变抽象为形象，就能形成概念的相互转化，就能使抽象思维与形象思维在解题过程中交互运用，也就是说数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；从而提高解题速度与质量。那如何准确地运用数形结合思想进行思考解答数学命题呢？应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论

28、之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。 总之，要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好

29、每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。要根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。在平日的教学与学习中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学习兴趣，提高思维能力。只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。参考文献1 郑国莱.高中生数学辞海.上海人民出版社.2001-05-012 裘光明.数学辞海(第1卷) .山西教育出版社.中国科学技术出版社.2002-83邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.河北理科教学研究 2005-03.40-434杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用.河北理科教学研究 2008-03.39-405徐有标，刘治平龙门专题：高考中的数学思想方法.龙门书局出版社. 2006-8-1 第13 页