数学本质概念——角

《数学本质概念——角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学本质概念——角（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数学本质概念角纯数四陈映妤一、 分年细目中的角3-s-04能认识角，并比较角的大小。（同3-n-17）4-s-01能运用角与边等构成要素，辨认简单平面图形。4-s-04能认识度的角度单位，使用量角器实测角度或画出指定的角。（同4-n-14）4-s-05能理解旋转角的意义。4-s-06能理解平面上直角、垂直与平行的意义。4-s-07能由直角、垂直与平行的概念，认识简单平面图形。二、 角的概念数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原

2、则。1、一般生活中所说的角概念一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角，.，等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。2、理想的角概念从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明(Michael C.1989)：(1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。(2)角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。(3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方向延伸出两条射

3、线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。三、 专家学者怎么看待角度单元内容（一）心理学家谈儿童角的

4、认知概念1、Piaget的角概念发展阶段论 Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。2、 Vygotsky

5、社会文化互动论 Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneous concepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像桌角尖尖的，要小心，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientific concepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教

6、师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。（二）数学家谈角的数学内涵1、 Van Hiele的几何思考阶段论Van Hiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下（朱建正，2002a；Clements & Battista,1992）：（1）阶段零: 视觉期（visualization）即依图形的外在特征来判别，其所关注的要素是外形轮廓。（2）阶段一：分析期（analysis） 能从

7、图形的特质与特质间的关系来分析图形，也可以从图形的部份或整体来分析图形的构成要素。（3）阶段二：关系期（relation）或非形式演绎期（informal deduction） 此期儿童可以透过非正式的论证，把先前发现的性质做逻辑地联结， 能进一步探索图形内在特质关系，及各图形间的包含关系， （4）阶段三：正式演绎期（formal deduction） 此阶段儿童能以演绎逻辑技巧为思考，分析与证明一些公设系统。（5）阶段四：精确期（rigor）或公理性（axiomatic） 可以在不同的公设系统中建立定理，并分析和比较这些系统的特性。2、Close的两种角定义 Close（1982）将角分为二

8、个范畴，一是静态角（static angle），将角视为一固定的维度，所以具有方向性，而另一个是动态角（dynamic angle），是一直线绕一端点旋转的量，所以角是包含于平面上一边旋转到另一边的量。3.朱建正对角的定义朱建正（2002b）分析国小数学课程中有关角的概念，区分为图形角、张开角和旋转角。所谓图形角是由相交且止于一边的二线段所构成，此夹角大于0，小于180度，此二线段称为角的边，交点称为顶点，图形角变大变小的机制不明，所以儿童不易觉察角的存在。张开角是透过折扇的方式，可透过展开大小来表征张开角的大小，透过将张开程度的纪录和图形角比较，来表征角的大小与比较。旋转角是固定一点，像秒针

9、移动的方式叫旋转，旋转的中心点叫支点，旋转具有方向性和大小，因此可做角的合成、分解和度量单位的命名。 4. 理想的角度课程设计 刘好（1997, 1999）认为理想的角课程设计理念应分成三阶段来完成：(1) 从图形角、张开角到旋转角来建立各种角概念 (2) 由角的大小比较、合成、度量单位引出画特定角(3) 由建立直角概念、察觉图形角的特征，引出直线的垂直与平行关系四、 儿童角概念的认知及角概念的启蒙之实际作法1、图形角小学阶段的儿童，尚不易理解理想化的角概念。根据荷兰数学教育家Van Hiele夫妇对儿童几何思考模式的研究指出：儿童最初是透过视觉观察具体物，由实物的轮廓来辨认图形，须透过感官的

10、操作，视觉的观察进行分类、造形、堆栈、描绘、着色等活动获得概念。儿童当能认识正方形或长方形的命名时，并不见得知道如何给正方形下定义。对于角的认识，也有同样的情况。由于我们日常生活中所看到的平面图形，大都属于有限图形，许多的这类图形上包含了角顶点的邻近区域，同时角的内部与角是共生的，角看成区域的概念在初学阶段的儿童较易理解。因此，数学新课程在最初引出角的概念时，由图形角出发，采取角是多边形顶点的局部的观点，由描出凸多边形各角的活动引出角度小于180度的角之部份形象以认识角（见83年版数学实验教材第五册第六单元）。以概念是解题活动过程的抽象的看法，让儿童透过要素抽离的实际活动，自多边形上描下角形，

11、使儿童认识角是构成多边形的要素，初步认识角。2、张开角由于角的多种不同意义，儿童对角的理解较为困难，8至9岁的学童对角的认识，大都仅止于物体上静态的角之局部形象。因此为使理想化的角概念和实物上的角产生联结，应利用角概念的产品，如扇子的开合现象引入，从产品的功能及其形成活动引出角概念（张开角）、角的内部与角共生现象、方向改变及边为射线的一部份（可任意延长）的意义。新课程首先以可张合呈现角形的对象，如扇子之开合现象，让儿童察觉角的形成过程。由观察张开动作体认张开的结果，以活动产生角形，及由角形说明活动现象，使二者形成联结。其次再利用记录（描绘）一端可开合对象的张开形象，产生的角形和多边形图形板所描

12、下的角形之联结，引出角及其构成要素边和顶点的概念及名称。起初重在引出造角活动，其次为活动结果的记录及其构成要素的命名（见84年版小学数学实验教材第六册第九单元活动1，2）。3、旋转角是一种动作，动作停止，其现象即消失，为具体呈现其起始位置和终止位置，通常以直线段或射线表出，若要强调其起始位置及旋转方向，常以 指示，如图。表示一个旋转的记录中起始位置的线段（射线）称为始边，表示终止位置的线段（射线）称为终边，两线段的交点称为旋转中心或顶点，若不考虑其旋转方向，仅记出其起始的两边，则其形象和静态的图形角相似，故一般将旋转角亦简称角。这种旋转是一种较抽象难懂的位置变换，10到11岁的儿童，才有50以

13、上能够描绘一个简单图形绕着一个顶点的旋转(Michael,1989)。向来各国都把角为一射线旋转产生的概念保留到中学角的测量制度之前介绍。Kirsche(1987)认为这样太迟。他认为小学时期的儿童能够而且应该获得旋转的非正式经验，旋转角概念容易以像时钟一样的图像表示，但钟面上的指针不要总是从12开始转。此阶段儿童几何概念的发展，大都还属于Van Hiele所谓的视觉辨识过渡到分析期的阶段，而且旋转概念才初次引出，对于旋转一圈后，可再重复原路径继续旋转的角概念，尚不易理解，故此时仅以360度以内为范围，利用钟面指针旋转及间隔与旋转角度的关系，扩展此概念。五、 由角的大小比较、合成、度量单位的引

14、出到画特定角 角的大小，乃指角的一边扫过一个范围，到达另一边后两边张开程度的大小，这种二维的特征，和长度有较大的差异，一般人常会在角的两边上各选一点，以此两点的距离当做角的开度，形成一个角的边越长，其角度就越大的错误观念。因此，角的张开程度的大小不因为边长的差异而有所不同之正确概念的建立，是角度数量化的基础。(一)儿童角量概念的发展特征 根据皮亚杰(J.Piaget)的研究发现，角的大小常被儿童认为和角臂的长度有关。8岁以前的儿童，大都以角的边长来观察角的大小，直到8岁以后，才能察觉角的两边张开的程度，但此时许多学童尚缺乏角的保留性概念，同大的角，若摆置的方向不同，如 a和b为同大的角，c和d

15、皆为直角，但摆放的问口方向不同，他们会认为大小不一样。 据研究发现，儿同能察觉角的大小是指两个边张开程度的不同之后，才能做两个不同的角量之比较，进而以一个基准角去描述另一个角的角量，将角量数值化。Micheal强调儿童必须熟悉角的射线对、区域、旋转三种的概念，而且达到融会贯通之后，才能了解测出度数的意义。 当儿同能察觉角的大小乃是两边张开程度的差异时，开度相差较大的角，儿童可以由视觉判定其大小，开度相差不大的角、角的边长短不一致或角的开口方向不同，较难由视觉正确分辨的情况，可以经引导后，利用迭合方式加以判别。当儿童具有角的开度保留概念及递移概念时，对于无法进行直接迭合判断大小的角，便能利用复制

16、(如描绘)的方式加以处理。 儿童能以单位度量角度之前，必须先具备角的合成概念：两个角可以使其一边相迭合成另一个角。理解此概念之后，进而可领会数个相等的角可以依此法合并，形成一个开度相当于一个角的数倍大的角，因而理解5个1度的角可以合并成5度角，10个1度的角可以合并成10度角，.，明白量角器上刻度的意义。(二)由直观比较、直接比较到间接比较判定两个或两个以上的角之大小 基于以上儿童角量概念的发展特性，教学时，必须以不同的实例呈现不同特征的角供儿童观察、操作与讨论。因此，新课程中，首先提出开度差异较大的角，如张开两把差异极显著的纸扇，由儿童直观的利用视觉辨别。其次提供较难由视觉正确分辨其大小的角

17、，如利用各种图形板上的角，引出使用迭合之方式进行直接比较。 直接比较与角所附着情境的不同，可分成四种不同难易层次，由低而高分别为(1)单纯角形且可任意移动的二角之迭合；(2)一角可随意拿动，另一角不可单独移动；(3)两角皆不可单独移动，但其附着物可随意移动，且可迭合；(4)实物上的角，其中至少一个便于拿动，教学时，自较低层次的比较情况开始，再渐进到较高层次的比较。 在儿童熟悉直接比较之方式后，接着引出无法或不便进行直接比较的两个角，如在同一图形板上的角或同一不可(易)弯折的实物上的角，让儿童经验并察觉利用复制(如描绘)的方式进行间接比较。(三)一般角量的描述单位及小学介绍的对象 所有度量角的方

18、法均以细分圆为基础，一般有二种常用的单位，它们分别根据度和弧长来量。 (1) 度：若一圆以半径将之等量分割为360部份，则每二相邻的半径所夹的角为1度，记作10。 (2) 弪：一个圆心角所对弧的长，与圆的半径成正比。如果取圆心角所对的弧长对其半径的比值作为圆心角大小的度量，则此度量称为弪，又称为弧度。 由于度的概念与用尺量长度的概念关系较为密切，中年级的儿童可以利用长度数值化经验的延伸，引出角的开度和量角器上刻度数值的联结，进而理解度的意义。弪的概念此阶段的儿童尚不易理解，此种角度单位，一般在高中阶段才介绍。(四)由简化的量角器经验刻度的描述到一般量角器引出度的意义 角度的二维特征和长度的一维

19、性质不同，因此对初步经验的儿童而言，一般量角器是一把量角的怪尺，为完全陌生的仪器，其构造较为复杂，较难理解。新课程先以简化的量角器让儿童查觉其上的刻度线，形成不同开度的角形，再产生角的开度与量角器上刻度数值之联结，进而尝试在量角器上比对，逐渐形成以数值描述角度的共识。其大致的引导过程如下：1、引出量角工具的需要感，初步经验角度数值化的方式。 首先引出开度为10的整数倍的角（如直角、60度、30度角等）做为观察比较对象，然后利用量长度时，可以用尺来量，量完后用几公尺或几公分告诉别人量的结果有多长，那么，角有多大，可以用什么量，量完后怎么说角有多大？来引起量角工具的需要感。再提出简便的量角器(每5

20、度画一刻度，每10度标出度数，并将刻度线延伸至量角器的中心)让儿童察觉其上的刻度线形成不同开度的角形，使产生角的开度与量角器上刻度数值的联结，再以角形板（如900、600、300的三角板）在量角器上比对，逐渐形成以数值描述角度的共识，起先以开度为10的整倍数的角让儿童比对观察，使其初步经验角度数值化的方式，再提出度数为5的整倍数的角（如450、1050，.）让儿童比对，尝试推断其度数。2、进行角的合成及个别单位的累积。 先让儿童利用两个角（等大或不等大）拼成一个角后，将其描下，并察验其开度，以经验两个角的合成，再利用数个等大的角拼成较大的角，让儿童观察所合成的角之大小，并以个别单位做两个合成角

21、的比较，使领会数个一样大的角可以合拼形成开度相当于一个角的数倍大的角。3、认识量角器上刻度的意义。 以视觉辨别角的开度时，常会受到角之开口方位不同的影响，量角器上每个刻度线的方向皆不同，儿童对于两组开度一样但朝向不同方向的角大小之感觉可能有异，因此，宜先进行检验的活动。让儿童比对各种量角器上各个10度的大小，以确认量角器上相邻的10度线之形成的角都一样大。再观察量角器上（利用如市面上量角器的刻画，但只标示一排数字之量角器），10度的角里面有几小格刻度，以引出1度的角概念，由10度角中有10个1度角，10个1度角可合成一个10度角，以及5度角有多大，5度的角里有几小格刻度，5度的角和几个1度的角

22、合起来一样大等，以明白量角器上刻度的意义。(五)角度的估测与验证 连续量的估测是一种粗糙的截取活动，对某一定的量有了量感之后，也可以此量做增减，估计另一物件之量的大小。因此，在学童已有三角板上各个角度大小及1度、5度等概念之后，可以这些为参考进行估测活动，再以量角器加以验证，使学童增加角度量感及熟练量角器的操作要领。实验教材中，在习作内设计有两直线相交、两并行线和另一条直线相交之交角、四边形、三角形之内角，互补角等的观察及检验活动，即为此目的而设计。因为以量角器量角，各人的操作技巧不同，常会有不同误差，所以此时仅做视觉判断其大小及量角器之查验的操作，并不做其相关特性的讨论（如对顶角相等、三角形

23、内角和是180度，.等之推论）。(六)使用量角器经验画特定度数的角之方法 一般人所能画出的角，都仅是画出靠近其顶点的部份之形象而已，若不要求较精确之特定的开度，则可朝着两个不同的方向画出交会于一点的直线（射线或线段），即得一个角的部份图像。要画出指定开度的角，通常在画出角的一边后，确定顶点，再依指定开度画出另一边，此边的确定，通常使用量角器量出角度，确定边上的一点位置，再将此点与顶点连出适当长度之线段。四年级的学童，在明白量角器的量角策略后，宜在让其利用量角器经验画角的方法。 教学时，只要儿童以合理策略画出指定度数的角即可，并不限定其操作方法，如：必须将第一边和量角器的零度线迭合以确定第二边的

24、位置。(七)旋转角的比较与度量、建立180度到360度以内之角度概念 相同旋转中心和起始位置，且旋转方向相同的两个旋转，极易由终止位置的同异分辨其旋转程度的差异。若同始边不同转向，或不同旋转中心的两个旋转，当旋转程度差异极明显时，亦可进行直观的判别，若差异并不十分明显，则不易判断其大小，必须将其记录后再做比较。比较的方式，可仿图形角利用迭合法，也可利用量角器量出度数，以度数的多少比较其程度的大小。新课程的设计，先让儿童经验以上各种情境的比较，再延伸至利用钟面情境探讨360度以内的旋转角度。 在利用钟面讨论旋转角量时，为便于说明，先对钟面的特征做一些共同的约定：指针由某数字对应之刻度转至相邻数字

25、对应之刻度时，称为转一大格(相当于转了5分钟的间隔)，所转角度为30度。利用此特性及角度的加法性，推广旋转角度的范围至360度。其引导过程，宜先由钟面图观察指针自钟面上的任意数字开始转一大格，讨论转了多少度，接着转2大格，3大格，.，6大格（半圈），分别讨论各转了多少度，引出180度的旋转角度；再由连续转了7大格，8大格，.，分别是转了多少度，最后自某一数字开始转一圈，是转了几大格，转了多少度，引出超过180度的角度与360度的角度。为培养逆向思考能力，宜再以相反的情境布题，如指针由指向5的位置旋转30度后会指向那一个数字？转了240度后转了几大格？指针指向那个数字？以增进旋转程度和角度概念联

26、结的经验。六、 由建立直角概念，察觉长方形、正方形、直角三角形角的特征及引出直线的垂直与平行关系(一)直角的认识1、直角的形成及角的分类直角最初得自人们观察铅直方向与水平方向所成之形象特征。数学上，角以两边所指的方向差的大小加以分类，若角度相等于一圆半径绕圆心旋转四分之一圆时，则称此角为直角。仿此定义，相等于半径旋转半个圆时，称为平角，若小于直角，则称为锐角，大于直角而小于平角，则称为钝角，大于平角称为优角，两边重迭的优角称为周角或全角。由于直角是构成生活中许多特殊图形的基本要素，如正方形、长方形，垂直与平行关系的引出皆与直角息息相关，所以在中年级教材中特别另列活动引导此概念，至于平角、周角、

27、锐角、钝角，尚不在小学教材的引导内容中，此处不加以讨论。2、儿童直角概念的认知发展特征Bryant(1974)的研究发现，5岁的儿童可以在一堆直角与非直角的图形适配器中分辨出直角，且彼一堆非直角的图卡中彼此的区别容易。同时发现，在一些直角的图形中，角的边是否呈水平或铅直，在比较两角是否相等时，对于观察者的反应有敏感的影响。两直角之比较，若其开口方向不同，如，Noss(1987)发现不到50的1011岁的儿童会认为二者相等。由此显示倾斜摆置的直角常不被确认，可知大部分的儿童对直角的保留概念发展约在1011岁以后才较成熟。儿童最初仅接受一边是水平，另一边呈铅直情况的直角。3、直角概念的建立小学三年

28、级的学童，尚处于角概念的启蒙阶段，对于直角仅是初步的认识。由于自一年级便开始引出正方形、长方形的观察，此时儿童对于这些图形的轮扩特征已有相当的认识，因此，新课成利用正方形和长方形板上的角为观察对象，引出直角名称。再进行各个具有明显直角特征对象上的直角之比对，如找出三角板上的直角，并将其描绘在纸上，把直角由实物上的象征抽离为纸上抽象的图示，察觉在不同方位上显现的直角特征，再由查验周遭对象上的直角的特征，引起折直角的动机，导出直角的简便折法，以增进儿童对直角之认识及了解其简便作法。 (二)直角概念的应用1、透过直角察觉直角三角形、正方形及长方形之特性在引出直角概念之前，儿童对于三角形与四边形构成要

29、素边、角、顶点已有所认识，但尚未进一步察觉其角开度的特殊性。在引出直角概念之后，进一步引导儿童检验三角形、四边形上各角开度的差异，使儿童察觉直角三角形上有一个角是直角，正方形和长方形上有四个直角，使儿童对于这些图形的构成要素特征有更进一步的认识。2、垂直和平行概念垂直线：生活中所说的垂直线，常指与水平面成直角的线，数学上则称交角为直角的直线为互相垂直的线。并行线：二直线若方向相同，则为并行线，或处处等距的两直线为并行线。若在平面上而言，可说成任意延长不相交的两直线为并行线。由以上概念可知，以交角为直角定义互相垂直的线，两直线间的距离，通常指垂直两直线的线段长，与直角关系亦密不可分。四年级的学童

30、，对于长方形、正方形角的性质大都已经熟悉，新课程利用此旧经验，运用长条形对象（如竹签、吸管等），排长方形，由相邻两边排成直角引出两边互相垂直的意义，再逐步延伸一直角的两边形成T及之形状，以扩张直角两边互相垂直的意抑制两直线互相垂直的一般现象。学童的簿本中，常画有平行的线条，五线谱亦为常见的并行线。新课程利用这些儿童常见的并行线情境与一些歪斜线对照，引出并行线的特征及用语，再利用一张纸连续折两次直角的方式察觉同时垂直于第三条直线的两直线互相平行之特征，并以此特征检查两直线是否平行。在儿童熟悉垂直线的特征之后，再引导儿童试画互相垂直的线，先由儿童自行思考试画，然后共同讨论一般的画法。在并行线方面的

31、画图亦仿此策略引导，使儿童经验互相垂直及互相平行的直线之画法。七、 学生在角度单元九大错误类型角度单元涉及图形空间概念，和量的实测操作能力，不管各出版社是放在三年级或四年级，其在概念呈现上都出现概念不清、连结不力的跳跃现象，难怪每年教完这个单元，不管城市或乡村，不管资深教师或刚出道教师的教学，学生在这一单元明显的错误都大同小异（黄金泉，2003；秦丽花，2005），如：(1)在角的意义上，儿童对角度意义不了解，也不了解角度测量的内涵；(2)在角的大小比较上，误以为边长比较长、比较粗、弧度标示比较大，角度就比较大，也无法指出旋转角；(3)在角的辨识上，以为尖尖的顶点就是角；(4)在角的保留概念上

32、，以为角度会因图形方位改变而改变；(5)在直角概念方面，只会用量角器测量，不会用三角板检测，也不能接受歪斜的直角；(6)在画图形角方面，以为只能从量角器的右边看起；(7)在画图形角方面，因不会看量角器的内、外圈数字而有错误，以为线段上的任一点都可当顶点来画角；(8）学生很难建立大于180度优角的观念；(9）对于平角与周角的概念不明。八、 教学策略角度教学问题教学策略l 不会使用量角器，学生也不懂究竟要看左边或右边的数字刻度；遇到角度不正的题目，学生更不知要怎么放对量角器。1. 教学生把0线重迭角的一边，而不是说把0线对齐角的一边；2. 又教学生说一定要跟着0走，避免学生不会看错数字；3. 最后

33、，会带领学生一起说我是量角王！希望藉此让学生拥有学习的乐趣与动机。l 对右开角熟悉，对左开角陌生请学生拿出三角板，实际去量每一个角度到底有多少，再决定角的大小。l 量角器的使用：60度 量角器有两排刻度会看错边变成120度。1. 重新测量，注意零的位置。2. 多练习。3. 出错的题目请小朋友上来正误区辩，让小朋友共同澄清如何来测量角度。4. 老师重复叮咛：把量角器的中心点对齐欲测量角度的顶点，并让要测量角度的一边对齐量角器的零度边，依此再判断另一边是在哪一刻度的在线，则为此角度之值。l 旋转角的问题：角度80度和100度会分不清楚，因为量角器有两圈刻度，会无法分辨是哪一个。让学生看开口，当开口

34、在左边时 就从左边的0开始看，当开口在右边时就从右边的0开始看。l 角的概念：1. 认为线条的长短会影响角的大小。例如当他们看到以下这三个角时，虽然三个角度相同，仍会直接判定线段长度越长的，角度越大。 2. 角度观念上，若有并排的角时，学生常会认为上面的角会比下面的大。例如：1. 先在黑板上清楚定义概念、列出主要属性，因为这是学生们用以判断正例或反例的标准。另外，在教学过程中，也要多举一些例子，提供学生多去做正误区辨的机会。角度也是运用教具及实物，量角器要让他们从起始点看，大约量的角度都是整数的，教小朋友从归零的怎么看，可以从两边看，最重要是实测，实测后才是估测。生活化的东西可以多举例，可以唤

35、起旧经验。2. 学生在视觉上会有偏差，看到这样的题目时，老师会请学生拿出三角板，实际去量每一个角度到底有多少，再决定角的大小。这又有另一项的问题，学生在看三角板时，因三角板的刻度是双向的，学生也较容易看错边，老师会告诉学生，当底边是从哪一边开始就从那边开始数，这样学生就较不易看错边的刻度。九、 参考数据朱建正(2002a)。国民小学数学教材分析体积与角度 。国立教育研究院出版，台北县。朱建正(2002b)。角度的教学与认知结构。辑于周筱亭、黄敏晃编：国小数学教材分析体积与角度(35-40页)。台北县：台湾省国民学校教师研习会。刘好(1997)。角的课程设计理念，辑于台湾省国民学校教师研习会编： 国民小学数学科新课程概说(中年级)协助儿童认知发展的数学课程(202-214页)，台北县。刘好(1999)。小学几何概念之教学-以中年级教材为例，辑于高雄市公教人力资源发展中心编:新典范数学(221-239页)，高雄市。从不同角度让角转动起来www.ccda.org.tw/docFiles/2005GTExcellent/2/2.doc林宜臻数学园地http:/jen.naer.edu.tw/角度在线教具http:/www.interactive-resources.co.uk/mathspack1/angle/angle.html14