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1、新编人教版精品教学资料第一章第一节第1课时 变化率与导数【课标学习目标】1理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率2理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)3理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程【情景引入】你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭
2、”程度【知识探究】1已知函数yf(x)，那么变化率可用式子_表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即x_，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，y_.于是，平均变化率可以表示为_2一般地，如果物体的运动规律是SS(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当t0时平均速度的极限，即V _.3一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 _.我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作_或_，即f(x0) _.4导数的几何意义是_ _，即k_.5当xx0时，f(x0)是一个确定的数这样，当x变化
3、时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的_(简称_)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y_.答案1.x2x1f(x2)f(x1) 2. 3. f(x0)y|xx0 4曲线yf(x)过点(x0，f(x0)的切线的斜率 f(x0)5导函数导数 【例题讲解】题型一求瞬时速度【例1】以初速度v0(v00)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度【分析】先求出s，再用定义求当t0时的极限值【解析】sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt，当t0时，v0gt0.故物体在时刻t0的瞬时速度为v0gt0.【评析】瞬时速度
4、即是平均速度在t0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度。题型二导数定义的应用【例2】求yx2在x1处的导数【分析】先求，再利用定义求【解析】方法一y(1x)212x(x)2，2x， (2x)2，y|x12.方法二y(xx)2x22xx(x)2，2xx，y (2xx)2x，y|x1212.【评析】用导数的定义求函数的导数是求函数导数的基本方法，此方法不仅能求出导数，而且能加深对导数概念的理解，可简记为：一差，二化，三极限求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值题型三导数定义的综合应用【例3】设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值(1) ；(2) .【
5、分析】在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式【解析】(1)原式 (x0时，x0)f(x0)(2)原式 f(x0)f(x0)f(x0)【评析】概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化题型四已知切点坐标，求切线方程【例4】已知曲线yx3上一点P，如图所示，求：(1)点P处的
6、切线的斜率；(2)点P处的切线方程【分析】根据导数的几何意义知，函数yf(x)在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程【解析】(1)由yx3得y 3x23xx(x)2x2.y|x2224，点P处的切线的斜率为4.(2)在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.【评析】解决这类问题的关键是明确导数的几何意义应注意题目中给出的点是否在已知曲线上题型五切点未知时，求切线方程【例5】求曲线y过点(1,0)的切线方程【分析】观察可知点(1,0)并非曲线上的点，所以必须先把切点设出【解析】显然(1,0)不在曲线y上，则可设过该点的切线的切点为A，则过该
7、点的切线斜率为k1f(a) ，则切线方程为y(xa)将(1,0)代入上面方程，得0(1a)，得a.故所求切线方程为y4x4.【评析】当点不在曲线上时，应该根据导数的几何意义，设出切点，并求出【课后总结】1在式子中，当x1取定值，x取不同数值时，函数的平均变化率不同；当x取定值，x1取不同数值时，函数的平均变化率也不同2会利用导数定义求物体在某一时刻的瞬时速度，解决这类问题的关键是熟练掌握导数的定义【课后练习】1.在求平均变化率中，自变量的增量x()A大于0 B小于0C等于0 D不等于02已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x，f(1x)，则等于()A4 B42x C42
8、x2 D4x3已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D1654曲线y2xx3在点(1,1)处的切线方程为_5曲线yx33x2a在点P(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x1 Dy4x7参考答案：1.解析由导数定义可求得a.故应选D.2. 解析由导数定义可得故应选B.3.解析由于曲线yx33x2a在x1时的导数为y3，所以在点P处的切线斜率为3，由点斜式方程可得B.故应选B.4. 解析因为y1x1x1，所以.所以y 0.5. 解析设切点坐标为(x0,1)，由导数的定义可求得f(x0)4x04，由题意知，4x040，x01，即切点为(1,1)，所以124p，解得p3.答案3
新编高中人教a版数学选修11课时作业：31变化率与导数 含答案
