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1、设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为 I :一、函数的单调性一、函数的单调性注注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间区间而言而言的的. 有的函数在一些区间上是增函数有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能而在另一些区间上可能是减函数是减函数. . 如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的内某个区间上的任意两个自变量的值值 x1, x2, 当当 x1x2 时时, 都有都有 f(x1)f(x2), 那么就说那么就说 f(x) 在这个区间在这个区间上是增函数上是增函数; 如果对于属于定义域如果对于属于
2、定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的内某个区间上的任意两个自变量的值值 x1, x2, 当当 x1f(x2), 那么就说那么就说 f(x) 在这个区间在这个区间上是减函数上是减函数. 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函那么就说函数数 y=f(x) 在这一区间上具有在这一区间上具有( (严格的严格的) )单调性单调性, 这一区间叫做函这一区间叫做函数数 y=f(x) 的单调区间的单调区间.二、单调区间二、单调区间1.取值取值: 对任意对任意 x1, x2M, 且且 x10(0, b0) 的单调区间的单调区间.xb解解: 函数函数
3、f(x) 的定义域为的定义域为(-, 0)(0, +), 典型例题典型例题函数函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x)=a- - = , bx2ax2- -b x2函数函数 f(x) 的单调递增区间是的单调递增区间是 (-, - - ) 与与 ( , +), abab函数函数 f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- - , 0) 与与 (0, ). abab令令 f (x)0 得得: x2 - - x0 或或 0 x0 得得: x2 x ; ababab 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意但必须注意, 如果函数的
4、解析式含有如果函数的解析式含有参数参数, 而且参数的取值而且参数的取值影响函数的单调区间影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行这时必须对参数的取值进行分类讨论分类讨论. 注注: 这个函数的单调性十分重要这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛应用非常广泛, 它的图它的图象如图所示象如图所示:oyx2 ab- -2 ab baba- -2.试讨论函数试讨论函数 y=2log2 x- -2log x + 1 的单调性的单调性.1212解解: 令令 t=log x, 则则 t 关于关于 x 在在 (0, +) 上单调递减上单调递减.12而而 y=2t2- -2t+1 在在 (-, 上单减上单
5、减, 在在 , +) 上单增上单增,1212又由又由 t得得 x , 1222由由 t 得得 0 x , 1222故函数故函数 y=2log2 x- -2log x+1 在在 , +) 上单调递增上单调递增, 在在 (0, 上单调递减上单调递减.12122222 3.设函数设函数 f(x)=kx3+3(k- -1)x2- -k2+1. (1)当当 k 为何值时为何值时, 函数函数 f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (0, 4); (2)当当 k 为何值时为何值时, 函数函数 f(x) 在在(0, 4)内内单调递减单调递减.不等式不等式 f (x)0 的解集为的解集为( (0, 4)
6、), 0 与与 4 是方程是方程 kx2+2(k- -1)x=0 的两根的两根,即即 kx2+2(k- -1)x0 的解集为的解集为( (0, 4) ), 故由根与系数的关系可求得故由根与系数的关系可求得 k 值为值为 . 13(2)命题等价于命题等价于 kx2+2(k- -1)x0 对对 x (0, 4) 恒成立恒成立, 设设g(x)=kx+2(k- -1), 等价于等价于 kx+2(k- -1)0 对对 x (0, 4) 恒成立恒成立, 由于由于 g(x) 为单调函数为单调函数, g(0)0 g(4)0 k . 13则则 ( (或分离变量或分离变量 k0 得得: x- -1 或或 0 x1
7、; 由由g (x)0 得得: - -1x1. 故故 g(x) 的单调递增区间是的单调递增区间是 (- -, - -1) 与与 (0, 1);单调递减区间是单调递减区间是 (- -1, 0) 与与 (1, +).4.已知已知 f(x)=8+2x- -x2, 若若 g(x)=f(2- -x2), 试确定试确定 g(x) 的单调区间的单调区间. 5.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的增函数上的增函数, 对对xR有有f(x)0, 且且f(5)=1, 设设F(x)=f(x)+ , 讨论讨论 F(x) 的单调性的单调性, 并证明你的结论并证明你的结论. f(x) 1 分析分析: 这是抽象函数的单调性问
8、题这是抽象函数的单调性问题, 应该用单调性定义解决应该用单调性定义解决. 解解: 在在 R 上任取上任取 x1, x2, 设设 x1f(x1) 且且:F(x2)- -F(x1)=f(x2)+ - -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)- -f(x1)1- - . f(x1)f(x2) 1f(x) 是是 R 上的增函数上的增函数, 且且 f(5)=1, 当当 x5 时时 0f(x)5 时时 f(x)1.若若 x1x25, 则则 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)F(x1); 1- - x15, 则则 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1,
9、 综上综上, F(x) 在在 (- -, 5) 上上为减函数为减函数, 在在 (5, +) 上上为增函数为增函数.f(x2)- -f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- - 0, f(x1)f(x2) 1 6.已知函数已知函数 f(x) 的定义域为的定义域为 (- -, 0)(0, +), 且满足条件且满足条件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 当当 x1 时时, f(x)0. (1)求证求证: f(x)为偶函数；为偶函数；(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x- -3)2的的解集解集.(1)证证: 在在中令中令 x=y=1,
10、 得得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令令 x=y=- -1, 得得 f(1)=f(- -1)+f(- -1)f(- -1)=0. 再令再令 y=- -1, 得得 f(- -x)=f(x)+f(- -1)=f(x). f(x) 为偶函数为偶函数. 先讨论先讨论 f(x) 在在 (0, +) 上的单调性上的单调性, 任取任取x1, x2, 设设x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在在 (0, +) 上是增函数上是增函数, 由由 (1) 知知, f(x) 在在(- -, 0) 上是减函数上是减函数. 偶函数图象关于偶函数图象关于 y 轴对称轴对称, (2)解解: 在在中
11、令中令 y=, 得得: x1由由知知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =- -f(x), x 1 x 1 则则 f(x2)- -f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解解: fx(x- -3)=f(x)+f(x- -3)2, 由由 、 得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(- -4), 1) )若若 x(x- -3)0, f(x) 在在 (0, +) 上为增函数上为增函数, 由由 fx(x- -3)f(4) 得得: 2) )若若 x(x- -3)0 x(x- -3)4 x3 - -1x4 - -
12、1x0 或或 3x4; x(x- -3)0 x(x- -3)- -4 0 x3. 0 x3 x R 原不等式的解集为原不等式的解集为-1, 0)(0, 3)(3, 4 . 注注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基其基本方法是变量代换、换元等本方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点应熟练掌握它们的这些特点. 法二法二 原不等式等价于原不等式等价于 f|x(x- -3)|f(4)( (x 0, x- -3 0) ), 由由 f(x) 在在 (0, +) 上为增函数得上为增函数得: |x(x- -3)|4. 再进一步求得解集再进一
13、步求得解集.(1)证证: 由已知由已知, 对任意的对任意的 x1, x2(-, +) 且且 x10, f(x2- - x1)1. f(x2- - x1)- -10. f(x2)- -f(x1)0 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数.(2)解解: f(4)=5, 令令 a=b=2 得得: f(4)=f(2)+f(2)- -1, 从而从而 f(2)=3.原原不等式等价于不等式等价于 f(3m2- -m- -2)f(2).f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数, 3m2- -m- -22, 即即 3m2- -m- -40. 解得解得: - -1m . 434
14、3故不等式故不等式 f(3m2- -m- -2)0 时时, 有有 f(x)1. (1)求证求证: f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数; (2)若若 f(4)=5, 解不等式解不等式 f(3m2- -m- -2)0. 解得解得: - -1x0. 1x2 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 又对任意的又对任意的 x1, x2(0, 1) 且且 x10, 且有且有: 1x1 1x2 1+x21+x10; 1- -x11- -x20, 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 - - 0. log2 - -log2 0. 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 即即 f(x1)f(x2). 函数函数 f(x) 在在 (0, 1) 内单调递减内单调递减. 由于由于 f(x) 是奇函数是奇函数,故故函数函数 f(x) 在在 (- -1, 0) 内也单调递减内也单调递减.
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