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1、 池州一中高三第一次月考数学（理）试题第卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 设（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 已知向量，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若双曲线的离心率为2，则等于（ ）A. B. C. D. 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（ ） A. ，甲比乙成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定 C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，乙比甲
2、成绩稳定 等差数列中的、是函数的极值点，则（ ）A. B. C. D. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径 为2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A BC D 设变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为（ ）A B C D 已知偶函数满足，且在区间上单调递增.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 10. 定义在上的奇函数，满足，则函数在区间内零点个数的情况为（ ）A个 B个 C个 D至少个第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置
3、.11.已知，则的展开式中的常数项是 （用数字作答）.12. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为 .13.抛物线上点处的切线方程是 .14. 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 (为参数）. 、分别是曲线和直线上的任意一点，则的最小值为 .15. 已知函数，给出下列五个说法：；若，则；在区间上单调递增； 将函数的图象向右平移个单位可得到的图象；的图象关于点成中心对称其中正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.16.（本小题满分12分）在ABC中，已知,其中、分别为的内角、所对的边.求：（）求角
4、的大小；（）求满足不等式的角的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，设顶点在底面上的射影为（）求证: ；（）设点在棱上，且，试求二面角 的余弦值18.（本小题满分12分）已知函数，. （）求的极值； （）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围； 19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第 二局比赛结束时比赛停止的概率为.（）求的值；（）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望20.（本小题满分13分）数列的前项和为，（）设，证明
5、：数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）若，求不超过的最大的整数值21.（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （）求椭圆的方程； （）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.池州一中高三年级第一次月考数学（理）试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号答案CADBACBABD【解析】因为，所以，选C.【解析】因为，所以选A.【解析】由知，而，解得，选D.【解析】由茎叶图知，甲的得分情况为
6、17,16,28,30,34；乙的得分情况为15,28,26,28,33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为，故可知，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B.【解析】.因为、是函数的极值点，所以、是方程的两实数根，则.而为等差数列，所以，即，从而，选A【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为，故答案为C.【答案】B【解析】直线过定点，作可行域如右图所示，当定 点和B点连接时，斜率最大，此时，选A；【解析】因为偶函数在区间上是增函数且
7、，所 以可化为，则有，解得的取值范围是，选B.【解析】是定义在上的奇函数，且周期是3，即.，；又，则，从而,所以内，至少有6个解，选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 题号答案2【解析】，因而要求展开式中的常数项是，即求展开式中的的系数，由展开式的通项公式，则令，解得，从而常数项为； 【解析】根据题意，由于，；那么第一次循环得到“，” ；第二次循环得到“，”；第三次循环得到“，”；可知s的值呈现周期性出出现，周期为3，故可知当时，.此时输出结果为2，故答案为2.【解析】由得，则，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即.【解析】曲线的直角坐标方程为，而直线的普通方程为，曲线
8、与直线平行，则.【解析】.正确，；错误：由，知或；错误：令，得，由复合函数性质知在每一个闭区间上单调递增，但，故函数在上不是单调函数；错误：将函数的图象向右平移个单位可得到；错误：函数的对称中心的横坐标满足，解得，即对称中心坐标为，则点不是其对称中心.三、解答题：本大题共6小题，共75分. （本小题满分12分）【解析】（）由及正弦定理得(+)(-)=(-),即 4分，由， 6分（） , 7分即,9分. 12分 （本小题满分12分）证明：（）方法一：由平面，得，又，则平面，故，3分同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故 5分方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的
9、射影必在，故（）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角， 8分由已知可得，则，故，则，又，则， 10分故，即二面角的余弦值为12分方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则，可得，8分则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得10分则，即二面角的余弦值为 12分（本小题满分12分） 【解析】（）函数的定义域为。 1分，令得 3分当为增函数； 4分当为减函数， 5分可知有极大值为6分（）由于,所以立不等式在区间上恒成立，即在上恒成立，设由（）知，在处取得最大值，12分【参考题】（）已知且，求证：.，由上可知在上单调递增， ，即
10、 ， 同理 两式相加得， （本小题满分12分）【解析】（）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，3分解得或.又，所以.5分（）依题意知X的所有可能取值为2,4,6。6分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，9分则随机变量的分布列为X246P故.12分（本小题满分13分）【解析】（）因为，所以 当时，则，1分 当时，2分所以，即，所以，而，3分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以4分（）由（）得所以 ，6分-得：，7分.9分（）由(1)知 10分，12分所以，故不超过的最大整数为13分21.（本小题满分14分）【解析】（） 直线相切， 3分椭圆的方程是 6分（），动点到定直线：的距离等于它到定点的距离，动点的轨迹是为准线，为焦点的抛物线 6分点的轨迹的方程为 9分（），设、 ，化简得 11分当且仅当即时等号成立 13分，又当即时，故的取值范围是14分
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