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1、【合情推理【合情推理】 _类比推理类比推理1、有一小贩在卖一篮杨梅，我先尝了一个，觉得甜，又尝、有一小贩在卖一篮杨梅，我先尝了一个，觉得甜，又尝了一个，也是甜的，再尝了一个，还是甜的，所以我觉得这了一个，也是甜的，再尝了一个，还是甜的，所以我觉得这一篮杨梅都是甜的。一篮杨梅都是甜的。这种由某类事物的这种由某类事物的部分部分对象具有某些特征对象具有某些特征, ,推出该类事物的推出该类事物的全部全部对象都具有这些特征对象都具有这些特征的推理的推理, ,或者由或者由个别个别事实概栝出事实概栝出一般一般结论结论的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理.(.(简称归纳简称归纳) )S1具有具有P,S2
2、具有具有P,Sn具有具有P, (S1,S2,Sn是是A类事物的对象）类事物的对象）所以所以A类事物具有类事物具有P火星火星地球地球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）是归纳推理？是归纳推理？2、火星上有没有生命？火星上有没有生命？可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在大部分时间的温度适合地大部分
3、时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转火火 星星 地地 球球类比推理类比推理定义：由两类对象具有某些定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理对象也具有这些特征的推理称为称为类比推理类比推理(简称简称类比类比)。特点特点 ：
4、4 4、由于类比推理的前提是两类对象之间具有某、由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似类似特征。特征。1、类比推理是由、类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理。的推理。2、类比推理是从人们已经掌握了的事物的特、类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠结果具有猜测性，不一定可靠。3、类比推理以旧的知识作基础，推测新的结、类比推
5、理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有果，具有发现发现的功能。的功能。1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮
6、原理， 发明了潜水艇发明了潜水艇. a bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)a bab abR 1122/,()aba ba b1 12202212
7、|aaa222123|aaaa空间向量空间向量平面向量平面向量圆的性质圆的性质 球的性质球的性质球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为( (x-xx-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2
8、2 = r= r2 2球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。都是到定点的距离等于定长的点的集合。与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y
9、-y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦圆的面积圆的面积2 2S =RS =R圆的周长圆的周长 RC21、进行类比推理的、进行类比推理的步骤步骤： (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质
10、a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论运用类比法的关键是：运用类比法的关键是：寻找一个合适的寻找一个合适的类比对象类比对象基本原则是要根据当前问题的需要，选择基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象适当的类比对象。思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象构成几何体的元素数目：三角形构成几何体的元素数目：三角形 四面体四面体平面图形（二维）平面图形（二维）立体图形（三维）立体图形（三维）点点点或线点或线线线线或面线或面平面直角坐标系平面直角
11、坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中试给出空间中四面体性质的猜想四面体性质的猜想类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。赖于平面几何中的类比问题。 -波利亚波利亚3个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF903个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” SC90 C=9
12、00, 则则 c 2 = a 2 + b 2 在三角形在三角形ABC中，中， C= ,三边分别为三边分别为 a , b , c . cos2222abbac类比可得类比可得: C900, 则则 c 2 a 2 + b 2 C900, 则则 c 2 a 2 + b 2平面中的余弦定理平面中的余弦定理空间中的余弦定理空间中的余弦定理P82阅读与思考阅读与思考 平面与空间中的余弦定理平面与空间中的余弦定理我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能解释自然界的秘密。 -开普勒 CDBA1.1.如图，在平行四边形如图，在平行四边形 中，有中，有 那么，在平行六面体那么，在平行六面体 中，有中
13、，有 22222ADABBDAC 21212121DBCABDACABCD1111DCBAABCD DCC1BA1AB1D1)(42122AAADAB练习：练习： P A B B A P A B C B A C2由上图（左）有面积关系： PBPAPBPASSPABBPA则由上图（右），则类似的结论是： ABCPCBAPVVPCPBPAPCPBPA.当 成等差数列时，有 ；当 成等差数列时，有 ；当 成等差数列时，有有210a,a,a02210 aaa3210a,a,a,a0333210aaaa43210,aaaaa046443210 aaaaa 01221100 nnnnnnnaCaCaCaC
14、naaaa,210由此归纳：当 成等差数列时有na,a,a,a210如果 成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为 。1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：表示如下：小小 结：结：原问题原问题类比问题类比问题原问题解法原问题解法类比问题的解法类比问题的解法猜想类比2、运用类比法的关键是：、运用类比法的关键是：寻找一个合适的寻找一个合适的类比对象。类比对象。几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象
15、代数中常见的类比对象数数 向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算无限无限有限有限有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然椭圆、双曲线有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然椭圆、双曲线都是有心曲线都是有心曲线. .过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径。线的直径。定理：过圆定理：过圆 上异于直径两端点的任意一上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值的斜率之积为定值-1.-1.（1 1）写出定理在椭圆）写出定理在椭圆 中的
16、推广，并中的推广，并加以证明；加以证明；（2 2）写出定理在双曲线）写出定理在双曲线 中的推广；中的推广；你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论。 0222 rryx 012222 babyax 0012222 b,abyax3.有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径。定理：过圆 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.（1）过椭圆 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积的定值为 ； 0222 rryx 012222 babyax（2）过双曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积的定值为 ； 0012222 b,abyax（3）过有心圆锥曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积的定值为 ； 0122 ABByAx22ab 22abBA
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