三角函数复习教案

《三角函数复习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数复习教案（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、精品文档文档【讲练平台】例 1角的终边上一点P23 ， m，且 sin =m，求 cos 与 tan 的4值分析角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程解由题意知 r=3 m2，那么 sin = m=m2r3m又 sin =2m24 m，3 m2=4m m=0， m= 5 当 m=0 时， cos = 1 ，tan=0；当 m=5 时， cos = 6 ， tan = 15；43当 m=5 时， cos=6 ， tan =1543点评一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义 )解

2、决例 2 集合 E= cos sin， 0 2 ， F= tan sin ，求集合 E F分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之53解 E= 4 4 ， F = 2 ，或 2 2 ，E F= 2例 3设 是第二象限角，且满足 sin 是哪个象限的角 ?2 |= sin 2 ， 2解3 ， k Z 是第二象限角， 2k+ 2k +223 ，k Z k + k+424 2 是第一象限或第三象限角又 sin|= sin 2， sin 0.是第三、第四象限的角222由、知， 是第三象限角2点评 所在的象限，求2 或 2等所在的象限，要运用终边一样的角的表示法来表示，否那么易出错精品文档第1页共15页

3、第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的根本关系式：sin 2 +cos2 =1， sin =tan ， tan cot =1 ， cos掌握正弦、 余弦的诱导公式能运用化归思想 即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题解题【讲练平台】sin(2 - )tan(+ )cot(- - )例 1化简cos( - )tan(3 - )分析式中含有较多角和较多三角函数名称，假设能减少它们的个数，那么式子可望简化解原式 = -sin tan -cot( + ) (-sin )tan (-cot )(-cos )tan( - )=(-cos )(-tan )si

4、n 2cossin=1 cos点评将不同角化同角， 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法1例 2 假设 sin cos = 8 ， ( 4 ， 2 )，求 cos sin 的值分析 式为 sin 、cos 的二次式，欲求式为 sin 、cos 的一次式，为了运用条件，须将 cos sin 进展平方解 (cos sin )2=cos2 +sin2 2sin cos =1 1 = 3 4 4 (4， 2 )， cos sin cos sin = 32变式 1条件同例， 求 cos +sin 的值变式 2 cos sin = 3， 求 sin cos ， sin +cos的值2点

5、评 sin cos ， cos +sin ， cos sin 三者关系严密，由其中之一，可求其余之二例 3 tan =3求 cos2 +sin cos 的值分析因为 cos2 +sin cos 是关于 sin 、 cos 的二次齐次式，所以可转化成tan的式子2cos2 +sin cos1+tan 2解原式 =cos +sin cos =cos2 +sin2 =1+tan2 = 5点评1关于 cos、 sin 的齐次式可转化成tan 的式子2注意 1 的作用 :1=sin2 +cos2 等第2页共15页第 3 课两角和与两角差的三角函数一【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌

6、握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想将不同角化成同角等解题【讲练平台】例 1 sin sin =1， cos cos =1，求 cos( )的值 32分析由于 cos( )=cos cos +sin sin 的右边是关于sin 、cos 、sin 、cos的二次式，而条件是关于 sin 、 sin 、cos 、 cos 的一次式，所以将式两边平方解 sin sin =1，cos cos= 1，3222，得 22cos( )=1336 cos( )= 72 59点评审题中要善于寻找和欲求的差异，设法消除差异例 2求2cos10-sin20 的值 cos20分析式中含有两个角，故需先化简

7、注意到10=30 20，由于 30的三角函数值，那么可将两个角化成一个角解10 =30 20，原式 =2cos(30 -20)-sin20 cos20=2(cos30 cos20 +sin30 sin20 )-sin203 cos30cos20= 3 cos20点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3 ： sin( + )= 2sin求证： tan =3tan( + )分析 式中含有角 2+ 和 ，而欲求式中含有角 和 + ，所以要设法将式中的角转化成欲求式中的角解 2 +=( + )+ ， =( + ) ， sin ( + )+ = 2sin ( + ) sin( + )cos +co

8、s( + )sin =2sin( +)cos +2cos( + )sin 假设 cos( + ) 0 ， cos 0，那么 3tan( + )=tan 点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 +看成一个整体第3页共15页第 4 课两角和与两角差的三角函数二【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题【讲练平台】例 1求以下各式的值（ 1 tan10 tan50 + 3 tan10 tan50；（ 3 tan12 -3 csc12(2)4cos 212 -2(1)解原式 =tan(10 +

9、50 ) 1 tan10 tan50 +3 tan10tan50 =3 2分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进展切割化弦sin12 31333 sin12 解原式 =cos12cos12sin 122 cos24=2 cos241sin1233sin 123cos122 3(cos12 )22=12 sin12 cos12 cos24sin 4824 3 sin(1260 )43.=sin 48点评 1要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B) 1tanAtanB ， asinx+bsinx=a 2b 2sin(x+ )的运用；2在三角变换中，

10、切割化弦是常用的变换方法例 2求证 1+sin4 -cos4=1+sin4 +cos42 tan1-tan2分析 三角恒等式的证明可从一边开场，证得它等于另一边；也可以分别从两边开场，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4 -cos4=2tantan21+sin4 +cos41-tan2 ，此式的右边等于，而此式的左边出现了“1 cos4 和“ 1+cos4 ，分别运用升幂公式可出现角2 ，sin4 用倍角公式可出现角2 ，从而等式可望得证证略点评 注意倍角公式cos2 =2cos2 1，cos2 =1 2sin2 的变形公式

11、：升幂公式1-cos21 cos21+cos2 =2cos 2 ，1 cos2=2sin 2 ，降幂公式 sin2 =，cos2 =22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等第4页共15页3177sin2x sin2xtanx例 3 cos( 4 +x)= 5，12 x4，求1-tanx的值sin2x 1 tanxtanxtan 4解原式=1-tanx=sin2x 3=sin2xtan 4+x 1-tan 4 tanx= cos 2(x+ 4 ) tan(x+ 4 )= 2cos2(x+ ) 1 tan 4+x 17 x 7 ， 5 x+ 2 1

12、243444 sin( 4 +x) =5 ， tan 4+x = 3原式 = 2875点评 1注意两角和公式的逆用； 2注意特殊角与其三角函数值的关系，如 1=tan 4等； 3注意化同角，将所求式中的角x 转化成条件中的角x+ 4 第5页共15页第 5 课三角函数的图象与性质一【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质【讲练平台】例 1 1函数 y= lg(1tan x) 的定义域为1 2 sin x(2) 假设 、 为锐角， sin cos ，那么 、 满足 CA B C + 2D + 2分析 1函数的定义域为1 -

13、 tanx0,y=tanx 的最小正(*)的解集，由于1 - 2sinx 0.周期为 ，y=sinx 的最小正周期为2 ， 所以原函数的周期为2 ，应结合三角函数 y=tanx3和 y=sinx的图象先求出 ( 2 ，2 )上满足 * 的 x 的X围，再据周期性易得所求定义域5 x 2k+5为x 2k x 2k+，k Z 26 ，或 2k +64分析 2 sin 、 cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos 转化成 sin( 2 )，运用 y=sinx 在 0， 的单调性，便知答案为C2点评 1讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；2解三角不等式，要注意三角函数

14、图象的运用；3注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小例 2判断以下函数的奇偶性：(1)y=sin xcos x ； (2)y= 1sin xcos x .1cos x1sin xcos x分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f( x) 是否等于 f(x) 或 f(x) 解 1定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2x，所以分2母为偶函数，所以原函数是奇函数（ 2定义域不关于原点对称如 x= ，但 x ，故不是奇函数，也不是偶函数22点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性第6页共15页例 3求以下函数的最小正周期：si

15、n 2xsin(2x)3 . 1 y=sin(2x 6 )sin(2x+3 )； (2)y=cos2xcos(2x)3分析对形如 y=Asin( x+ )、 y=Acos( x+ )和 y=Atan( x+ )的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进展化简1解 1 y=sin(2x 6 )sin(2x+26 )=2sin(4x 3 ) ，所以最小正周期为2=24sin 2x(sin 2x)1(cos 2x)33 sin 2x3 cos 2x 2 y=22= 22cos2x(cos 2x)1(sin 2x)33 cos 2x3 sin 2x22223 tan 2 x1tan 2x33tan(2x

16、=). 是小正周期为3tan 2x13 tan 2x623点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin( x+ )k 或 y=Acos( x+ ) k 或 y=Atan( x+ ) k 的形式其中A 、 、 、 k为常数， 0例 4函数 f(x)=5sinxcosx 53 cos2 x+5 3(x R)2(1)求 f(x) 的单调增区间； 2求 f(x) 图象的对称轴、对称中心5分析函数表达式较复杂，需先化简解 f(x)= 2sin2x 5 3 31+cos2x 532x 1由 2k 22k + ，得 k 22=5sin(2x 3 )325 kZ 为 f(x) 的单调增

17、区间12 ， k + 12k5k5 2令 2x 3 =k +2 ，得 x=2 + 12 k Z ，那么 x=2+ 12 k Z 为函数ky=f(x) 图象的对称轴所在直线的方程，令2x 3 =k ，得 x=2 + 6 k Z ， y=f(x)k图象的对称中心为点2+6 ， 0 k Z 点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin( x+ )( 0)的单调区间，应将 x+ 看成一个整体，设为 t，从而归结为讨论 y=Asint 的单调性第7页共15页第 6 课三角函数的图象与性质二【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法画正弦函数、余弦

18、函数和函数 y=Asin( x+ )的图象，理解参数 A 、的物理意义掌握将函数图象进展对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【讲练平台】例 1函数 y=Asin x+ )(A 0， 0， 2 )的最小值为 2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3，又图象过点 0， 1，求这个函数的解析式分析求函数的解析式，即求A 、 、 的值 A 与最大、最小值有关，易知A=2 ， 与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3 ，即 T =3 得 T=6 ，所以21x=3所以 y=2sin( 3+，又图象过点 0， 1，所以可得关于 的等式，从而可将 求出，易得解析式为 y

19、=2sin( x3 6解略点评y=Asin( x+ ) 中的 A 可由图象的最高点、 最低点的纵坐标确实定， 由周期的大小确定， 确实定一般采用待定系数法， 即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由 的几何意义图象的左右平移的情况等确定请看下例例 2右图为某三角函数图像的一段y1试用 y=Asin x+ )型函数表示其解析式；2求这个函数关于直线x=2 对称的函数解析式解： 1 T=13 333 =4 O213 = T =2 又 A=3 ，由图象可知所给曲线是由 y=3sinx沿 x 轴向右平移而得到的2313x331解析式为y=3sin 2 (x 3 )1 (2)设 x， y)为 y=3si

20、n( 2 x 6关于直线x=2 对称的图像上的任意一点，那么该点关于直线 x=2 的对称点应为4 x， y)，故与 y=3sin( 1 x 关于直线x=2 对称的函2611数解析式是y=3sin 2 4 x)6 =3sin(2 x 6 点评y=sin( x+ )( 0)的图象由y=sin x 的图象向左平移 0或向右平移| | 0 个单位 特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用第8页共15页123例 3函数 y=2cos x+2 sinxcosx+1 (x R)(1)当 y 取得最大值时，求自变量x 的集合； 2该函

21、数图象可由y=sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？11+cos2x3115解(1)y= 222+2 22 sin2x +1=2sin(2x+ 6 )+4 7当 2x+ 6 =2k + 2，即 x=k + 6 ， k Z 时， ymax = 41(2由 y=sinx 图象左移 6 个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的2纵坐标不变，其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的1 横坐标不变，最后把图象向上平移254个单位即可思考还有其他变换途径吗？假设有，请表达点评 1答复图像的变换时，不能省略 “纵坐标不变 、“横坐标不变 等术语 2周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化第9页共1

22、5页第 7 课三角函数的最值【考点指津】掌握根本三角函数 y=sinx 和 y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法； 能运用三角恒等变形， 将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【讲练平台】例 122x 的值求函数 f(x)=sinx+2sinxcosx+3cos x 的最大值，并求出此时分析由于 f x的表达式较复杂，需进展化简解 y=sin 2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=2 sin(2x+ 4 )+22 +2当 2x+ 4 =2k + 2 ， 即 x=k + 8(k Z) 时， yma

23、x=点 评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型 的三 角 函数 最 值的 求法 ， asinx+bcosx=a2+b2sin x+ 例 2假设 12,12，求函数 y=cos( 4 + +sin2 的最小值分析在函数表达式中， 含有两个角和两个三角函数名称，假设能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，那么问题可得到简化2 解 y=cos( 4 + ) cos 2( + 4 ) =cos( 4 + ) 2cos ( + 4 ) 1 1= 2cos2( + 4 )+cos( 4 + )+1 = 2 cos2(+ 4 ) 2cos( + 4 ) +12+9 = 2 cos( +4)148 12

24、, 12， 4 6 ， 3 3 ， y 最小值 =311 cos( +4)222点评 1三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式即 f(sinx) 或 g(cosx) ，是常见的转化目标；2形如 y=f(sinx) 或 y=g(cosx) 的最值，常运用sinx， cosx 的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题； 3对于 y= Asin( x+ )或 y=Acos( x+ )的最值的求法，应先求出t= x+ 的值域，然后再由y=Asint 和 y=Acost 的单调性求出最值例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值分

25、析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，那么原三角函数的最值问题转化成 y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题2123解 令 t=sinx+cosx ，那么 y=t+t+1=(t+ 2) +4， 且 t2， 2，3 ymin=4 ， ymax=3+ 2 点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成 y=at2 +bt+c 在某个区间上的最值问题第10页共15页第 8 课解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形能根据确定三角形

26、的条件， 三角形中边、角间的大小关系， 确定解的个数能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题【讲练平台】例 1在 ABC 中，a=3， c=33 ， A=30 ，求 C 及 b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论解 A=30 ， ac， c2sinA=33 a，此题有两解21sinC=csinA=3 332=3， C=60，或 C=120a32当 C=60 时， B=90 ， b= a2+b2=6 当 C=120时， B=30 ， b=a=3点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论例 2 在 ABC

27、中， acosA=bcosB ，判断 ABC 的形状分析欲判断 ABC的形状，需将式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或将边换成三角函数，那么可进展三角变换222222解 方法一：由余弦定理，得b +c aa +c b，a22bc =b22ac a 2c 2 a 4 b 2c 2+b 4=0 (a2 b2)(c 2 a2 b2)=0 22222ab =0，或 c a b =0a=b，或 c2=a2+b2 ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二：由acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B 2A

28、=2B ，或 2A= 2B A=B ，或 A+B= 2 ABC 为等腰三角形或直角三角形点评假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进展代数或三角恒等变换例 3圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2 ，BC=6 ， CD=DA=4 ，求四边形 ABCD 的面积分析四边形 ABCD 的面积等于 ABD 和 BCD 的A面积之和，由三角形面积公式及A+ C= 可知，只需求出 A 即可所以，只需寻找A 的方程B解连结 BD ，那么有四边形ABCD 的面积2 OD第11 页共15页C11S=SABD +S CDB =2AB 2 AD 2 sinA+ 2

29、BC 2 CD 2 sinC A+C=180 ， sinA=sinC 1故 S=2 23 4+63 4 sinA=16sinA 222在 ABD 中，由余弦定理，得BD =AB +AD 2AB 2 ADcosA=20 16cosA 222在 CDB 中，由余弦定理，得BD =CB +CD 2CB 2 CD2 cosC=52 48cosC 2016cosA=52 48cosC1 cosC= cosA， 64cosA= 32， cosA= 2 又 0 A 180， A=120 故 S=16sin120 =83 A点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用例 4墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b

30、 米，下端距水平视线 a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使bBa观察者上、下视角最大PC分析如图，使观察者上下视角最大，即使APB最大，所以需寻找APB 的目标函数由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之解设观察者距墙壁x 米的 P 处观察， PC AB ，AC=b ， BC=a(0 a b)，那么 APB= 为视角batan APC tan BPCxxy=tan =tan( APC BPC)= 1+ tan APC 2 tan BPC =1baxxb ab aabab 时， y=ab， 当且仅当 x=ab 2x , 即 x=最大x+ xx= ab 时视角最大由 0，且 y=tan 在 0，

31、上为增函数，故当且仅当22点评注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题大面积第12页共15页【单元检测】单元练习三角函数总分 100 分，测试时间100 分钟一、选择题：本大题共12 小时，每题3 分，共 36 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1假设角 满足 sin2 0， cos sin 0，那么 在A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2假设 f(x)sinx 是周期为 的偶函数，那么f(x) 可以是A sin2xBcosxCsinxDcox2xm 34 2 m3假设 sinx= m+5 ， cosx=m+5，且 x2， ，那么 m 的取值X围为

32、A 3 m 9B m=8Cm=0D m=0 或 m=84函数 f(x)=log 1(sin2x+cos2x) 的单调递减区间是3 ，k + (kZ)B k ， k + (k Z)A k 488835C k + 8 ， k+ 8 (kZ)D k + 8 ， k +8 (k Z)5在 ABC 中，假设 2cosBsinA=sinC ，那么 ABC的形状一定是A 等腰直角三角形B 直角三角形C等腰三角形D等边三角形a+b+c6 ABC 中， A=60 ， b=1 ，其面积为3 ，那么 sinA+sinB+sinC等于A3 3239C263D39B3327函数 y= 在一个周期y2 cos( x+ )

33、(0 2内的函数图象如图，那么632A T= 5 ， = 4BT= 2， = 43 O3x204C T=3 ， = 4D T=3 ， =4 28将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 个单位后，再作4关于 x 轴的对称变换，得到函数y=1 2sin2x 的图象，那么 f(x) 可以是A cosxB 2cosxC sinxD 2sinx9函数 f(x)=Msin( x+ )( 0)在区间 a，b上是增函数，且f(a)= M， f(b)=M ，那么函数 g(x)=Mcos( x+ )在区间 a，b上A 是增函数B是减函数C可以取得最大值MD 可以取得最小值 M10在 ABC 中， C 90，

34、那么 tanA2tanB 与 1 的关系适合A tanA 2 tanB 1B anA2tanB 1C tanA 2 tanB=1D 不确定11设 是第二象限角，那么必有A tan cotA cot 22B tan 22第13页共15页Csin 2 cos2D sin 2 cos 2 12假设 sin tan cot ( 22 ，那么 ， ，0C0， D ， A 24B 4442二、填空题：本大题共4 小题，每题 3 分，共12 分，把答案填在题中横线上13 sin390 +cos120 +sin225 的值是sin39 sin2114 cos39 cos21 =115 sin +cos=5， ， ， cot 的值是16关于函数 f(x)=4sin(2x+3 )(x R)，有以下命题： 1 y=f(x) 的表达式可改写为y=42 cos(2x 6 )；(2)y=f(x) 是以 2 为最小正周期的周期函数； 3 y=f(x) 的图象关于点6 ，0对称；（ 4 y=f(x) 的图象关于直线 x= 对称6其中正确的命题序号是注：把你认为正确