(完整word版)动能定理、机械能守恒和圆周运动的结合

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1、动能定理和圆周运动相结合（专题）例题 1 如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O点 , 小球在最低点的速度必需为多大时 , 才能在竖直平面内做完整个圆周运动?变式训练1-1 如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在 O点正下方 P 处有一钉子， 将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？例题 2课本 80页第 2题变式训练2-1 如图所示， 小球自斜面顶端A 由静止滑下， 在斜面底端B 进入半径为R 的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点 C，已知 A、B 两点间高度差为 3R，试求整个过程中摩

2、擦力对小球所做的功。例题 3 如图所示，竖直平面内的3/4 圆弧形光滑轨道半径为R，A 端与圆心 O等高， AD为水平面， B 点在 O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B 点。求：释放点距A 点的竖直高度；B落点 C与 A 点的水平距离。OACD变式训练 3-1 半径 R=1m 的 1/4 圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度 h=1m ，如图所示，有一质量 m=1.0kg 的小滑块自圆轨道最高点 A 由静止开始滑下， 经过水平轨迹末端 B 时速度第1页共18页为 4m/s，滑块最终落在地面上，试求:(1) 不计空气阻力，滑块落在地面上时

3、速度多大？(2) 滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题 4如图，光滑的水平面 AB与光滑的半圆形轨道相接触， 直径 BC竖直，圆轨道半径为 R一个质量为 m的物体放在 A处， AB=2R，物体在水平恒力 F的作用下由静止开始运动， 当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力变式训练 4-1 如果在上题中， 物体不是恰好过 C点，而是在 C点平抛， 落地点 D 点距 B 点的水平位移为 4R，求水平力。变式训练4-2 如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B 点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块

4、脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。解题步骤：、选取研究对象物体系或物体。、根据研究对象经历的物理过程，进行分析、分析，判断机械能是否守恒。、恰当地选取，确定研究对象在过程的、状态时的。第2页共18页、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。（2）解题技巧：习题1（ 2）公式左：做受力分析，寻找做功的来源。公式右：根据题目出现的、选择公式。二、习题1、 如图所示把一个质量为 m 的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L ，最大偏角为，小球从静止释放，求：（ 1）小球运动到最低位置时的速度是多大；（ 2）小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。2、 如图所示，用

5、长为 L 的轻绳，一端拴一个质量为m 的小球，一端固定在O 点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：（ 1）小球通过最高点的向心力；（ 2）小球通过最高点的速度；（ 3）小球通过最低点的速度。O（ 4）小球通过最低点时受到绳子的拉力。Lv3、 AB 是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B 与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A 点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求（ 1）小球运动到 B 点时的速度；（ 2）小球经过光滑圆弧轨道的B 点和光滑水平轨道AAO的 C 点时，所受轨道支持力FNB、F NC 。BC4、 一质量

6、m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m 处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s 2）（ 1）小球滑至圆环底部时对环的压力；（ 2）小球滑至圆环顶点时对环的压力；（ 3）小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点hR图 5-25第3页共18页5、 如图所示， 半径 R 0.4m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点 A。一质量 m0.10kg 的小球以初速度v07.0m/s 在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2 的匀减速直线运动，运动4.0m 后，冲上竖直半圆环，求（ g=10m/s2 ）（ 1

7、）小球到达端点A 时的速度；（ 2）小球是否能到达圆环的最高点B；（ 3）如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过 BB点的速度和小球对 B 点的压力；（ 4）小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求 A、 C 间的距离。vAC机械能守恒结合圆周运动（ 3）解题步骤、选取研究对象物体系或物体。、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。通过习题 1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。2、运用圆周运动向心力公式的技巧：刚才有部分同学完成了习题1（ 1）后已经进入了

8、第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（ 2）（定点 A）最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述（1）公式：F mv222 2m rm() r向rT公式左公式右（2）解题技巧：公式左： 受力分析 ，寻找向心力的来源；公式右；根据题目出现的v ， T 选择公式二、习题6、 如图所示把一个质量为 m 的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为 L ，最大偏角为，小球从静止释放，求：（ 1）小球运动到最低位置时的速度是多大；第4页共18页（ 2）小球运动到最低

9、位置时绳子的拉力是多大。解：（ 1） 整个过程指向圆心绳拉力不做功，只有小球重力做功机械能守恒和圆周运动的结合机械能守恒，以最低点（ B ）为零势面小球离零势面高度为hLL cos初状态起始点A 点 vA0末状态最低点B 点mgh21 mvB2vB2gh2gL(1cos )a) 小球运动到最低点受重力 mg，绳子的拉力 T2vBF向BTmgmTmg (32cos )2 如图所示，用长为 L 的轻绳，一端拴一个质量为 m 的小球，一端固定在若小球 刚好能通过最高点 ，在竖直平面内做圆周运动，求：（ 1）小球通过最高点的向心力；（ 2）小球通过最高点的速度；（ 3）小球通过最低点的速度。（ 4）小

10、球通过最低点时受到绳子的拉力。解：（ 1）小球恰能通过最高点 （ A 点）在最高点时小球只受重力最高点的向心力F向Amg公式左（ 2）根据F向 Amg m v A2公式右L求得vAgLO 点，小球从最低点开始运动，OLv（ 3）整个过程，小球在重力和绳的拉力作用下做圆周运动，指向圆心拉力不做功，只有重力做功。机械能守恒和圆周运动结合机械能守恒， 以最低点（ B ）点为零势面mg2L221 mvA1 mvB22vB5gL第5页共18页（4） F向BTmg m vB 2Lm vB2TmgLT6mg3、AB 是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B 与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自点起由

11、静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R ，小球的质量为 m，求（ 1）小球运动到 B 点时的速度；（ 2）小球经过光滑圆弧轨道的B 点和光滑水平轨道AO的 C 点时，所受轨道支持力FNB、F NC。解：（ 1）从 A 下滑到 B 的过程， 轨道对小球指向圆心的支B持力不做功，只有小球重力做功机械能守恒和圆周运动结合机械能守恒， 以 BC 为零势面mgR21 mvB2vB2gR（ 2）从 A 到 B 小球做圆周运动F向BFNBmgm vB2RFNB mg2gR3mgmR小球从 B 到 C 做匀速直线运动FNCmg三、小结机械能守恒和圆周运动的结合的解题技巧1、根据题意，确定研究对象，建立模型2、

12、对研究对象进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒，分析向心力的来源（由那些力提供）3、确定零势面，初、末状态的机械能（定点列出初、末状态的E p和 Ek ）4、根据机械能守恒和圆周运动的规律列方程联合求解小结：解题中易漏易错点AC4 一质量 m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m 处由静止滑下， 斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s 2）（ 1）小球滑至圆环底部时对环的压力；AC（ 2）小球滑至圆环顶点时对环的压力；hR第6页共18页B图 5-25（ 3）小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点解：（ 1）从 A 下滑到 B 的过程，斜面对

13、小球的支持力不做功，只有小球重力做功机械能守恒， 以 B 点所在的水平面为零势面初状态起始点AvA0末状态最低点Bmgh1mvB22vB2gh2F向BNBmgm vBRNBmg m 2 ghmg(12h )2 10 (1 2 3.5) 160( N )RR1（ 2）从 A 到 C 的过程，只有小球重力做功机械能守恒， 以 B 点所在的水平面为零势面初状态起始点AvA0末状态圆环最高点Cmgh mg2R1 mvC222F向CNCmgm vCRN Cm vC2mgmg( 2h5)2 10 (2 3.55)40(N)RR1（3）刚好能越过最高点，小球在最高点只受重力根据F向mgm v2R求得vgRm

14、gh/mg2R1mv22h/2.5R2.512.5(m)5、如图所示，半径R 0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点A 。一质量 m0.10kg 的小球以初速度Bv07.0m/s 在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2 的匀减速直线运动，运动 4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s2）（ 1）小球到达端点 A 时的速度；第 7页共18页vAC（ 2）小球是否能到达圆环的最高点B；（ 3）如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B 点的速度和小球对B 点的压力；（ 4）小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求 A、C 间的距离。解：（ 1）小球在水

15、平面做匀减速直线运动 a 3.0m/s222vAv02asvAv022as722( 3) 4 5( m / s)（2）假设小球能冲上光滑圆环，根据机械能守恒定律1 mvA2mg2R1 mvB222代入数字可得vB 3m / s设小球到达最高点B 的最小速度为 vB最小 ，此时小球重力充当向心力2根据F向mgm vB最小R求得vB最小gR2m/ s vB vB最小小球能到达最高点B（3） vB3m / sF向N mgm vB2RNm vB2mg 1.25 NR根据牛顿第三定律N =N=1.25N方向：竖直向上（4）小球冲上半圆环从B 点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C 点h

16、 2R1 gt 224R4 0.4t0.4(s)t 10xBC vB t 3 0.4 1.2(m)第8页共18页动能定理2、 将质量 m=2kg 的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取 10m/s 2 ）H3、 一质量为 0.3 的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞h后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度2-7-2变化量的大小v 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（）A .v=0B.v=12m/sC. W=0 D. W=10.8J4、在h高处

17、，以初速度0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力， 小球着地时速度大小为（）vA.v02ghB.v02ghC.v022gh D.v022gh5、 一质量为m的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3 所示，则拉力 F 所做的功为（）A.mglcosB.(1 cos)C.FlcosD.Flsin mgl7、 如图 2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0 2m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角30，现把一质量l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送m带传送至 h2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因

18、数3 ，g 取 10m/s2 。2(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?(2)工件从传送带底端运动至 h 2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?2-7-4P 点OlQP2-7-3F8、 如图 4 所示， AB 为 1/4 圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为=1/15 ，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。第9页共18页9、 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m

19、（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取 10 m/s 2）机械能守恒例 1、相同例 2、例 3.6.6.第10页共18页7、16、第11页共18页13、6、匀速圆周运动3、 A 4、C5、B6、 D7（1）T 3N（2） T7N8解析： (1)小球做平抛运动在竖直方向h 1gt2t2在水平方向： s v1t v0 2h R所以 v0 Rgg2h(2)因为 t nTn 2即2h n 2所以 2ng答案： (1)R g(2)2 ng( n 1，2， )2h2h9、简解：（1）mg+TA=m 2LTA= m 2L-mg=0.88N方向向下（ 2） mg+ T

20、B -T A =m 2 L/2TB = T A +m 2 L/2-mg=0.32N方向向下轴 O 受力方向向上，大小也为0.32N2hgg ( n1，2， )2hL动能定理2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。对石头在整个运动阶段应用动能定理，有mg(Hh)Fh00 。所以，泥对石头的平均阻力FHh mg2 0.05 2 10 N=820N 。h0.053、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以v=v t -(-v 0)=12m/s, 根据动能定理E1212答案： BCWmvtmv00K224、解答小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有mgh1

21、mv 21mv2 ，220图 D-1第12页共18页解得小球着地时速度的大小为vv0 2gh 。正确选项为 C。25、解答将小球从位置P 很缓慢地拉到位置Q 的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mg tan，可见，随着角的增大， F 也在增大。而变力的功是不能用W= Fl cos求解的，应从功和能关系的角度来求解。小球受重力、 水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1 cos)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得Wmgl (1cos)=0 ，W= mgl(1cos)。正确选项为B 。7、解

22、答(1)工件刚放上皮带时受滑动摩擦力F mg cos ，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律Fmg sinma可得 aFg sing ( cossin)10( 3 cos30 0sin 30 0 ) m/s2 =2.5m/s2。m2设工件经过位移 x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得xv02222a2m=0.8m 4m。2.5故工件先以2.5m/s2 的加速度做匀加速直线运动， 运动 0.8m 与传送带达到共同速度2m/s 后做匀速直线运动。(2) 在工件从传送带底端运动至h 2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理W f12可得12102 J 110 2 2

23、J=220J。mghmv0 ,W f mghmv0 102228、解答：物体在从A 滑到 C 的过程中，有重力、 AB 段的阻力、 BC段的摩擦力共三个力做功， W=mgR，Gf BC=umg，由于物体在 AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外 =0，所以 mgR-umgS-WAB=0即 WAB=mgR-umgS=1100.8 - 1103/15=6(J)9、解答起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。在匀加速运动过程中，加速度为aFmmg120810 m/s2=5 m/s2，m8末速度Pm1 200m/s=10m/s，上升时间vt10

24、s=2s，vt120t15Fma上升高度vt2102h12m=10m。2a5在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为vmPm1 200 m/s=15m/s，mg810由动能定理有Pm t2mg( hh1 )1mvm21mvt2 ，22解得上升时间mg ( h h1m(v2v2)8 10(9010)18 (152 102 )12mt2s=5.75s。t 2Pm1 200所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为第13页共18页t=t 1+t 2 =2s+5.75s=7.75s。1、长为 L 的轻绳的一端固定在O 点，另一端拴一个质量为m 的小球，先令小球以O 为圆心，在竖

25、直平面内做圆周运动，小球能通过最高点，如图则：A 小球通过最高点时速度可能为零B小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零C小球通过最低点时速度大小可能等于2gLD小球通过最低点时所受轻绳的拉力可能等于6mg2、（ 14 分）如图8 所示，半径R=0.40m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点 A。一质量 m=0.10kg 上向左作加速度 a=3.0m/s 2 的匀减速直线运动，运动在 C点。（重力加速度 g=10m/s2）（ 1）判断小球能否过半圆环轨道的最高点B；（ 2）求 A、 C间的距离。的小球， 以初速度 v0=7.0m/s 在水平地面4.0m 后冲上

26、竖直半圆环，最后小球落BRv0AC图 83、 (14 分 ) 如图所示，粗糙的水平面与竖直平面内的光滑弯曲轨道BC 在 B 点吻接 (即水平面是弯曲轨道的切线)，圆轨道的半径=40cm,质量为=100g 的小球从A点以vA=7m/s 的初Rm速度由直轨道向右运动，物块与水平面间的动摩擦因数0.2， AB 长为6m，求：（ 1）小物块滑到 B 点时的速度多大及小物块对 B点的压力大小 (2)小物块能否过 C 点，若能，求出小物块对C 点的压力，若不能，请说明原因。（ 3）要使小物体从 C 点脱离轨道，小球在A 点的初速度必须满足什么条件？6、如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球线长为L小车

27、以速度V0 做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时小球上升的高度的可能值是()v02B. 小于v02v02LA. 等于C. 大于D等于 2L2g2g2gACD第14页共18页7、 （18 分）如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m ，管口 B 和圆心 O 在同一水平面上，D 是圆管的最高点， 其中半圆周 BE 段存在摩擦， BC 和 CE 段动摩擦因数相同， ED段光滑； 直径稍小于圆管内径、质量m=0.5kg 的小球从距 B 正上方高 H=2.5m 处的 A 处自由下落， 到达圆管最低点 C 时的速率为 6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D 飞出，恰能再次进入圆管，假定小

28、球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s2，求A（1） 小球飞离 D 点时的速度（2） 小球从 B 点到 D 点过程中克服摩擦所做的功（3） 小球再次进入圆管后，能否越过C 点？请分析说明理由DHEOBRC8、倾角为 37的光滑导轨，顶端高H=1.45m ，下端通过一小段光滑圆弧与薄壁细管做成的玩具轨道相接于最低端B。玩具轨道由间距为x0=1m的若干个相同圆环组成，圆环半径R=0.5m ，整个玩具轨道固定在竖直平面内。第一个圆环记作0 号，第二个圆环记作1 号，其余依次类推，如图所示。一质量m=0.5kg 的小球在倾斜导轨顶端A 以 v0 2m/s 速度水平发射，在落到倾斜

29、导轨上P 点后即沿轨道运动（ P 点在图中未画出） 。假设小球落到轨道时平行轨道方向速度不变，玩具轨道圆环部分内壁光滑，水平段的动摩擦因数 0.2，取 g10m/s2，求：（1）小球落到倾斜导轨上的P 点位置和开始沿倾斜导轨运动的速度大小vP ？（ 2）小球最终停在什么位置？ v0=2m/sH=1.45m01n37Bx0=1m1、（ 16）如图所示，质量为 m 的小球用不可伸长的细线悬于 O 点，细线长为 L，在 O 点正下方 P 处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕 P 处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？3L/50P第15页共18页24如图所示，

30、竖直平面内的3/4 圆弧形光滑轨道半径为R，A 端与圆心 O等高， AD为水平面， B 点在 O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。求：释放点距A 点的竖直高度；落点C与 A 点的水平距离。(3) 小球落到C 点的速度。BOACD25、如图所示，半径R = 0.4m 的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A 点，质量为m=1kg 的小物体（可视为质点）在水平拉力F 的作用下，从C 点运动到A 点，物体从A 点进入半圆轨道的同时撤去外力F，物体沿半圆轨道通过最高点 B 后作平抛运动，正好落在 C点，已知 AC = 2m， F = 15N， g 取 1

31、0m/s2，试求：（ 1）物体在 B 点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力（ 2）物体从 C 到 A 的过程中，摩擦力做的功7、解（ 1）小球飞离D 点做平抛运动，有xDBRvD t（ 1）y1 gt 2（ 2）2由（ ）（ ）得 vD2m/s（ 3）1 2（2）设小球从 B 到 D 的过程中克服摩擦力做功Wf1，在 A 到 D 过程中根据动能定理，有1 mvD2mg(H R) Wf 1（ 4）2代入计算得，Wf1=10J（ 5）（3）设小球从 C 到 D 的过程中克服摩擦力做功Wf2，根据动能定理，有1 mvD21 mvC2mg2R W f 2（ 6）22代入计算得，Wf2=4.5J（ 7

32、）小球从 A 到 C 的过程中，克服摩擦力做功Wf3，根据动能定理，有1 mvC2mg( RH )Wf 32Wf3=5.5J第16页共18页小球再次从D 到 C 的过程中，克服摩擦力做功Wf4，根据动能定理，有1 mvC2 1 mvD2mg2RWf 4（ 8）221 mvC2Wf 44.5J（ 9）2小球过 BE 段时摩擦力大小随速度减小而减小，摩擦力做功也随速度减小而减少。第二次通过 BC 段与 CE 段有相等的路程，速度减小（ 10）所以Wf40，即小球能过25.解（ 1）小球从 A 做平抛运动，经过时间t 落到倾斜导轨上的 P 点，水平位移x，竖直位移 y，有xv0 t（ 1）y1 gt

33、 2（ 2）2y3（ 3）tan 374xvygt（ 4）vPv0 cos37vy sin 37（ 5）由上述式子得3v00.3st2gx=0.6m 或 y0.45mP 点位置，即距抛出点 l=0.75m（ 6）vP1.7v0 3.4m / s（ 7）（2）设小球到 B 点的动能为 EkB，从 P 到 B 机械能守恒，有EkB1 mvP2mg( Hy)0.5* 0.5*1.7* 1.7* 4 0.5* 10* 17.89J（ 9）2设小球射入某一圆环低端时动能为Ek0，则要使小球能通过圆环，必须有Ekomg2R0.5* 10* 2 * 0.55J（ 10）小球每次通过水平段轨道时克服摩擦力做功

34、Wf ，有W fmgx00.2* 0.5*10* 11J（ 11）设小球通过 N 号圆环后，剩余能量为EN，共克服水平段轨道摩擦力做功n*1J ，当其能量 E大于 1J 且小于 5J 时，就只能到达N+1 号圆环， 但不能通过该圆环， 它将在 N 号圆环与 N+1号圆环间来回运动有EkB n 5（12）第17页共18页n2.89（ 13）即当小球通过2 号圆环后就不能通过3 号圆环，只能在 2 号、3 号圆环间来回运动（ 14）小球刚通过 2号圆环时具有的能量E3=7.89-3=4.89J（ 15）3mgx，即 x=4.89m（ 16）E =所以，最终小球将停在2、 3 号圆环之间，离 2 号圆环底端0.11m 位置（ 17）说明：共18 分，其中（ 17）式 2 分，其余每式1 分，即完成（14）式得 14 分，其余类推。第18页共18页