线性代数各章学习要点3

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1、第 3章n 维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。 本章从研究向量的线性关系（线性组合、 线性相关与线性无关）出发， 然后讨论向量组含最 多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后,应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。 无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并 会灵活应用。31 n 维向量及其运算定义 （n 维向量）由数域 F 中的 n 个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组（ a1,a2, ,an ）或a1a2称为数域 F 上的一个 n 维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其

2、中a1,a2, ,an 称为 向量的分量（或坐标 ）。分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。如果没有特殊的声明， 以下所讨论指数域 F 上的向量 .行向量可以看成行矩阵， 列向量看成列矩阵， 向量的运算规定按矩阵的运算法则进行 以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。设有向量（ a1,a2, ,an） T ，（b1,b2, ,bn）T则向量相等的定义为ai = bi (i=1 , 2,n)向量的加法定义为数乘向量的定义为= a1b1 a2b2anbnk ( k)ka1,ka2,kan)向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算， 它满足下列 8 条运算规律 （其中 ,

3、, 为 n 维向量， k,l 为常数）：（1 ） + = + ;(3)存在零向量 0=( 0,0,0)T，使得+0= ；4) 存在 的负向量=(a1, a2,an) T，使得 +()=0 ；( 5 ) 1 = ；(6) k( l ) =(kl)7)k(+) =k+k8)(k+l)=k +l如果记矩阵A (aj)m n的第j列向量为:a1ja2j,(j=1,2 ,n)anj则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b 写成下列形式 :x11 x2 2xnnb而齐次线性方程组 Ax=0 则可写成向量形式：x1 1 x2 2xnn03 2 向量组的线性相关性定义(线性组合)1, 2 ,m是一组 n维向量

4、,k,k2, ,km是一组常数,则称向量为向量12定义(线性表示)有解，其中矩阵k1 1k2kmmm 的一个线性组合，对于A=则称向量 可由向量组并称匕*2 , km为该线性组合的系数。n 维向量12，如果存在一组常数 k1,k2,km。使k1k2 2kmm12Ax=m 线性表示。:1, 2, m的秩等于矩阵A=1, 2, m，】的秩。由于非齐次线性方程组解的情况只有3种:无解，有唯一解，有无穷解。所以，线性表小问题对应的只有3种情况：不冃匕表小，唯 表小，无穷多种表小法。120例如，对于向量组11 , 23 ,0 ,则不能由1 ,2线性表示。001又如，对于向量组 111 , 212，2，贝

5、U可由1 , 2唯一的线性表3示为： =i +可见,可由1,2，3线性表示,但表示法是无穷的。1102再如，对于向量组1，则有1 22 31，3=(1+c)1+ (1-c)2 +C 3(c为任意常数)定义(线性相关与线性无关 )设1, 2, , m是一组n维向量，如果存在一组不全为零的常数k1, k2, ,km,使得k1 1 k2 2km m=0则称向量组 1, 2, m线性相关。否则，称向量组线性无关。也就是说，仅在kjk2km 0时才成立，则称1, 2, m线性无关。由定义知，向量组1, 2, m线性相关，也就是齐次线性方程组X1 1 X2 2Xm m 0或Ax=0有非零解，其中矩阵 A=

6、1, 2, m 。定理 向量组1, 2, , m线性相关的充分必要条件是矩阵A= : 1, 2, , m的秩小于m; 1, 2, , m线性无关的充分必要条件是矩阵A= : 1, 2, , m的秩等于m。定理向量组以下是有关向量组线性相关、线性无关的其他一些常用性质及判别法。m ( m1 )线性相关的充分必要条件是该组中至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表出换言之，向量组线性无关的充分必要条件是该组中任何一向量都不能由其他m 1个，向量线性表示定理设向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由1, 2, m线性表出，且表示法唯一。定理 如果向量组U的一个部分组线性相关，则向量组U线性相关（特别

7、的，含有零向量的向量组线性无关）。换言之，线性无关组的任何一个部分组必线性无关。定理设有r维向量组a2a1ma2mma11a211 ， 2ar 1ar2arm给1, 2, m分别添加一个分量，得叶1维向量组a1m2a1ar2ma rmar 1,1ar 12ar 1,mm也线性无关，换言之，若向量组m线性相关，则1, 2, m也线性相关。如果1, 2, m线性无关，则任意添加分量后所得的向量组存在k1,k2, km不全为零，使得仅当k1k2k1 1k2 2km m=k1k2km 0时才有km m=0向量组的部分向量组线性相关 ，则整线性无关向量组的一部分向量组也个向量组也线性相关线性无关定义（等

8、价向量租）设有向量组（I）和（II），如果（I）中每一个向量都可由（II） 线性表示，则称（I）可由（II）线性表示；如果（|）和（II）可以互相线性表示，则称（I）和 （II）等价。总上，有下表线性相关线性无关m=1 时， 1 =0m=1 时，10m=2时，1与2对应分量成比例m=2时，1与2对应分量不成比例R(A) mR (A)=m当 m=n, |A|=0当 m=n , |A|0mn时，1, 2, m必线性相关线性相关向量组减少对应位置的分线性无关向量组在对应位置上增加分量得到的向量组仍线性相关量得到的向量组仍线性无关定理 设向量组(I) :1, 2, r可由向量组(II)：1, 2, r

9、线性表示,(1) 若rs,则(I)线性相关。(2) 若(I)线性无关，贝y r s。推论1等价的线性无关向量组所含有的向量的个数相同。推论2若m n则m个n维向量必线性无关特别的,n+l个n维向量线性相关3. 3向量组的极大无关组与向量组的秩定义(向量组的极大无关组与向量组的秩)设向量组U中的向量1, 2, , r满足：(1 )1, 2, r线性无关(2)对于U中的任意向量 可由1, 2, r线性表示。则称1, 2, r为向量组U的一个极大无关组(或最大无关组)；极大无关组所含向量的个数r成为向量组的秩。只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为零。向量组的秩记作r (1, 2 定理 矩阵

10、的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。定理 设向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则（I）的秩不大于（II）的秩。推论 1 等价的向量组的秩相等。推论2设CmnAm sBs n,则r（C） r（A）,r（C） r（B），即：乘积矩阵的秩不大于每个因子矩阵的秩。关于满秩方阵的等价条件的小结 ：设 A 为 n 阶方阵，则下列条件相互等价：1)| A|0；2)A 可逆；3)r( A)=n；4)齐次线性方程组 Ax=0 只有零解；5)对任何 n 维列向量 b ,线性方程组Ax=b 有唯一解6)A 的行（列）等价于同阶单位矩阵E。7)A 可以写成若干个初等矩阵的乘积；8)A 的行（列）向

11、量组线性无关。由以上条件中的（ 1）与（ 8）等价，提供了判定 n 个 n 维向量线性相关的常用方法：以这 n 个n维向量组成的n阶方阵A （A的行（或列）向量组为给定向量组）若| A| =0，则该向 量组线性相关；若丨A | 0,则该向量组线性无关。求向量组的秩一般方法是：一给定的向量组组成的矩阵 A（A 的列（行）向量组为给定的向 量组），用初等变换将 A化成阶梯形矩阵B,则B中非零行的个数就是给定的向量组的秩 求向量组1, 2, m的极大无关组的一般方法是：以1,2, , m为列向量组构成的矩阵 A , 即 令 A=1, 2, , m （ 如 果 1, 2 , , m 均 为 行 向 量

12、 , 则 令A= 1T, 2T, , mT ） ,并用初等变换将 A 化成阶梯形矩阵 ,设阶梯形矩阵的首非零元所在 列的序号为ji,j2, ,jr,则j2， , jr为向量组1, 2, m的一个极大无关组。34 线性方程组解的结构齐次线性方程组解的性质：2 也是方程组 Ax=0 的解 .性质 1 若 1, 2 是方程组 Ax=0 的解，则 x性质 2 若 x 1 为方程组 Ax=0 的解， k 为常数，则 x k 1也是方程组的解。由齐次线性方程组的解的性质知道 ,Ax=0 的解集合 S 对向量的线性运算封闭， 因此 S 构成线 性空间，称 S 为方程组 Ax=0 的解空间。定理 n 元齐次线

13、性方程组 Ax=0 的全体解向量所构成的集合 S 是一个向量空间 ,当系数矩阵 的秩 r（ A）=r 时，解空间 S 的维数为 nr。方程组 Ax=0 的解空间的基又称为 Ax=0 的基础解系 .由上述定理知，当 r（ A）=rn 时 ,n 元齐次线性方程组 Ax=0 存在基础解系，且基础解系所含有向量的个数为n-r。设向量组1, 2, n r 为方程组 Ax=0 的基础解系,则 Ax=0 的通解（或一般解）为 :x= k1 1 k2 2knr n r （ ki 为任意常数,i=1,2 ,，n-r)亦称上式为方程组Ax=0的结构式通解。求解齐次方程组的基础解系的一般步骤如下：第1步：用初等变换

14、将 A化成阶梯形矩阵，并求出 r （ A）.若r（A） =n，则Ax=O没有基础解 系；若r（A）=rn,则继续进行下面的步骤；第 2 步：将 A 用行变换化为规范的阶梯形矩阵 B。第 3 步：以 B 为系数阵的同解方程组 Bx=0 并移项添项得到通解及基础解系 非齐次线性方程组的性质如下性质 1 设 x1及 x2 都是非齐次方程组 Ax=b 的解,则 x12为对应的齐次方程组 Ax=0 的解。性质 2 设 x是 Ax=b的解, x 为方程组 Ax=0 的解,则 x是 Ax=b 的解。定理（非齐次线性方程组的解的结构定理）设 x 为非齐次方程组 Ax=b 的一个特解,则Ax=b 的任意解可以表

15、示为：其中为方程组Ax=0的解。由上述定理可知道,如果1, 2, , n r为方程组 Ax=0的基础解系，为为非齐次方程组Ax=b的一个特解，则方程组Ax=b的通解为：x= ki 1k2 2kn r n r （匕为任意常数，i=1 , 2,，n-r）求解n元齐次方程组 Ax=b的一般步骤如下第1步：用初等变换将增广矩阵 A A b化成阶梯形矩阵，并求出r (A)及r( A ) 若r( A)r( A),则无解；若r(A)=r( A ) =n,则有唯一解，这时可从阶梯形方程组的最后一个方程开始由上往下回代求出这个解，也可通过将增广矩阵进行一步化成最简形矩阵而求出这个解， 若r (A)=r ( A

16、) =r 1)线性相关该组中至少有一个向量可由其他 m-1个向量线性表出 .注意：“存在一个”不同于“其中每一个” 。向 量 组 1, 2, , m 线 性 无 关 ， 是 指 若 有 一 组 常 数 k1,k2,km ， 使 得k1 1k2 2km m =0，则有 k1 k2km 0 。换句话说，所谓向量组12线 性 无 关 , 是 指 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 常 数 ，都有k1 1k2kmm0。向量组 1, 2, , m(m 1)线性无关该组中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示，注意这里的“任意一个”不同于“存在一个” 。( 2) 正确理解有关线性相关、

17、线性无关的性质， 正确区分充分条件、 必要条件及充 要条件 .命题“部分组线性相关，则整体组线性相关”与命题“整体线性无关，则任何 部分无关”二者是等价的。命题“给线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量,则所得向量仍线性无关” 与命题“给线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量去 掉相同位置上的分量，则所得的向量组仍线性相关 互为逆命题，二者是等价 的。( 3) 弄清向量组的线性相关性与齐次线性方程组及矩阵的秩的关系 .向 量 组 1, 2,m线性相关齐次线性方程组x11x22xm m0 有非零解矩阵A=1,2,Jm 的秩小于m。向 量 组 1, 2,m 线 性 无关齐次线性方程

18、组x11x22xm m0 只有零解矩阵A=1,2,Jm 的秩等于 m. 。4) 掌握判别向量组的线性相关性的常用方法如果向量12的分量都已经给出， 一般可由矩阵 A= 1, 2m的秩来判别向量组的线性相关性。 特别的，对于m个m维向量1, 2, , m , 则可由矩阵A= : 1, 2, ,的行列式是否为零，来判别1, 2, , m的线性相关性，即当丨A|=0时，1, 2, m线性相关；而当丨A I 0时，12m 线性无关 .如果向量1, 2, m的分量没有具体给出，则常用以下方法判别其线性相关性：(1) 利用定义。即从 k11 k22km m=0 出发，根据已知条件或化为齐次线性方 程组，

19、或通过对该式作变换等方 法， 要么推出 存在不全为零的ki,k2, ,km使得该式子成立 此时向量组线性相关；要么推出此式仅在k1 k2km 0时才成立，此时向量组线性无关。(2) 利用有关结论 .例如：单个向量 线性相关，就是 =0,一个向量线性无关，就是0;两个向量 与 线性相(无)关，当且近当 与 的对应分量成正比(不成 比例)。多于 n 个的 n 维向量必线性相关 . 部分组线性相关，则整体组线性相关；整体无关,部分无关。1, 2, , r可由仆2, , r线性表示，且rs，则仆2, , r线性相关(3) 禾U用向量组的秩。即当r ( 1, 2, , m)m时，向量组1, 2, , m

20、线性相关；当r (1,2, m)=m时,，向量组1, 2, m线性无关(4) 利用矩阵的秩。例如，若向量组1, 2, , r线性无关，且有矩阵 A，使得 1, 2,s =1,2,r A则向量组1, 2, , s线性无关矩阵A的秩等于s.2. 线性方程组的解的理论与求解方法线性代数主要研究对象是有限维线性问题，而线性方程组是最简单的线性问题，所以,研究线性方程组的解的理论即求解方法是线性代数的基本任务之一，应给与足够的重视3. 齐次线性方程组设A为m n矩阵，n元齐次线性方程组 Ax=O的解的情况只有以下两种：当r (A)n时，Ax=0有非零解，由齐次线性方程组的解的性质(解的线性组合 仍是解)

21、，知此时Ax=0有无穷多组解.而方程组Ax=0的基础解系可用来表示 这无穷多组解。关于基础解系，必须注意以下几点：(1) 何谓方程组的基础解系？(2) 何时存在基础解系？(当 r(A) n时)(3) 存在基础解系时，基础解系含有多少个解向量？ (nr(A )个)(4) 基础解系有什么性质？(基础解系不是唯一的，但所含向量的个数是维一的；方程组Ax=0的任何n r (A )个线性无关得解向量的组成的相 量组都是Ax=0的)基础解系；与 Ax=0的基础解系等价的线性无关向 量组也是该方程组的基础解系 )(5) 如何求基础解系及方程组的结构式通解？4. 非齐次线性方程组设A为m n矩阵，b为m维非零

22、列向量,n元非齐次线性方程组 Ax=b的解的情况只有以下3种(其中A A b为Ax=b的增广矩阵)无解、r(A)r( A )b不能由A的列向量组线性表出JAx=0有唯一解r(A)=r( A )=n0b由A的列向量组唯一线性表出有无穷多解ur(A)=r( A )nUb由A的列向量组线性表出，不唯一当 r (A) =r ( A )n时，方程组Ax=b有无穷多个解，此时，由解的结构定理知Ax=b的任意解x可以表示为x x0,其中， 为Ax 0的一个特解，而X。为对应的齐次方程组的一个解 ，由此可知，当X。取遍Ax 0的所有解时， 也就得到了方程组 Ax b的所有解，或者说， Ax b的特解 与Ax

23、0通 解之和来表示，于是得到 Ax b的结构通解为：x= k1 1 k2 2kn r n r ( ki 为任意常数，i=1,2,n-r)设A是秩为r(0)的m n矩阵，b 0是m维列向量，且非齐次线性方程组Ax b有解。又设1, 2, n r是Ax 0的基础解系，是Ax b的一个特解。齐次线性方程组Ax0非齐次线性方程组 Ax b解解向量集合不构成向量空间。但有向解向量集合构成的向量空间(1) 1, 2是Ax b的解，则i2是量其维数为n r的Ax 0的解；性(2 )若是Ax b的解，是Ax 0的解，则质是Ax b的解通xki i k? 2k7 r n rx= ki1k2 2kn r n r解(ki, k2,kn rR)ki,k2, ,kn r R