数学同步优化指导北师大版选修22练习:阶段质量评估5 Word版含解析
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1、2019版数学精品资料(北师大版)阶段质量评估(五)数系的扩充与复数的引入(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1复数z1cos isin (2)的模为()A2cosB2cos C2sin D2sin 解析:|z|2.2,.cos 0.22cos .答案:B2已知M1,2,m23m1(m25m6)i,N1,3,MN3,则实数m的值为()A1或6B1或4C1D4解析:由MN3,知m23m1(m25m6)i3.解得m1.答案:C3若,则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析
2、:cos sin sin,sin cos sin.,.sin0.cos sin 0.复数在平面内对应的点在第二象限答案:B4一元二次方程x2(5i)x4i0有一个实根x0,则()Ax04Bx01Cx04或x01Dx0不存在解析:由已知可得x(5i)x04i0,该方程组无解答案:D5在复平面内,复数1i与13i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则|等于()AB2CD4解析:由题意得,则对应的复数为(13i)(1i)2i.故|A|2.答案:B6已知复数z,是z的共轭复数,则z等于()ABC1D2解析:z,|z|222.z|z|2.答案:A7在复平面内,复数1i,0,32i所对应的点分别是A,B,C
3、,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为()A5BCD解析:由已知得对应的复数为1i,对应的复数为32i.因为,所以对应的复数为(1i)(32i)23i.故BD的长为.答案:B8已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是,则z为()A2iB2iC2iD2i解析:设zxyi(x,yR),则x.由|z|3,得()2y29,即y24.y2.复数z对应的点在第二象限,y2.z2i.答案:A912i3i22 005i2 004的值是()A1 0001 000iB1 0021 002iC1 0031 002iD1 0051 000i解析:12i3i24i312i34i22i,5i46i57i68i7
4、56i78i22i,故原式501(22i)2 005i2 0041 0021 002i2 0051 0031 002i.答案:C10设复数z满足i,则|1z|等于()A0B1CD2解析:由i,得zi.故|1z|1i|.答案:C11有下列四个命题:0比i大;两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;xyi1i的充要条件为xy1;如果让实数a与ai对应,那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析:实数与虚数不能比较大小;两个复数互为共轭复数时,其和为实数,但是两个复数的和为实数时,这两个复数不一定互为共轭复数;xyi1i的充要条件为xy1是错误的,因为没有表明x,y是
5、否为实数;当a0时,没有纯虚数和它对应答案:A12若集合M,则集合M等于()AB0C0,2D2解析:4n(i)4n(i)4n1,z0.M0答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13若复数z1429i,z269i,则复数(z1z2)i的实部为_解析:(z1z2)i(429i69i)i(220i)i202i,故实部为20.答案:2014已知(ai)22i,其中i是虚数单位,那么实数a_.解析:(ai)2a212ai2i,解得a1.答案:115使关于x的方程x22ix4tan 4i0有实数根的锐角的值是_解析:设m是方程的实根,代入方程,整理得(m24tan )(2m4)i0,由
6、复数相等的条件,得解得由为锐角,得.答案:16定义复数的一种运算z1|z1|z2|,2)(等式右边为普通运算),若复数zabi,且实数a,b满足ab3,则z*的最小值为_解析:根据题意,得z*|z| .因此当a时,z*有最小值,且最小值为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)已知复数z的共轭复数是,且满足z2iz92i.求z.解:设zabi(a,bR),则abi.z2iz92i,(abi)(abi)2i(abi)92i,即a2b22b2ai92i.由得a1.代入得b22b80.解得b2或b4.z12i或z14i.18(12分)已知复数z满足|z|,z2的虚部是2.(1)求
7、复数z.(2)设z,z2,zz2在复平面内的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积解:(1)设zabi(a,bR),则z2a2b22abi.由题意得解得ab1或ab1.故z1i或z1i.(2)当z1i时,z22i,zz21i.则A(1,1),B(0,2),C(1,1)所以SABC1.当z1i时,z22i,zz213i.则A(1,1),B(0,2),C(1,3)故SABC1.19(12分)已知复数(x2)yi(x,yR)的模为,求的最大值解:由|x2yi|,得(x2)2y23.故(x,y)在以C(2,0)为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点(x,y)与原点连线的斜率如图所示,由平面几何知识,易知的
8、最大值为.20(12分)已知zi(zC),是纯虚数,且|1|2|1|216,求.解:设zabi(a,bR),则.为纯虚数,|1|2|1|2|(a1)(b1)i|2|(a1)(b1)i|2(a1)2(b1)2(a1)2(b1)22(a2b2)4b484b4124b.124b16.b1.把b1代入a2b24,解得a.zi.2i.21(12分)已知复数z且|z|4,z对应的点在第一象限,复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点求实数a,b的值解:z(abi)2ii(abi)2a2bi.|z|4,4,即a2b24.复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,|z|z|. 把z2a2bi代入,化简得b1.又点Z在第一象限,a0,b0.a,b1.22(12分)已知|z1i|1,求|z34i|的最大值和最小值解法一:设z34i,则z34i.z1i45i.又|z1i|1,|45i|1.则对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心、1为半径的圆,如图 (1)所示|max1,|min1.解法二:由已知条件知复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心、1为半径的圆,|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3,4)的距离在圆上,与(3,4)距离最大的点为A,距离最小的点为B,如图(2)所示故|z34i|max1,|z34i|min1.
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