第一章函数、极限与连续.

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1、第一章函数极限连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D是一个非空数集，若存在一个对应法则 f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与之对应，则称这个对应法则f是定义在数集 D上的一个函数，记作：y=f(x)，其中X叫自变量，y叫因变量或函数，数集 D称为函数的定义域，而数集 z二 y | y二f (x), x D叫函数的值域.如果X。e D，称函数f (x)在x0处有定义，函数 f (x)在x处的函数值记为y X#或 f(Xo).注释：函数定义的两个要素：定义域和对应法则;两个函数相等条件： 定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数,如:f(x)二X2 - x - 2x -21#与g(x)

2、二x 1不同，因定义域不同;f (x) = sin2 x与g(x)二sinx不同，因对应法则不同；2 2 2 2f(x)二xsin x cos x与g(t)二t 1相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同 若定义域内的每一个 x只对应一个函数值 y，则称该函数为单值函数，若同一个x值可对应于多于一个的函数值 y，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D上有定义，如果对-治公2，D且x x2，恒有f (捲)：f (x2)(或f(xj f(X2),则称f (x)在区间D上严格单调增加(或严格单调减少)的 .如果对于

3、#且X1 : X2，有f(xj乞f(X2)(或f(xj - f(X2)称f (x)在区间D上是单调增加(或单调减少)的.2注释：(1)函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也 不同(2) 增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增 (3) 增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数(4) 增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数2、函数的奇偶性：设D是对称于原点的区间，若对-xD，有f(-x)二-f(X)，则称f (x)是奇函数；若有f (_x)二f (x)，称f(x)是偶函数.注释：奇(偶)函数的定义域必须是

4、关于原点对称的区间 奇函数f (x)的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称 奇偶函数的运算性质1 奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇 非偶函数;2。偶数个奇(或偶)函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数；3。一奇一偶函数的积是奇函数；4。奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；x5奇函数的原函数是偶函数；偶函数f (x)的原函数F(x)二.f(t)dt是奇函数的充要条件是aa =0，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数 任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即f(x)-f(-x) . f(x)

5、f(-x)2 23、函数的有界性：设f (x)在区间D上有定义，如果存在 M0,使得对一切X，D都有f (x) M，则称f (x)在D上有界，否则称为无界，即对F M A0，若存在x D，使得f(x) aM，称f (x)在D上是无界的注释：函数的有界性与1x的取值区间有关若函数y在区间(1/：)上有界，但在(0,1)内是x无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M不存在，即函数的有界性与x的取值区间有关4、函数的周期性：设f(x)的定义域为D，若存在常数T .0,伎得对-xD，必有x_TD , 并且有f (x T f (x)成立，则称f(x)是以T为周期的周期函数，T称为函数f (x)的周期，所

6、有周期中的最小正周期叫函数 f(x)的周期注释：周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间女口： y =ta nx 的定义域是(一口；)且 x = k,k = 0,1,2.,2 若f (x)的周期为T，则f (x J的周期为1-0)；co 周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：2 2y =sin4x - cos3x周期是,的最小公倍数2二，但也有例外，如：sinx, cosx的周期为2二，43但 y =sin x cosx的周期为 二； 周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变；x 设f (x)是周期为T的函数，则它的原函数F(x) f (t)dt为周期函

7、数的充要条件是*aT0 f (x)dx =0，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：f (x1 cosx是以2二为周期的函数，但其任一个原函数F (x)二x sin x C不是周期函数.1 x有理数 不是每一个周期函数都有最小正周期的，如：狄利克雷函数y =丄-任何有理数r都y、0,X无理数是它的周期，即若x为有理数，x r也是有理数，故有f(X)=1 = f (x - r);若x为无理数，x r也 是无理数，故f (x) = 0二f (x r),可见r为f (x)的周期，但它没有最小的正周期.又如：y二C，C为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数三、反函数设函数y =

8、f (x)，其定义域为 D，值域为M，如果对于 M中的某一个y值(y M )，都可 以从关系式y二f (x)确定唯一的x(D )与之对应，这样就确定了一个以y为自变量的新函数，1 1记为：x二f (y)，称函数x = f (y)为函数y = f (x)的反函数，它的定义域为M，值域为D .注释：习惯上自变量用 x表示，函数用y表示，因此函数 y = f(x)的反函数XrfTy)通常 表示为y = f (X). 反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有ff(x) =x = ff(x). 原来函数y二f (x)与其反函数y二f J(x)的图像关于y二X对称(前提是

9、在同一坐标系中)， y = f (x)的图像与其反函数 x二(y)的图像重合. 只有一一对应的函数才有反函数. 若f (x)在区间I内单调=f (x)在区间I内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若一 x, 一1 兰 XV 0f (x)在区间I内存在单值反函数但 f (x)在区间I内不一定单调，女口：f(x)二丿在J +x, 0 兰 x 兰 1区间-1,1内存在单值反函数，但它在-1,1上不单调.四、复合函数若函数u二(x)在X。处有定义，而y二f(u)在Uo二(xo)处有定义，则y二f (x)称为由y = f (u)和u二(x)复合而成的复合函数，u称为中间变量.注释：只有当函数u = (

10、x)的值域与y = f (u)的定义域的交集不是空集时才构成复合数 函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设f(x)二sinx ,(x) = ex，则 f (x) =sin (x) =sinex. 复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u，再依次分解，如：y 二arctan(x sin x)，可设 u = arctan(x sin x) , v = x sin x，则原来函数是由 y = u ,u =arctanv , v = x sin x复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本

11、初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个 数学解析式表示的函数叫初等函数注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函 数一般不是初等函数3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段 函数1, xaO,女口：符号函数sgn x = 0, x=0,是分段函数且是有界函数和奇函数.-1 , x c0.IIX, x K 0,又如： y =|x =丿=xsgnx是分段函数.-x,x x0时，函数f (x)的极限#(1)函数f (X)在X x0时的极限概念定义 设函数f(x

12、)在X0的某个去心邻域内有定义，如果当X-X0时，函数f (X)无限地趋近#lim f (x)二 A或 f (x) ； AX：x于某一确定的常数 A，则称A为函数f (x)当x x0时的极限，记作:(X Xo)注释：X-; X0表示x趋近于X0，含以下两种情况:(1) X从大于x0的一侧(即右侧)趋近于 X0，记作：X)x0 ；(2) X从大于X0的一侧(即右侧)趋近于 X0，记作：X_.(2)函数左极限与右极限的概念定义 设函数f(x)在X)的某个左侧邻域(Xo -Xo) U 0 )内有定义，如果当 X从x0的左侧趋近于Xo (记作：x 心)时，函数f (x)无限地趋近于某一确定的常数A,则

13、称A为函数f (x)当 x； xj时的极限，记作：lim f(x) = A或 f(x0)=A或 f(x0-0)=A.XTX设函数f (x)在X0的某个右侧邻域(X0,X0 0 )内有定义，如果当 X从X0的右侧趋近于勺(记作：X-.勺)时，函数f (x)无限地趋近于某一确定的常数 A，则称A为函数f(x)当Xr x0 时的极限，记作：lim f (x) = A或 f (x0 J = A或 f (x0 0) = A.(3) 函数f (x)在X - X0时极限存在的充要条件定理 极限lim f (x) = A存在的充要条件是lim f (x) = A且lim f (x) = A.XTkixx广注释

14、：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理(4) 几个常用极限1lim 0， lim C = C (常数)，lim sin x = 0， lim cosx = 1， lim x 二 X0.X )：xX.X0X )0X )0X )X0(5) 初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点x0的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点x0的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质(1) 唯一性：若极限lim f (x)存在，则它的极限必唯一；(2) 局部有界性：若m f (x)存在，则日6 0和M =0,当0v|x x0| V6时，有f (x)兰M ；xx0(3) 保序性：设

15、 lim f(x)=A, lim g(x)= B ,X0Xo(I)若 AB，则:0 ,当 0vx x()时，有 f(x)g(x)；(n)若当 Ocxxo时，有 f(x) = g(x)，则 A ZB.(4) 保号性：若 lim f (x) = A 0 (或0 ,当 0 x - 怡 0X_o(或 f(x) ：0)若 f (x) A 0 (或 f (x) C 0)，且 lim f (X) = A，则 A 0 (或 A 兰 0 ).注释：上述的变化趋势 x x0，可以换成X-； x, x-； x0 , X-., X)-： , x-:若 f (x) 0(或 : 0)，且 lim f (X)二 A，则 A

16、 0 (或:：:0)是错误的，如 f (x)二 x20(x = 0)，X0但 lim f (x) =0x_01.3极限的运算法则若 lim f (x)， lim g(x)都存在，则(1) lim f (x)二 g(x)-lim f (x)二 lim g(x)；(2) lim If (x)g(x) 1= lim f (x) - lim g(x)，特别地 lim Cf (x)二 C lim f (x)；(3) 3=，其中 limg(x“0 ；g(x) lim g(x)(4) lim fg(x) = f lim g(x)；(5) lim f(x)W lim f(x)Pmg，其中 lim f(x) 0

17、 且不等于 1，特别地 lim f (x)=lim f (xp: C 为实数)注释：法则(1) (2)可以推广到有限个函数. X x0时有理分式极限的求法设R(x)是有理分式，盹)=血=吧 乳X；：，其中十0，bnPQm(x)bnXn+bn2+fx+b。(1 )若 Qm(x0)nO，贝V lim R(x)卩0)R(x0);j0Qm(Xo)(2)若 Qm (x0) =0，而 Pn(x0) = 0，则 lim R(x)二：；JX(3)若 0口(疝=0且 Pn(x0 =0，则 R(X)与 Qm(x) 一定有公因子(X - X。),将 Pn(x)与 Qm(X)因式分解，约去公因式后再计算极限 X时有理

18、分式极限的求法0,当mn时.lim R(x)二 岂，当m = n时.其中 an = 0， bn = 0. X心bn:, 当m ： n时. 无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 “：一：”型有理分式的求法：先通分，再求极限 .1.4极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于x0的去心邻域内的一切x都有g(x)空f (x)空h(x)，且lim g(x)二 lim h(x)二 A，则有 lim f (x)二 A.x7x叫x：x、两个重要极限1、lim1，x )0 sin x14#般的 lim Si- = 1，二表示任一函数 u(x)，即 lim sin u( x) -

19、 1 ； 0-u(x) 0 u( x)2、xmp+y =e, IXfe,#11X1般的 lim (1,) e，lim (V) =e表示任一函数 u(x)，即 口 b _.(1)u(x)二 e，1lim (1 u(x)u(x)二e.u(x) )01.5无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1无穷小量的概念若lim f(x)=O (或lim f(x) = O)，则称f(x)是xt x0 (或xt比)时的无穷小量，简称无x xox_,穷小；2、极限与无穷小量的关系lim f(x)二Au f(x)二A.二，其中二是Xr x0时的无穷小量X x0(x ：)lim f(x)二 A：=| f(x)A|

20、是x0 (或 x)时的无穷小量Xx0(Xr J3、无穷小量的性质(1) 有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量,(2) 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。二、无穷大量1、无穷大量的概念如果当x X。(或X )时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f (x)为x X。(或xr -)时的无穷大量，简称无穷大，记作：lim f (x)-：.(Xr )2、无穷大与无穷小的关系1在自变量的同一变化过程中，如果f (X)是无穷大量，则是无穷小量；如果 f (X)是无穷小f(x)1量且f (x) = 0，则是无穷大量。f(x)三、无穷小量的比较1、无穷小比较的概念设 lim -：s(x) = 0,

21、lim ： (x) = 0 ,16若，则称：(x)是X)的高阶无穷小量，记一0C)；若问说，则称:(x)与心是等价无穷小量，记：；若lim 1凶 二a = 0，则称:(x)与-(x)都是同阶无穷小量; P(x)若问谓詔0)，称,(x)是:(x)的k阶无穷小量;若lim -(x)-：:，称:(x)是-(x)的低阶无穷小量 P(x)注释：在无穷小的比较中，：(x), - (x)是在自变量相同变化趋势下的无穷小量 无穷小量的比较只是定性的，即只有阶的高低之别，没有数量上的关系 不是任何无穷小量都能比较其阶的高低的，如：当x 、:时，.、=却罟，1 =都是无穷xx小量，但a Pm:H X二lim si

22、nx不存在，不能比较其阶的咼低X)：:2、几个常用的等价无穷小量当Xr 0时，有下列无穷小等价2sin x x , ta n x x , 1 - cos x，arcsin x x，arcta n xx,ex1x, ax1xl na,2xln(1 x) x , logax , (1 x)-1 ： x(二 0). ln a3、等价无穷小替换定理, r r ,otaraa r若： ： ， ，贝V lim = = lim = = lim = lim.注释：在求极限时，整个式子的分子或分母必须整体替换，不能分子或分母分项替换，即在分子或分母是和，差的情况不能替换，只能替换乘积中的无穷小量等价无穷小量具有

23、传递性(变化趋势必须相同，)它们都是互相等价的171.6函数的连续性及闭区间上连续函数的性质、函数y二f (x)在点x0的连续性1、函数y = f (x)在点x0的连续性概念定义设函数f (x)在点xo及其附近有定义，如果l.im：y =叫 f (x0 . ；x)-则称18#函数f (x)在x0点连续定义设函数f (x)在点x0及其附近有定义，如果lim f (x) = f (x0)，则称函数f (x)在x0点连x x0#注释：(1)函数y二f(x)在点x0处连续必须满足三个条件: 函数f(x)在点x0及其附近有定义； 极限lim f (x)存在；Xf 极限lim f (x)的值等于函数f (

24、x)在点x0处的函数值.x0(2)判断函数在某个具体的点是否连续，特别是判断分段函数在分段点是否连续，一般利用 lim f (x)二 f (x0)来完成.x x)2、左、右连续的定义若f (x)在x0点的左邻域内有定义，且 lim_f(x)二f (x0)，则称f (x)在x0点左连续3x0若f (x)在x0点的右邻域内有定义，且 lim f(x)二f (x0)，则称f (x)在x0点右连续3、函数f (x)在点X。连续的充要条件函数f (x)在点x0处连续的充要条件是：f (x)在点x0既左连续又右连续.注释：该定理主要用来讨论分段函数在分段点处的连续性二、函数f(x)在区间上的连续性概念若对

25、_x (a,b), f (x)在点x都连续，则称f(x)在开区间(a,b)上连续；若f (x)在开区间 (a,b)上连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续三、连续函数的性质1、连续函数的四则运算f (x) 若函数f(x) , g(x)在Xo点都连续，则f (x) _ g(x), f (x)g(x),(g(x) = 0)也都在点x也g(x)连续.2、 复合函数的连续性：若u =g(x)在点x0连续，u0 =g(x0)，而y二f(u)在点u0连续，则复合函数 y = fg(x)在 X。点也连续，且有lim fg(x) = flim g(x) = fg(x。)x_ 0x

26、d3、 反函数的连续性：若函数y二f (x)在区间I上严格单调且连续，则其反函数y二f J(x)也在相应的区间上严格单调且连续4、初等函数的连续性一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义区间上都是连续的注释：初等函数在其定义域内不一定连续，即只有在定义域构成的区间上连续，如： 兀f(x) = .sinx -1的定义域为x =2k (k = 0,_1, _2，)，它在定义域内的任何一点都不连续.2四、函数的间断点及其分类1、函数间断点的定义若函数f ( x)在点X。的去心邻域内有定义，但f (x)在X。点无定义或f(x)在xo点有定义而不连续(即f (x)在x0有定义，但li

27、m f (x)不存在或虽然lim f (x)存在但不等于f (x0)，则称f (x)在x0点不连续，点xo称为f(x)的间断点2、间断点的分类间断点分为两类：第一类间断点和第二类间断点(I)第一类间断点:lim f (x)和lim f (x)都存在T。-1 )若lim f(x) = lim f(x) = f(x0)(或在x0点无定义)，称x0为可去间断点 xt。xTj2) lim f(x) = lim f (x)，称x。为跳跃间断点X X0xx。-(n)第二类间断点： lim f(x)与lim f(x)至少有一个不存在，则称x0是第二类间断点，若t十x(rlim f (x)-：:或lim f

28、(x)二：，称为x0是无穷间断点.Xx。X注释：(1)区间I上单调函数的不连续点必为第一类不连续点，即单调函数在任意点的左右极限都存在(2)设f(x)在a,b上连续，且f(x)=O，xa,b，贝U f (x)在a,b上恒正或恒负五、闭区间上连续函数的性质1、 最值定理：若f(x)在闭区间a,b上连续，则f (x)在a,b上必有最大值和最小值2、 介值定理：若f (x)在a,b上连续，且f(a)= f(b)，则对任意介于 f(a)与f (b)之间的常数 C,必存在 x0 (a,b)，使得 f(x0) =c 3、 根的存在定理：若f (x)在a,b上连续，且f(a)f(b) ：0，则至少存在一点x0 (a,b)，使得f(xo) =0 ,(即f(x)在(a,b)内至少有一个实根)广义的零点定理：若f (x)在(a, b)上连续，且lim f (x) lim f (x) 0，则在(a,b)上至少存在一点x0，使f (x0) = 0 (a, b)也可以是区间(：，：) 20