函数极限与连续

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1、第三节函数极限与连续函数极限内容网络图rmf(x)=Alim /(r)- A函数极限定义；、lixn = coUm /(x) = 8性质-唯一性，有界性，不等式.界定理单禽检用与双*m函数图b与数列sm一函数根隈与无穷小无穷大与无穷小-翔k碗、等价.函数连续定义、内容与要求1.理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.2.掌握函数极限的性质及四则运算法则3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.5. 理解函数连续性的概念（含左连续

2、与右连续），会判别函数间断点的类型6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和最小值定理、介值定理）难点 函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求 极限.三、概念、定理的理解与典型错误分析1 .函数极限的概念定义1.10lim /二丈若存在一个常数0,我 0,当兀 洞，都有XT柚血/(X)= A ”歹定义i.iiXZ把1中“ 1”换成“ 1” so前鳄okfk硅都有幽-小。定义

3、定理定义1.121.41.13lim /(x) = A 、炉 v s y arm把1中“工换成“ A 4 4fin /(x)=从/(z) = Urn 网=且XT鲂JTT枢且黑加）2设为在0（七|）有定义，若存在一个常数A,lim = A: 门 M DF ti （ 定义1.14 1而设JI灯在。的某左半邻域内有定义，若存在一个常数a, He0,当-J 一而 0当01-/ 8日时，都有 U 0J 0,当03-而卜（5定义1.16IT砧时, 称工.雨时，/是无穷大量。圾/（ +0,只要把公式中“ 必）卜M，改成“期“ 只要把上式中“ J。） M，改成“ /W o丑 o。当HU时,都有睡时读者同理可给

4、出lim （*o或-oo）/（k） = 00（+00或-00）1、, 了Tg7E义。lim /（i） = A注：*T砧lim /（x） =oo（常数）与HT通的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后, 我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。定义 1.18 AT%9。称州）当亘工。 是无穷小量。这里的 M可以是常数，也可以是他速或。lim=月（常数） /（X）=力+武幻定理 1.6。lim 的）-0其中Z物。0定义1.19若310,胡 Op当XE时，都有J （工）三，称j当工T工口是有界量。2 .

5、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系血 /W = 0,血 g(z) = 0定义1.20设Z砧TTa（这里工。可以是常数，也可以是00,+00-00,以后我们不指出都是指的这个意思）（i）若lim 犯二0 幽，称/（1）当时是gW的高阶无穷小量，记作/二心（功。7而）。11m忠席数）多0,若一二称了当彳一 /时是g（x）的同价无穷小量。I时是 纲 的等价无穷小量，记作 工）4（工）/）。lim /4=c（常数）m Q（k 谭数）（4）若访与）,称/当XT /k)gk)(#T 丽)此时（2）式也可记作称了当XT /时是无穷小量由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入版 /（x）

6、 _ 若E与g（x）前f）,如果 询式了） 均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果/（4gW 均是无穷大量，称为等价无 穷大量；如果 ，出 既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。岛/=乂（常数）h 0 江行由彳T）例如，则J w r .注：A不能为零，若A=0, /工）不可能和0等价。无穷小量的性质:性质1.8若%（工） %口式了）当工T X。时,均为无穷小量,则阿卜修1+ %&) +%(方=0(i )不T而其中(ii ) 砧M即工徒（力%=0性质1.9若一当一 %时是有界量,-卜一上一网均为常数。lim /比=0黑一*4无穷大量的性质:性质1.9有限个无穷大量之积仍是无穷大量。性质1.10

7、有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系:lim /(x) = oo,则 lim i = 0定理1.7 若lim = 8修A力#T 福2。/(彳)Em0,5.35 0,当;r E (工口 时外力 0,则2办.3.函数连续的概念。定义1.21血加卜（两），称在x=通若：-处连续。一日语言可写为定义设J （1）在为的某邻域内有定义，若Ve 0,3(5 O|x-xo| 5时，都有|/（工）-/（%）| J称，在尸片处连续。用函数值增量切形式可写为定义1.22lim Av = 0若以T。,称了国在八10处连续。，称了在X = 所处左连续。黑3/（明 派处右连续.定理1.8在而 处

8、连续 台，在而处既是左连续又是右连续。如果，在X 二工。处不连续，称的间断点。间断点的分类:lim /（x） = &常数）,四（了）在工=/处不连续，称x而是/）的可去间断（1）若：若工一】。为函数穴制的可去间断点，只须补充定义或改变 /在了二而处的函数值，使函 数在该点连续。但须注意，这时函数与 了 已经不是同一个函数但仅在 一%处不同，在其它点相同。 我们正是利用这一性质去构造一个新的函数 式】），使#在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。 当工* %时，也具有这种性质。而* X。时，F（x）=1A）,所以/。）在工工%的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的/（z） = ,lim =

9、 lim= 1例如X *皿 T0工 ，sin x 尸=4，但/在。处没定义和在X =。处不连缀设I Lx= 0，则（工）在工二Q处连续，但 明与我）定义域不同，SU1工= 0, 虽然F旬不是同一函数，但在工丰冽完全相同,又如丁1。，x = 理3视味】，师，知/（泡=o处不连缜设sin工* 0, xL x= 0.尸在工二连续，虽然也与了定义域相同，但在工二Q处，两个函数值不同，知尸与了不是同一函数，但仅在x = 0不同，其余点函数值处处相同。若基佝二方-。).蝮竺勺叫旦鹏-0)一，旃+0),称%为了W的跳跃间断点，称 如q+。)-/。广o帼(1) 的跳跃度。工二通询的第二类间断点。(1) (2)

10、两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。lim /=00若(3)若工。，左、右极限至少有一个不存在，我们称,我们也称-%为/(1)的无穷型间断点，属于第二类间断点。4.函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：(1)如/(力血/W(1) T-Htt (2)-lim /(x)lim，(4) I；(6)布它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以只要作适当修改就可以了。(3)(4) I 砧lim /为例，其它类型极限的相应性质的叙述lim / (x)性质1.11 (唯一性)若极限才T砧存在，则它只有一个极限。lim /(x)Vjn、性质1.12 (局部有界性)若极限 把如存在，则存在

11、 喳的某空心邻域，使/团 在0订区)内有界。注意： 圾,存在，只能得出在%的某邻域内有界，得不出 / (工)在其定义域内有界。lim /(x)= At lini g(x)二瓦旦/3r性质1.13若xtXq g.|、则存在Q的某空心邻域00，使工E贝飞禽)时，都有/W。(或 0)性质1.14 (局部保号性) 若*1*4，则对任何常数0 ij 4(或(4 彳 JfO(f(x)ijO)成立。VM)血 /(x) = A? lim g(x) = B y性质1.15 (不等式)若JTTMHT而,且存在飞的某空心邻域I 0使得对一切 X E(/ B, 都有 浜纲，则於尻lim /(1)与 lim g(x)性

12、质1.16 (函数极限的四则运算)若 才T粘Eq ,均存在，则函数J士 g(x) J(K)：g)，双方(匕为常数)在K 7而时极限均存在且lmi/WgW=lim /(x)lim g(1) TT%KTX&MTM；(2)% 7W ()= fci /(x) ta g 界T如硒JTT。；lim 力了)= Clim/(了) 如式乃工0,则4 r x r(3)才T电E0 ；又若*T知g在”, Jl0时的极限也存在,且有lim /(x) 如g) 11nl以外(4)JTTM 。利用极限的四则运算，可得下列重要结果。，%力”，限均为常数,% H 0也H 0)0,融 m1 T 1 1, 白。+鼻1 -+ L+ri

13、 f + s；6 f XXlim Jf Tcd i i r瓦 +瓦一+ L + EtFt+吼上面的结论可作为公式用。lim /(x)定理1.9 (归结原则或海涅(Heine)定理)史她存在的充要条件是：V处/二/匕*而/ = 1,2,.力极限瞥了Xrs*T 9都存在且相等。叫 lim p r, lim / r.逆否定理若存在两个数列 IX/lXJs =X = 0J XTb =fi = 0，且不存在，则M /国)=4向 /(1)=4/M/二的lim /&)HMDNTs或存在I *Tn R 2mlim /(/)里加不存在。此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。5.函数连续的性质若函数/（芯）在

14、点工二凝处连续，即期/年他），利用极限的性质1-5可得到函数在口）改成也）即可，读者自己叙述出Y0连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把利用极限的四则运算，我们有性质1.17 （连续函数的四则运算）若了（芯），8。）在点工二70处连续，则阿士纲J纲加决为常数）黑g（$ Q）在x通也连续性质1.18若以=/在7处连续J二外祖亡加处连续，则lim /） = /（用/） = /（血 建）3。处也连续且福在满足性质2的条件下，极限符号与外函数 J可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论limg（工）二期,y=/（）在窗二即处连续，则 若；,1J血/（3）=/（far网力）证 设即M=旃，则g（）

15、在# =而处连续，又J =在M=% = go）血 /（gW） = /（lim g（x）处连续，由性质2知TTX,E. 。由于工T % ,要构H %，有虱了）二碘）,所以氏*艰”/晚以功。在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质1.18及推论也是求函数极限的一个重要方法。即极限符号与外函数交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。定理1.10初等函数在其定义域上连续。6 .闭区间上连续函数的性质定理i.ii（最大值与最小值定理）若鼠引上连续，则上一定能取到最大值与最小值，即存在 工1，死!=/Q）在闭区间上3上连续，则了在除口上有界。定理1.12

16、（根的存在定理或零值点定理）若函数/在闭区间白上连续,/伽0,则至少存在一点 心（口面力推论1若函数上连续，且/为介取（公/之间的任何常数，则至少存在一点 气以垃微N推论2若函数，在闭区间限引上连续，则值域玳力=陶财。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。7 .重要的函数极限与重要的等价量利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。limi lr_2.1呵（1+冷|二glim3.，.：= limlln(l + x)=limln(l + x)=lntai(l + xr =ln=l#tO 工#tOtt

17、QInn -设/ -1 = Z tai -=lim !-1。工=修。111(1+；) iQ ln( 1 +。4.# _ rlna _ ilim5. XT。,=limIn a = ha(a O,rm 1 为常数) x *tQ 工 In a7 /购.)-1 ln(I+x) L UL小小物 L m血 =lim:b =为 吊 数,& h 0)6 . .i .；:二一上二arcsinjHn 几.1.1瓦 karctan x = t lim= lim -cos/ =8.x= M0 tan t t sin tlim 二0人0常数）9. ，二,.而=0。 1常数，上为常数）10. ，-M 1Ern |u（x）

18、 = a 0,Sm v（x） =贴/均为常数），则11. 若 lim网工）“）=血产am = gW的 禺悯禺珈加 班&=Gm .）”* = /即 KT融。注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的XT时，/7 ,结论依然成立。利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当4 0时，皿1兀明+工）工4-1 3 -b疝a（a pfa 土 1,常数）（1 + 工厂 T bx（b 丰 0,常数），arcsin x 兀 arctan x 兀1 - cos 注：上式中的工可换成了,只要工必时，必）旬.结论依然成立。例如加 / /（若工T而时J。

19、）回。firn /（x） =盘常数）丰 0 J（x） 工（二7/） 此外，若修砧.1m .1例1. 求/ T U工.典型错误一Im .15曾由一=1旬 Xn lim . 1 仆=0 - v n X 5in= 0it口 jr一：力 Siti_点评 由于：TU x不存在，不能用极限的乘积运算法则xtOtO1 sin-典型错误二1m 皿 _1点评 错误运用了丁 T。-j-.它的一般形式，若I 7 %,前b)T。，则Ei gin/W _1 一。而-(x OB, -m.人FT。 Jt而这里 x， 不符合一般形式的条件解由无穷小量的性质：有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量，故如 tan工一疝了例 2.，T

20、 口 sin?.典型错误lim tan j- sin A / ft litn n nr二，i : - I点评 这里分母smh用x3替代是合理的，因为smh是分母中的因式，而分子中的tenrisinr 用x替代是不合理的，原因是tan省$in1不是分子中的因式，故不能替代.f】、1SillX jf -_jf2litn tan x - sin x (cus )_ lim，卜 d) 版 &解 L.- .-I.-.二：一- 例问两个无穷大量之和是否为无穷大量.典型错误是点评 没有注意到正无穷大量与负无穷大理都是无穷大量答 不一定 例 (林哨HT8时，都是无穷大量，但%+ M)卜(口当制T8 ./H+1

21、的 J+l J 1 画1是旃小量,1 Fh-n都是无穷大量，但H HT8内1树、土寸都是无穷大量，而/目NT 8时是无穷大量.例3.求。(时+。+口TO)典型错误点评解于是同理。+M+。（媚卜0（刊卜T。）fIi 。冏这里的三个口卜勺并不一定相等，只是告诉你 呼勺是x的一个表达式且 2 口个 一111n 08）+鲍1+0（”）_ Imi 回”幽+ 幽Ie”口由于储XT口 / 蝎 娟0卜小口（储）+ 08）=而加T 口）.。俨）+。&+。（炉）卜一0），其中见mwMImKe .例初等函数在这们的定义域中每一点都连续吗?典型错误是点评应当是初等函数在它们的定义域区间上每一点处都连续例/（，）=而不

22、二1,由它们定义域是IcosHCl,得工=2帆h2，该函数定义域为卜：工=2悦QZ,是x轴上离散的点，龙舟的去心邻域为空集原则无意义,不满足故f（x）在I二疗处不连续.典型错误由不存在，故j-0不存在.点评笼通地说S不存在是不严密的。11E璃 1 _n llttlIG _ g Y 1 G _ q _ U. 白 + lim （） = +go, lim e t = -kn it。 xtQ _x 0解_i（T,y iT,e n% 知在；=0_处的右极限不存在，故 工T俨,不存在. x + sinx例 5. J -QOJt + COSX .典型错误 由于4TB时，分子、分母的极限都是无穷大、故该极限无法求出点评想为法转化为某些函数的四则运算，而这些函数的极限可以求出，并能利用极限的四则运算。原式=11XHM了 T 811 +一，COSX故原式=1.利用有函数与无穷小量之积仍是无穷小量知liin 1 , r litn 1 日、-situ = 0 -cosx 0.ITS, , XT0 x