角形中位线中的常见辅助线

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1、角形中位线中的常见辅助线-作者 : _-日期 : _三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一 中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边)直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中

2、线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明： 凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角

3、线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; 延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。“题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似作用典型例题【例 1】 已知： AD 是 ABC 的中线，AE 是 ABD 的中线，且ABBD ，求证： AC2 AE ABEDC举一反三1. 如右下图，在ABC 中，若B2C ， ADBC ， E 为 BC 边的中点求证：AB2DE ABDEC2. 在ABC中，ACB90 ，AC1 BC2，以BC 为底作等腰直

4、角BCD ，E是 CD的中点，求证：AEEB 且AEBE DECAB【例 2】 已知四边形 ABCD 的对角线 ACBD ， E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，连结EF 分别交 AC 、BD于 M 、 N ，求证： AMNBNM ABFENMCD举一反三1. 已知四边形ABCD中，ACBD， E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于 M； EF交 BD于N ，AC 和BD 交于G 点求证：GMNGNMDEANGMBFC2. 已知：在ABC 中， BCAC ，动点 D 绕 ABC 的顶点 A 逆时针旋转，且 ADBC ，连结 DC 过AB 、 DC 的中点 E 、 F 作直线，直线E

5、F 与直线 AD 、 BC 分别相交于点 M 、 N （1）如图 1，当点 D 旋转到 BC 的延长线上时，点N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H ，连结 HE 、HF ，求证：AMFBNE（2）当点 D 旋转到图2 中的位置时，AMF 与BNE 有何数量关系？请证明MDF(N)CCFNDMAEBAEB【例 3】 如图，在五边形ABCDE 中，ABCAED90 ，BACEAD ， F 为 CD 的中点求证：BFEF ABECFD举一反三1.如图所示，在三角形 ABC 中， D 为 AB 的中点，分别延长 CA、 CB 到点 E、F，使 DE=DF 过 E、 F 分别作直线 CA 、 C

6、B 的垂线，相交于点 P，设线段 PA、 PB 的中点分别为 M 、 N求证：（ 1） DEM FDN ；（2）PAEPBF CADBEMNFP3. 已知：在ABC 中，分别以AB 、 AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和 CAN ， P 是边 BC 的中点求证：PMPNAMPBNC4. 如图所示，已知ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABDACE90 ，连接 DE ，设 M 为 DE 的中点（ 1）求证 MB MC （2）设BADCAE ，固定 RtABD ，让 RtACE 移至图示位置，此时MBMC 是否成立？请证明你的结论AAECECMMDDBBABCM5. 在 ABC 中， AB

7、=AC ，分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是 BC 边中点中点，连接MD 和ME（ 1）如图 1 所示，若 AB=AC ，则 MD 和 ME 的数量关系是（ 2）如图 2 所示，若 ABAC 其他条件不变，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意 ABC 中，仍分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，请在图3 中补全图形，并直接判断 MED 的形状AADDEEBCBMC M图1图2图 3【例 4】 以ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt

8、 ABD 和等腰 Rt ACE ，BADCAE90 .连接 DE ， M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系（1）如图当ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 _；线段 AM 与 DE 的数量关系是_；（2）将图中的等腰Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转( 090 ) 后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由DDNNEAEABMCBMC图图AAADEDEFEDB图1CB图 2CB图 3C举一反三1. （ 1）如图1 ， BD 、 CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A作 ADBD 、AE CE ,垂足分

9、别为D 、E ，连接 DE 求证： DE BC ，DE1ABBC AC2（ 2）如图2， BD 、CE 分别是 ABC 的内角平分线，其他条件不变；（ 3）如图3， BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为 ABC 的外角平分线，其他条件不变。则在图2、图3 两种情况下， DE 、BC 还平行吗？它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明2. 已知 ABC 中， ACB 90， AB 边上的高线 CH 与ABC 的两条内角平分线AM 、 BN 分别交于 P、Q 两点 PM 、 QN 的中点分别为E、 F 求证： EFABAHNF Q PECMB【例 5】 等腰梯形ABCD

10、中，AB CD，ACBD，AC 与BD 交于点O ，AOB60 ，P、Q、R 分别是OA 、BC 、 OD 的中点，求证：PQR 是正三角形DCROQPAB举一反三11. AD 是ABC 的中线， F 是 AD 的中点，BF 的延长线交AC 于 E 求证：AEAC 3AEFBDC【例 6】 如左下图，在梯形ABCD 中， AB CD ， E 、 F 分别是 AC 、 BD 中点求证： EF AB ，且EF1AB CD2DCEFABDFABC E图 1举一反三2. 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1ABC，已知ACB90 ，ABC 45，分别以 AB，BC

11、为边向外作 ABD和 BCE ，且 DADB，EBEC ，ADBBEC90 ，连接 DE 交 AB 于点 F ，探究线段 DF 与 EF 的数量关系。小慧同学的思路是：过点D作 DGAB 于 G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ABC 30 ， ADBBEC60小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（ 1）写出原问题中DF 与 EF 的数量关系22，若ABC 30 ， ADBBED 60 ，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到（ ）如图的结论是否发生变化？请写

12、出你的猜想并加以证明；（ 3）如图 3，若ADBBEC2 ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。DDBFBFAACECE图 2图 3真题演练1. 已知： AOB中， AB OB 2 ， COD 中， CDOC 3， ABO DCO . 连接 AD 、BC 、，点M 、N、 P分别为 AO、 DO 、 BC的中点 .（1）如图 1，若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且 ABO60o ，则 PMN 的形状是 _，此时AD_；BC（2）如图 2，若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且 ABO2 ，证明 PMN BAO ，并计算

13、AD 的BC值（用含的式子表示）；（3）在图2 中，固定 AOB ，将 COD 绕点 O 旋转，直接写出PM 的最大值 .BABAMMOONPPNDCDC图 1图 22. 如图， D 是 ABC 中 AB 边的中点， BCE 和 ACF 都是等边三角形，M、 N 分别是 CE、 CF 的中点 .（1）求证： DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q 是EF 中点，CP EF 于点P. 求证： DP DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证

14、明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将 NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.FNMECADB3. 在 ABC 中， D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点P，使得 ABP=AC P过点 P 作 PE AB 于点E，PFAC 于点 F（ 1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；（ 2）如图 2，当 AB AC，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由AAFEPFEPBDCBDC图1图24. 探究问题：已知AD 、 BE 分别为 ABC 的边 BC、 AC 上的中线，且AD、 B

15、E 交于点 O.（ 1） ABC 为等边三角形，如图 1，则 AOOD =_ ；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若 ABC 为一般三角形（如图2）， 中的结论仍成立，请你给予证明 .（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图 3，在 ABC 中，点 E 是边 AC 的中点， AD 平分 BAC , AD BE 于点 F ，若 AD=BE=4.求： ABC 的周长 .AAAEEEOOFBDCBDCBDC图1图2图35. 如图 1，在四边形ABCD中，AB CDEF分别是BC AD的中点，连结EF并延长，分别与， 、BA、 CD 的延长线交于点M、N ，则BMECNE （不需证明）（温馨

16、提示：在图1 中，连结 BD ，取 BD 的中点 H ，连结 HE、 HF ，根据三角形中位线定理，证明HE HF ，从而12 ，再利用平行线性质，可证得BMECNE ）问题一：如图2，在四边形 ADBC 中， AB 与 CD 相交于点 O ， ABCD ， E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF ，分别交 DC、AB 于点 M 、 N ，判断 OMN 的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在 ABC 中， ACAB， D点在 AC上， ABCD ， E、 F 分别是 BC、AD 的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC60GD，判断 AGD的形状并证，连结明MNAA

17、FDDGFOAHMNEFDBECBCBEC图 1图 2图 36. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1请你用此性质解决下面的问题 .已知：如图，点 O 为等腰直角三角形 ABC 的重心，CAB 90 ，直线m,过点 O 过 A、B、C 三点分别作直线 m 的垂线，垂足分别为点D、E、F .（1）当直线 m 与 BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF 和 AD 三者之间的数量关系并证明；ABODCO 30（ 2）当直线 m 绕点 O 旋转到与 BC 不平行时，分别探究在图2、图 3

18、这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明AAAmFmFEF mDDO DEOBOBCBC图1C图3图 2E7. 以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作VAOB 和 VCOD ，其中（1）点 E 、 F 、M 分别是 AC 、CD 、 DB 的中点，连接FM 、EM （ 2） 如图 1，当点 D 、 C 分别在 AO 、 BO 的延长线上时，FM=_ ；EM如图 2，将图 1 中的 VAOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转角（ 0o60o ），其他条件不变，判断FM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；EM（ 3）如图3，若BO3 3，点N在线段OD上，且NO2点P是线段AB上的一个动点，在将 VAOB 绕点 O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为 _，最大值为 _-THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.-