线性代数复习题

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1、线性代数复习题 A 、 n m B n m C n m D 、 n和m无法比较 、选择题 练1、如果排列a!a2a3a4a5的逆序数为a，则排列a5a4a3a2a!的逆序数为_B A a B、10 a C a 10 D、a 2 或 a 2 练2、如果排列aia2...an的逆序数为k，则排列an an i...ai的逆序数为_C A、k 1 B、n k C、n(n 1) k D n2 k 2 练3、若％a23a35a44a5j是五阶行列式中带正号的一项，则i, j的值为 A A、i1 j 2 B 、i2j1 C 、i2 j 3 D 、i 3 j 2 A

2、、815844822831853 B 、 a21a32a41a15a54 C 、a31a25a43a14a52 D 、a13a44a32a41a55 103 100 204 练5、行列式 199 200 395 等于 A 301 300 600 A、2000 B 、 2000 C 、 1000 D 、 1000 0 0 0 1 练6行列式 0 0 2 0 等于A 0 3 0 0 4 0 0 0 A 、24 B 、 24 C 、0 D 、1

3、2 2x x 1 2 练7、根据行列式定义计算f (x) 1x11 中x4的系数是B 3 2x1 1 1 1 x A、1 B 、 2、 C 、 2 D 、 1 4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是 A 利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式 D 0时, 练8、 说明方程解的个数是 C B 、0 C 、无穷多个 D 、无法判断 练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是 m个，未知 数的个数是n个，则 C ax1 X2 X3

4、 0 10、 已: 知齐次线性方程组 x bx2 X3 0有非零解，则 a, b满足D x 2bx2 X3 0 A a b 1 B 、a b 1 C 、a 0 或 b 1 D 、 a 1 或 b 0 x y z 0 练1 1、 若齐次线性方程组 x y z 0 有非零解，则 B x y z 0 A 1 或 1 B 、 1或 2 C 、1或2 D 、 1或2 3x ky z 0 12、

5、 若 4y z 0 有非 E零解 ，则 k B kx 5y z 0 A、k 0 或 k 2 B、k 1 或 k 3 C、k 2 或 k 2 D、k 2 2 13、设A是三阶方阵，且A 4，贝U _B 1 A、4 B 、丄 C 、1 D 、2 4 练14、设X是n维列向量，贝U X _D A 凶| B 、| |||X|| C 、 n|x|| D 、|「||X| 练15、设A为三阶方阵， 2 , | A 3，贝U A _B A 、24 B 、 24 C 、6 D 、 6 练16、设A,B,C都是n阶方阵，且AB BC CA E，则A BC 、A2

6、n C2 _A— A 3E B 、2E C 、E D 、O 17、设A,B都是n(n 2)阶方阵，则必有__B A A B A B B 、AB BA C、AB BA D、 A B B A 练18、设A、B都是n阶方阵, 为常数，则下列正确的是 ___D A、AB / A/B/ B AB 1 A 1B 1 C 、 A/ A D 、AB AB 练19、若n阶方阵A、B都可逆，AXB C,则X A、A 1B 1C B 、CB 1A 1 C 、A 1CB 1 、B 1CA 1 练20、设A是n n 2阶方阵, 是A的伴随矩阵, AA 2n

7、 1 、A 练21、设A是nn 2阶方阵，A是A的伴随矩阵，则正确的是 C A AA B、 A/ 1 — A C A 0，则 A lAl 0 D 若 R(A) 1,则 R(A) 1 练22、 A、A B、A 以下的运算中, C、若A 0则B 0 D、若A 0，则一定有B 练23、 A、计算行列式的值 能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 A B、求逆矩阵 C 解线性方程组 D 、以上都不是 练24、设A是n阶方阵，B是m阶方阵, A 0，则|C等于-D A AB B AB n A|B mn 1 AB 练25、设矩阵

8、A是m n矩阵，矩阵C是n阶可逆矩阵，秩R A r，矩阵 B = AC， 2阶方阵，B是A经过若干次初等变换后得到的矩阵，则 且 R B r1，贝U C C 、 r r1 D 、无法判断 B 1 0 0 1 0 0 C 、 0 2 0 D 、 0 1 2 0 0 1 0 0 1 A、r ” B 、r h 0 0 1 1 0 0 A、 0 1 0 B 、 0 0 0 1 0 0 0 1 0 练 练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 27、向量组1,

9、2，…，n线性相关的充要条件为 ―C A 、 1, 2，…，n中有一个零向量 B 1, 2，…，n中任意两个向量成比例 C 1, 2，…，n中至少有一个向量是其余向量的线性组合 D 1, 2，…，n中任意一个向量都是其余向量的线性组合 练28、n维向量组1, 2,…，s 3 s n线性无关的充要条件为 C A 、 1, 2，…，s中任何两个向量都线性无关 B存在不全为0的数k1,k2,...,ks，使得k1 1 k2 2 ... ks s 中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示 1) 2)--- s中存在一个向量不能由其余向量的线性表示 29、设向量组 线性无关

10、，则下列向量组线性相关的是 _A A、 1 2， 练30、 设向量组 3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 c、 练31、 设向量组 i, 3线性无关，则下列向量组线性相关的是 A、 1 2， C、 1， 1 练32、已知你很是方程组Ax = b的两个不同的解, a, a2是方程组 Ax 0的基础 解系，是任意常数，则Ax=b的通解为 A 、 k1 a k2 a + a2 3 3 2 3 3 2 、k1 a k2 a a2 33、若A是正交阵，则下列各式中 、AA E B 、 A A 练34、 F列矩阵中哪个是正交矩阵 1 2 、

11、2 1 B 2 1 是错误的 3 3 2 1 3 2 3 5 4 5 4 5 3 5 3 5 4 5 35、已知三阶矩阵A有特征值1, 1,2，则下列矩阵中可逆的是 A、 E A 、2E A 、2E A 5 1 2 4 练 36、设 A 1x2 0 0 1 ,且A的特征值为1,2,3 ，则x 、A的特征值全

12、不为0 、A的特征值全为0或1 A 5 B 、4 C 、3 练37、n阶方阵A可逆的充要条件是_B_ A、A的特征值全为0 B C 、 A至少有一个特征值不为0 D 练38、设 2是可逆矩阵A的特征值，则矩阵 A2 1 有一个特征值等于 C A、4 B 3 练39、n阶方阵A有n个不同的特征值是与对角矩阵相似的 B A 、充分必要条件 B 、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D 练40、n阶方阵A与对角矩阵相似，则 、既非充分又非必要条件 D A、 方阵A有n个不都相等的特征值 B 、r(A) n C、

13、 方阵A 一定是对称阵 、方阵A有n个线性无关的特征向量 41、、设三阶实对称矩阵 A的特征值为 3 8，对应于1 2 2的 1 特征向量是人 1 0 X2 ，则对应于 8的特征向量是_C A、x-i, x2 中的一个 B 1 / D、相交但不垂直 练42、设A为三阶矩阵, 1, 1, 3 2为A的3个特征值，对应的特征向 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 A、 0 1 0 B、 0 2 0 C、 0 2 0 D、 0 1 0 0 0 2 0 0 3 0 0 6 0 0

14、 1 练43、实二次型 f為出风 2 X1 2x1x2 tx22 3X32，当 t B ，其秩为2 量依次为 1, 2, 3，令 P ( 3,2 2,3 1)，则 P 1AP _D A、0 B、1 C、2 D、3 二、填空题 练1、排列2, 6, 3, 5, 1, 9, 8, 4, 7的逆序数是J3 练2、当i _8_ , j J_时，1274i56 j9是偶排列 练3、带负号且包含因子a23和a31的项为 a14a23a31a42 练4、带正号且包含因子a23和a31的项为_ aga23a32a41 5、在五阶行列式中，项

15、a12a“a54a43a25的符号应取 正号 练&在六阶行列式中，项a13a24a32a45a56a61的符号应取 负号 练7、在函数f (x) 3x 8、 f(x) x 1 2x 1 x x 1 2 1 x中，x3的系数为 x 1 1 x x中，x3的系数为_ 3 3 x 1 1 x x2 2 0 3 1 练9、 2 0 3 '的展开式中x2的系数为7 0 13 1 1112 an a12 a13 2an 2a12 2813 a21 a22 a23 ,且 A 3，则 W 2A 2a21 2a22 2a23 a

16、31 a32 a33 2a31 2a32 2a33 练10、设A 3，先交换第1, 5两行，再转置，最后用 24 练11、设五阶行列式A 2乘以所有 元素，其结果为—96 练12、设行列式D 0 1 0 2 0 0 , Aj是D中元素aj的代数余子式，则A 0 0 3 A32 A33 = —2 4 13、计算 1 3 2 5 0 =_ 5 7 3 14、(A B)2 A2 2AB B2 的充要条件为—AB BA

17、 练15、A B 28、设是3阶矩阵，且AB E，A 0 0 (A B)(A B)的充分必要条件是 AB BA 1 2 16、 设 A3 -，贝u 2A _J 8 17、 设 A4 4 2 , B55 2，贝|AB 64 1 18、设A是3阶矩阵，A 2 , A 1为A的逆矩阵，则2A 1的值为 练19、设A是3阶矩阵，A 1 2，则(3A)1 A 丄 108 _27. 练20、已知为A

18、四阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A 3，则1 A 4A 1 3_ 8 3 3 练21、设A是3阶矩阵，且A 9，则A1 22n 练22、设A是三阶方阵，且 A 1 3，则2A 练23、设A,B都是n阶方阵，且|A 2，| B 3，则2A B 1 — k 1 1 1 1 k 1 1 24、设 A ，且秩 r(A) 3，则 k 3 1 1 k 1 — 111k 练25、A为n阶反对称矩阵，则A A __0 练26、 设矩阵A满足A2 A 4E 0,其中E为三阶单位矩阵, 则(A E) 1 1 1(A 2E) 练27、 设矩阵 A满足A2

19、 A 2E 0，其中E为三阶单位矩阵, 则A1 1 1(A E) 0 0，则B 3 29、 设0 1 1 1 1 10 11 5 5 20 0 0 1 2 2 2 0 0 1 2 2 8 30、 已知向量 1 1,1,0 , 2 0,1,1 , 3 3,4,0 ,则1 2 31、 已知向量 1 1,1,0 , 2 0,1,1 , 3 3,4,0 ,则3 1 2 32、 已知3（ 1 )2( 2 )5( 3 ), 其中 1 2,5,1,3 , 3 4,1

20、, 1,1 ,则 _ 6,12,18,24 练33、已知 (3,5,7,9), 1,5,2,0 ,x满足2 3x 3 0 4 _ 1,0, 1 2 则x 1 0 1 1 11110 0 2 10,1,5,10 , 3 __ 0,1,2 __ 34、设向量 35、设向量 -7,5,12,18 3 (2,0, 1,3), (2,0, 1,3), (1,7,4, (1,7,4, 2), 0,1,0,1 , 3 _(5,4,2,1) 2), 0,1,0,1 , 若有 满足

21、 5 7 3 5 2x 0,则 x=_ 5,1,7, 8 — 2 2 练 36、当 k _ 8 时 (1,k,5)能由 1 (1, 3,2) , 2 (2, 1,1)线性表示 37、设有向量组 1 3,2,5 , 2 2,4,7 , 3 5,6, , 1,3,5 。 当—12 时，能由1, 2, 3线性表示。 练 38、设 1, 0, 1, 2 / , 0, 1, 0, 2，矩阵 A ，则 R(A) 1 39、 向量组1 1,1,1 , 2 0,2,5 , 3 1,3,6是线性 相关(填相关还是无关) 40

22、、 向量组1 1,1,0 , 2 0,2,0 , 3 0,0,1是线性无关(填相关还是无关) 41、 向量组1 (1,0,1) , 2 (2,2,0) , 3 (0,3,3)是线性 无关 (填相关还是 无关) 42、 向量组 1 (3,1,0,2) , 2 (1, 1,2, 1) , 3 (1,3, 4,4)是线性 —(填 43、向量组 1 (2,4,1,1,0), 相关还是无关） 2 (1, 2,0,1,1) , 3 (1,3,1,0,1)是线性 相关 （填相关还是无关） 44、向量组1 2,5 , 2 1,3是线性 无关 （填相关还是无关） 45、向量组1 1,

23、2 , 2 2,3 , 3 4,3 是线性 相关 （填相关还是无关） 46、向量组1 (1,1,3,1), 2 (4,1, 3,2), 3 (1,0, 1,2）是线性无关（填相关 还是无关) 47、 向量组 i (1,1,2,2,1), 2 (0,2,1,5, 1), 3 (2,0,3, 1,3), 4 (1,1,04 1)是 线性 (填相关还是无关) 48、 设向量组1 1 2 , 2 2 3 , 3 3 4, 4 4 1，则向量组 1 , 2 , 3, 4是线性 （填相关还是无关） 49、向量组1, 2, 3线性无关，则向量组1 1 2 , 2 3

24、 2 4 3是线性 无关 （填相关还是无关） 线性 无关 （填相关或无关） 1 2 2 练51、设三阶矩阵A 2 1 2 ，三维列向量 3 0 4 相关，则a 1 52、已知向量组 1 (a,1,1) 1 ， 2 (1,a,1)， 练 50、设向量 1 (3,1,4,0,0) , 2 (5,0,2,1,0) , 3 (7,0, 1,0,1)，则向量 1, 2, 3 a,1,1 /，已知A与线性 3 （1, 1,a）线性相关，则 a _0, 1 练53、设向量组1 a,0,c ， 2 b,c,0 ， 3 0

25、,a, b线性无关，则a,b,c必 满足关系 abc 0— 练 54、设行向量组 2,1,1,1 , 2,1,a,a , 3,2,1,a , 4,3,2,1 线性相关，且 a 1， 则a - 2 55、设 1 (2, 1,0,5) 2 ( 4, 2,3,0) 3 ( 1,0,1, k) 5 则k — 时1, 2, 3, 4线性相关 4 ( 1,0,2,1) 56、若向量组1 1, 1,2,4， 0,3,t,2 3,0,7,14 线性相关, 57、 若向量组i ,2,1 , 2 2, ,0 , 3 1, 1,1线性相关，则 _ 2,3 58、 已知向

26、量组1 (a,1,1) , 2 (1,a, 1) , 3 (1, 1,a)线性相关，则 a 1,2 59、 已知向量组 1 (1,12,1) , 2 (1,0,0, 2) , 3 ( 1, 4, 8,k)线性相关， 则k 2 60、向量组 (1,2, 1,4), (9,100,10,4), 2, 4,2, 8 的秩是 2 1 1 0 61、 求矩阵 A 2 0 4 的列向量组的秩是 2 2 3 2 1 1 2 2 1 62、 求矩阵 A 0 2 1 5 1 '的列向量

27、组的秩是 3 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1 25 31 仃 43 求矩阵 75 94 53 132 63、 A 132的列向量组的秩是 3 75 94 54 134 25 32 20 48 练 64、设向量组 1 (1,2,3,4)/, 2 (2,3,4,5)/, 3 (3,4,5,6)/, 4 (4,5,6,『, 且 R( 1, 2, 3, 4) 2，则 t _J_ 练 65、已知向量组 1 (1,2, 1,1) ,

28、 2 (2,0, k,0) , 3 (0, 4,5, 2)的秩为 2, 则k 3 练66、设三阶矩阵A , 1, 2 , B , 1, 2，且A 3, | B 5,则A B 32 67、设A为三阶矩阵，A AAA ,A(i 1,2,3)是A第i个列向量，且A 3 , 计算 2A,2A A2, A3 — 12 练68、向量组1, 2，…，r可由向量组1, 2，…，s线性表示，且向量组1, 2，…，r 线性无关，则r与s应满足关系式—r s 练69、设，为线性无关的n维向量，则V {x , R}的维数是2 练70、已知三维向量空间的一个基为 i 1,1,1 , 2 2, 1,

29、0 , 3 3,3,1 , 则向量 5,2,1 在该基下的坐标 _ 0,1,1 练71、已知四元齐次线性方程组 AX 0只有零解，则系数矩阵A的秩R A 4 72、线性方程组为 X2 X3 X4 X5 0的一个基础解系中含有的向量个数为 4 练73、设1, 2,…， s是非齐次线性方程组AX B的解，若k1 1 k2 2 ... ks s也 是AX B的解, 则 k1 k?... ks 1 x ky z 0 练74、若齐次线性方程组 2x y z 0只有零解，则k满足的条件是 k 3 ky 3z 0 5

30、1 2 1 X-i 1 练75、已知方程组 2 3 a 2 x2 3无解，则a 1 1 a 2 X3 0 a 1 1 X-i 1 练76、已知方程组 1 a 1 X2 1有无穷多解，则a 2 1 1 a X3 2 1 3 0 7 1 练77、若线性方程组AX B的增广矩阵经初等变换化为 0 0 13 5 0 0 0 a 1 1 则当a _J 时，方程组无解。 练 78、设向量 1, 1, 2， 1, 0, 3，贝U , _5 79、设 (1,0,3, 5), (4, 2,0,1），则内

31、积 ， = 9 80、设 2 , 3, 4 , 1 , 込2", 2 2 3， 则内积 ，=0 81、 (0,1,5, 2),( 2,0, 1,3），则内积 11 82、设 (2,1,0,3), (3, 6,8,4），贝U内积 J ' =0 练83、 向量 1, 1, 0, 1的长度| | — 3 练84、 设 0, 1, 1 1, 1, 0，则 与 的夹角为 3 85、向量 (122,3), (3,1,5,1)的夹角是 4 练86、三阶矩阵A的特征值为1, 1,3，则B A3 2A2的特征值为—1,

32、3,9_ 练87、三阶矩阵A的特征值为1, 0, 2,则B A2 3A的特征值为—2,0, 2 练88、设1 1, 2 2, 3 3是三阶矩阵A的三个特征值， 则A 2 3 已知矩阵A 2 x 1的特征值为2,2,3，则x 6 4 4 102、 设四阶方阵A的四个特征值分别为2、3、4、5,则行列式A = 120 1111 103、 设四阶方阵A的四个特征值分别为1，丄,丄,丄，则行列式A1 E 岛— 3 4 5 的特征值分别为 1,1,1 2 3 89、 可逆矩阵A有一个特征值为3,则(^ A2) 1必有一个特征值为 - 5 _9—— 90、 设A2 3A 2

33、E 0，则矩阵A的特征值只能为_1或2 设A2 5A 6E 0,则矩阵A的特征值只能为_2或3 92、 设A为n阶方阵, A 3,2A E不可逆，则A的一个特征值是 _ 6 93、 1 1 已知A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，则A的非零特征值为4 1 1 94、 设三阶矩阵 A的特征值为1, 1,2 , 3A 2E = 9 95、 设三阶矩阵 A的特征值为1,2, 3 , 3A 2E = 637 96、 设三阶矩阵 A的特征值为1, 2,3 , 则3A 162 97、 设三阶矩阵 A的特征值为1,

34、 2,3，则2A 99、 100、 设三阶矩阵 A的特征值为1, 2, 3,则 A3 4 —3 — 5A2 7A 18 正交矩阵的行列式的值是— A是三阶矩阵，已知A E A 2E A 3E 101 10 1 1 3、4 104、设四阶方阵A的四个特征值分别为2、3、4、5,则行列式A E 24 105、两个五阶矩阵A与B相似，且A的四个特征值分别为 则行列式B 1 E _120 106、已知三阶矩阵A的特征值1,2,3，求A 36 107、已知矩阵 A 22 31 与B 1 2 相似, 则x 17

35、 12 X 3 4 3 0 0 3 0 0 108、已知A 0 0 2 ，B 0 y 0 相似， 则x 1 __，y 2 0 1 X 0 0 1 1 1 2 109、矩阵A 1 2 3 对应的二 次型 为 2 3 1 (f(X1,X2,X3) xj 2xf xf 2x1X2 6X2X3 4X1X3) 1 1 2 练110、矩阵A 1 0 1对应的二次

36、型为 2 1 3 (f(X1, X2,X3) 2 X1 3x； 2x1x2 2x2X3 4x1X3) 111、二次型 f (X1,X2,X3,X4) X12 2x| xf 5x4^ 2x2X3 的秩为 4 练 112、二次型 f （X1,X2, X3） （X1 X2）2 （X2 X3）2 （X3 X1）2 的秩为 2 练113、二次型f （X1,X2） X1X2的正惯性指数p为_J ，符号差s为0 1 1 0 练114、若矩阵A 1 k 0是正定矩阵，则k满足条件 k 1 0 0 k2 1 1 0 练115、若矩阵A 1 k 0 是正定矩阵，则k满足条件 k 1 2 0 0 2k 1 0 1 练 117、设二次型的 f(X!,X2,X3)x； 2x| 3x3 2X|X3矩阵是_A 0 2 0 1 0 3