高考真题理科数学陕西卷解析版

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) 1,1(B) (1,1)(C) (D) 【答案】D【解析】的定义域为M=-1,1,故CRM=,选D2. 根据下列算法语句, 当输

2、入x为60时, 输入xIf x50 Theny=0.5 * xElse y=25+0.6*(x-50)End If输出y输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a, b为向量, 则“”是“a/b”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14【答案】B【

3、解析】由题设可知区间481，720长度为240，落在区间内的人数为12人。5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B) (C) (D) 【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，选A.6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若, 则(B) 若, 则(C) 若, 则(D) 若, 则 【答案】D【解析】设若，则，所以，故A项正确；若，则，所以

4、，故B项正确；若，则，所以，故C项正确；7. 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，所以，所以,所以，所以ABC是直角三角形。8. 设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为(A) 20(B) 20(C) 15(D) 15【答案】A【解析】，所以9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是(A) 15,20(B) 12,25(C) 10,30(D) 2

5、0,30【答案】C【解析】如图ADEABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy300，所以x(40-x)300即，解得10x3010. 设x表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有(A) x x(B) 2x 2x(C) xyxy(D) xyxy【答案】D【解析】取x=25,则-x=-2.5=-3,-x=-2.5=-2,所以A项错误；2x=5=22.5=4,所以B项错误；再取y=28，则x+y=5.3=5,x+y=2.5+2.8=2+2=4，所以C项错误.二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线的离心率为,

6、 则m等于 .【答案】9【解析】由a2=16，b2=m得c2=16+m，则e=，m=9【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程c2=a2+b2和离心率的求解公式e=12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .【答案】【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=.【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。13. 若点(x, y)位于曲线与y2所围成的封闭区域, 则2xy的最小值为 . 【答案】4【解析】作出曲线y=与y=2所表示的区域，令2xy=z，即y=2xz，作直线y=2x，在封

7、闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（1，2）时，z取到最小值，此时最小值为4.【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2xy的最小值转化为求y=2xz所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。14. 观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为 . 【答案】1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1（n）【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（1）n+1表示，

8、等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（1）n，所以第n个式子可为1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1（n）【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 . 【解析】由科尔不等式可得（am+bn）（bm+a

9、n）（）2mn（a+b）2=2B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD2DA2, 则PE . 【答案】【解析】已知BCE=PED=BAP PDEPEA 而PD=2DA=2 PA=3PE2=PAPD=6 故PE=C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .【答案】x=，y=， 0 【解析】x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=，y=，0 a2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0 ，所以0 22，所以所求圆

10、的参数方程为x=，y=， 0 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【解析】： （I）的最小正周期为（II），故当即时，当即时，【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。17. (本小题满分12分) 设是公比为q的等比数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 【解析】：（I）设等比数列an的公比为q，其前n项和 Sn=a1+ a1q+. a1qn-1将（1）式两边分别乘

11、以q得qSn=a1q+ a1q2+a1qn当q0时或当 q=1时， a1= a2=. an 所以Sn=na（II）q1 假设数列an+1为等比数列，那么即或q=1，均与题设矛盾，故数列吧可能为等比数列。18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 【解析】：如图建立空间直角坐标系由AB=AA1= 可知O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）A1（0,0,1）D1

12、（-1，-1,1）（I） A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1） 即所以A1c平面（）容易求得平面 的一个法向量 ，平面BB1D1D 的一个法向量为 所求夹角余弦值为 所求夹角的大小为6019. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. () 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

13、 () X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 【解析】（）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为。（）的所有可能取值为0，1，2，3.由（）知，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为1=，则观众丙选中3号歌手的概率也为1=，则（1）（1）=（1）+（1）（1）=（1）+（1）()=()=则的分布列如下：20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; ()

14、 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. 【解析】（）设动圆圆心的坐标为（），则（4）+（0）=，整理得。所以，所求动圆圆心的轨迹的方程为（）证明：设直线的方程为，联立得（其中）0），设，若轴是的角平分线，则0，即，故直线l的方程为，直线过定点（1，0）21. (本小题满分14分)已知函数. () 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; () 设x0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. () 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. 【解析】函数（）函数，设切点坐标为则，。（）令即，设有，所以（1）时，两曲线有2个交点；（2）时，两曲线有1个交点；（3）时，两曲线没有交点。（），令上式令，则恒成立而故