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1、自列紧集(列紧闭集)与连续映射1. 度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。证明：设X、Y是度量空间，A是X的自列紧子集。设f:AY是连续映射，象集B= f(X)cY0设yj是B的序列。对任意 正整数k,设y#的某个原象是 e Ac X ,这样得到X的序列%。因为X是自 列紧集，存在%的子列%收敛于XoGXo因为f:AY连续，所以序列 & = (&)收敛于f(Xo)eB0 & = “)是仪的子序列，故象集B 是自列紧集。所以自列紧集在连续映射下的象是自列紧集。2. 度量空间的自列紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。证明：设X是度量空间，A是X的自列紧子集。设f :AtR是连续映射
2、，象集为B二f(X|cR。那么B是自列紧集。由于实 数集中的自列紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值(若无，可构造出 收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾)。所以f ：A-R可以取到最大最 小值。3. Rn的非空子集有最值性质(任意到R的连续映射有最大最小值)当且仅当 它是自列紧集。证明：充分性：度量空间的自列紧子集具有最值性质已证。IT1是度量空间，所以R11的非空 自列紧子集有最值性质。必要性：假设A是Rn的非自列紧子集，则A是无界或不闭的(R*中自列紧集等价于 有界闭集)。(1) 若A无界，定义函数f(x) = |x|,该函数连续但是没有最大值。(2) 若A不闭，存A的序列收敛
3、于点XqEA。定义函数f(x) = |xXqH , 该函数没有最小值，因为它可以任意接近于0但是取不到0。综上，R11的非自列紧子集不具有最值性质。所以IT的非空子集有最值性质当且仅当它是自列紧集。紧集与连续映射1. 度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。证明：设X、Y是度量空间，A是X的紧子集。设f:A-Y是连续映射，象集为B= f(X)cY0设B的一个开覆盖为G。任意SgG是开集，所以对任意y eS,存在邻域 U(y,y)cSo对于任意xef-1(y)(f-1(y)是y的原象集)，因为f：A-Y是连 续映射，所以存在邻域u(x,x)使得f(U(x,5x)cA)uU(y,Wy)。对于每个y
4、wS 记 5= U U(x，4), 易 知 U,. 是 开 集，且 / 、f(uy)= f N U(x,Jx) = U f(U(x,5j)cU(y,)cS；对毎个 SgG,记 Rs = |JUy ,易知 Rs 是开集，且 f(Rs)= Jf(Uy)cS ；记 F=Rs|SeGoyeSyeS对于任意xgA, f(x)eB o而G是B的开覆盖，所以存在SgG使得f(x)6 So那么X eUfgCRs，所以F是A的一个开覆盖。因为A是紧集，F可 以选出有限覆盖RJk = l,2n,对应于G的有限子集为SJk = l,2n,其中 所以 b二 f( 4c (u =0 (f 舱U 沙所以 y 乂 k=l
5、/ k=lk=lSJk=l,2i是B的有限覆盖。所以B是紧集。2. 度量空间的紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。 证明：设X是度量空间，A是X的紧子集。设f :A-R是连续映射，象集B= f(X)cR.那么B是紧集。由于实数集 中的紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值(若无，可构造出收敛于确 界的序列，那么确界便为聚点，矛盾)。所以f:AR可以取到最大最小值。3. IT的非宇子集具有最侑件质当冃仅当它是紧的。 证明：紧子集具有最值性质已证。下面证明具有最值性质则一定是紧集。假设A是IT的非紧子集，则A是无界或不闭的(IT中自列紧集等价于有界 闭集)。(1) 若A无界，定义函数f(
6、x) = |x|,该函数连续但是没有最大值。(2) 若A不闭，存A的序列收敛于点XqGA。定义函数f(x) = |x-x0|, 该函数没有最小值，因为它可以任意接近于0但是取不到0。综上，IV的非自列紧子集不具有最值性质。所以R11的非空子集有最值性质 当且仅当它是紧集。连通集与连续映射1.度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。证明：充分性：设X是度量空间，A是X的连通子集。设f :AtR是连续映射，象集f(X|cRo(1) 若B只有一个点，则具有介值性。(2) 若 B 有一个以上的点，设 ya,yb e B, ya yb, a = f_1(ya),b= f_1(yb) 设实数 y。满足
7、 ya y0 Yb。定 义集合 R=x| f(x) y,xe 冯。显然，R、S 都不空。awRbwS。下面要证明：存在不相交的两个开集M、N,分别包含了 R、S且McN = 0。设 rwR,因为 r eR,所以 f(r)y0 设正数 =y0 - f (r) 0 因为 f: A-R 连 续，存在邻域U(r, 0 (否则，便不存在不包含S的点的邻域)，d(r,s)-4 d(r,s)-q 0。若 d(r,s)-crs dr/2 ,则 d(r,s)-5s dx(r,s)-crs dr/2dr/4 ；若 0 vd(r,s)-a vd/2 ,则 crs d(r,s)-dr/2 dr -dr/2 = dr/
8、2 , bj2 dr/4, d (r,s)-戈=d(r,s)-as + a J 2 a J 2 4/4。所以，对任意r g R , SG S都有d(r,s)-Q dr/4 o对任意r g R，设4=4/4。 那么d(r,s)_迓 4，即 d(r,s) $+q。设集合M = |JU(rr),N = |JU(s,)o显然M、N都是开集。且对于任意 reR%eSr 6 R , r eU (r,)cM，故 Rc M ；同理可得 Sc N。设 xwM ,那么存在 reR, 使得 xwU(rQ),即 d(x,r) d(r,s) 又 由 d(x,r)q+Q 得 d(s,x)nd(T,s)_d(r,x)q=戈
9、。所 以xN。同理可得，若x g N ,则XGM。所以McN = 0。因为集A是连通的，所以集合A(MuN)不空(若空则M、N分离集A)。 MuN oRuS = x| f (x)H yo，xw A,所以 A(M uN)= x| f( x)= y,xw 马。 所以集合A(M jN)不空意味着存在使得函数值为ya y0 的点。必要性：设X是度量空间，A是X的非连通子集。因为A是非连通集，存在两个不 相交的开集M、N分离A。构造映射f : AtR,定义为f(x) =Jo,xe M l,xeN因为定义域所有点含于两个开集M、N之一，毎个点都存在一个邻域含于M、N 之一，该邻域中的函数值也是单一的，所以该映射连续。但是该函数显然没有介 值性。所以集A不连通则没有介值性。所以度量空间的子集具有介值性当且仅当它是连通集。
度量空间中的自列紧集紧集连通集与连续映射
