第5章钢梁计算原理

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1、第五章 钢梁计算原理5.1 概述在钢结构中，承受横向荷载作用的实腹式构件称为梁类构件，即钢梁。钢梁 在土木工程中应用很广泛，例如 厂房 建筑中的工作平台梁、吊车梁、屋面檩条和墙 架横梁，以及桥梁、水工闸门、起重机、海上采油平台中的梁等。按制作方法可将钢梁分为型钢梁和组合梁两种。型钢梁制作简单，成本较低，应用较广。型钢梁通常采用热轧工字钢、槽钢、H型钢和T型钢（图5- 1 （a）以及冷弯薄壁型钢（图 5- I （c）。其中H 型钢的截面分布最合理，其翼缘内外边缘平行，方便与其他构件连接；槽钢的截 面扭转中心在腹板外侧，一般受力情况下容易发生扭转，在使用时应尽量避免。当荷载较大或跨度较大时，必须采

2、用组合梁（图 5 - 1 （ b） ）来提高截面的刚 度和承载力，其中箱形截面梁的抗扭强度较高。组合梁的截面可以根据具体受力情 况合理布置，达到节省钢材的目的。图5-1表示出了两个正交的形心主轴，其中绕 x轴的惯性矩、截面抵抗矩最 大，称为强轴，另一轴则为弱轴。对于工形、T形、箱形截面，平行于x轴（弯曲轴）的最外边板称为翼缘，垂直于x轴的板称为腹板。按支承条件又可将梁分为简支梁、连续梁和悬伸梁等。其中简支梁应用最 广，因其制造、安装、拆换都较方便，而且受温度变化和支座沉陷的影响很小。梁的设计必须同时满足承载能力极限状态和正常使用极限状态。钢梁的承载 能力极限状态包括强度、整体稳定和局部稳定三个

3、方面。设计时要求在荷载设计值 作用下，梁的抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力均不超过相应的强度 设计值；保证梁不会发生整体失稳；同时保证组成梁的板件不出现局部失稳。正常 使用极限状态主要指梁的刚度，设计时要求在荷载标准值作用下梁具有符合规范要 求的足够的抗弯刚度。X71y(a)yiIynyy(b)fflyFlpHy|图5- 1钢梁常用截面类型5.2 钢梁的强度和刚度5.2.1梁的强度梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求 在荷载设计值作用下，均不超过钢结构设计规范规定的相应的强度设计值。下 面分别进行叙述。一、抗弯强度如图5-2所示，梁在弯矩作用下，截面上正

4、应力的发展过程可分为三个阶 段，分述如下。图5-2梁的正应力分布(1) 弹性工作阶段当弯矩较小时，截面上应力分布呈三角形，中和轴为截面的形心轴，截面上 各点的正应力均小于屈服应力 fy。弯矩继续增加，直至最外边缘纤维应力达到屈 服应力fy时(图5-2 (b)，弹性状态的结束，相应的弹性极限弯矩 Me为MeMfy( 5- 1)式中 wn 梁的净截面弹性抵抗矩。(2) 弹塑性工作阶段弯矩继续增加，在梁截面上、下边缘各出现一个高度为a的塑性区，其应力二达到屈服应力 fy。而截面的中间部分区域仍处于弹性工作状态(图5 2(c)，此时梁处于弹塑性工作阶段。(3) 塑性工作阶段随着弯矩再继续增加，梁截面的

5、塑性区不断向内发展，直至全部达到屈服应 力fy (图5 2 ( d)，此时梁的抗弯承载能力达到极限，截面所负担弯矩不再增 加，而变形却可继续增大，形成“塑性铰”，相应的塑性极限弯矩Mp为Mp 怜 S2n)fy 叫 fy( 5- 2)式中 ，S2n 分别为中和轴以上及以下净截面对中和轴的面积矩；WPn 梁的净截面塑性抵抗矩， WPn = Sn +気。塑性抵抗矩与弹性抵抗矩的比值称为截面形状系数。它的大小仅与截面的几何形状有关，而与材料及外荷载无关。实际上表示出截面在进入弹塑性阶段之后 的后续承载力。越大，表示截面的弹塑性后续承载能力越大。WpnW)n fy MpW 5fy(5 3)对于矩形截面

6、=1. 5,圆截面 =1. 7,圆管截面 =1.27,工字形截面：1. 17。说明在边缘纤维屈服后，矩形截面内部塑性变形发展还能使弯矩承载能力增大50%，而工字形截面的弯矩承载能力增大则较小。虽然考虑截面塑性发展似乎更经济，但若按截面塑性极限弯矩进行设计，可能使梁产生过大的挠度，受压翼缘过早失去局部稳定。因此，钢结构设计规范只是有限制地利用塑性，取截面塑性发展深度a0.125h，并通过截面塑性发展系数 来体现，且1.0 一 ：: Wpn.，按附表取值。因此，梁的抗弯强度计算公式为:单向弯曲时双向弯曲时式中 Mx，xWnx(5 4)匚亠fxWxyWny(5 5)My绕x轴和y轴的弯矩;gy 梁对

7、x轴和y轴的净截面抵抗矩;y 截面塑性发展系数，当梁受压翼缘的自由外伸宽度与其厚度之比不大于132；5时，按附表取值，否则x二y0 ；钢材的抗弯强度设计值，按 附表采用。对于直接承受动力荷载梁及需要计算疲劳的梁，须按弹性工作阶段进行计 算，宜取x二y =1.0 o、抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。对于外加剪力垂直于强轴的实腹梁来说，如工字形和槽形截面梁，翼缘处分担的剪力很小，可忽略不计，截面上的剪力主要由腹板承担。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布分别如图53（ a）、（ b）所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。其承载能力极 限状态以截面上的最大剪应力达到钢材的抗

8、剪屈服强度为准，而抗剪强度计算式为二一 fv（5 6）It w式中 V 计算截面处沿腹板平面作用的剪力设计值；S计算剪应力（此处即为中和轴）以上毛截面对中和轴的面积矩；I毛截面惯性矩；tw 腹板厚度；钢材的抗剪强度设计值，按附表采用fvrlr图53腹板剪应力由于型钢腹板较厚，一般均能满足上式要求。三、局部承压强度当梁的翼缘受到沿腹板平面作用的集中荷载（例如此梁传来的集中力、支座反力和吊车轮压等）作用且该处又未设置支承加劲肋时（图5 4 （ a）、（b），应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。图5-4局部压应力在集中荷载作用下，腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4 （c）的曲线所示。计算时假定

9、集中荷载从作用点处以 边缘。梁的局部承压强度可按下式计算45角扩散，并均匀分布于腹板的计算高度8#(5- 7)-1.35 ;对其他荷屮F二C 二-ftw lz式中 F集中荷载（对动力荷载应考虑动力系数）；集中荷载增大系数（对重级工作制吊车轮压,载，=1.0 ）；lz 集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度（跨中la 5hy 2hR，梁端 lz =a 2.5hy q ）;a集中荷载沿梁跨度方向的支承长度（对吊车梁可取为50mm ）；hy 自梁承载的边缘到腹板计算高度边缘的距离；hR 轨道的高度（无轨道时 传=0 ）；內一一梁端到支座板外边缘的距离（按实际取值，但不得大于2.5hy）。腹板的计算

10、高度ho按下列规定采用：轧制型钢梁，为腹板在与上、下翼缘 相接处两内弧起点间的距离；焊接组合梁，为腹板高度。当计算不满足式（5-7）时，在固定集中荷载处（包括支座处）应设置支承加 劲肋予以加强，并对支承加劲肋进行计算。对移动集中荷载，则应加大腹板厚度。四、折算应力当组合梁的腹板计算高度边缘处，同时承受较大的正应力c、剪应力和局部压应力Cc时，或同时承受较大的正应力 二和剪应力时，应按下式验算该处的 折算应力.二2-c 32 ：IS f（ 5- 8）式中二，二c 腹板计算高度边缘同一点上的弯曲正应力、剪应力和局部压应力，按式（5-6）计算，匚c按式（5-7）计算，二 按下式计算-My（5- 9）

11、1 nxInx 梁净截面惯性矩；y计算点至梁中和轴的距离；二，二c均以拉应力为正值，压应力为负值；1 折算应力的强度设计值增大系数（当 匚和二c异号时，取打=1.2 ;当 匚和匚c同号或二c时，取=1.1 ）。实际工程中几种应力皆以较大值在同一处出现的概率很小，故将强度设计值 乘以予以提高。当匚和匚c异号时，其塑性变形能力比匚和匚c同号时大，因此 值取更大些。522梁的刚度梁刚度的验算相应于正常使用极限状态。当梁的刚度不足时，会产生较大的 挠度，将影响结构的正常使用。例如若平台梁的挠度过大，一方面会使人们感到不 舒服和不安全，另一方面会影响操作；若吊车梁挠度过大，会使吊车运行困难，甚 至不能运

12、行。因此，应使用下式来保证梁的刚度不至于过小：VV（5- 10）式中v荷载标准值作用下梁的最大挠度；V梁的容许挠度值，钢结构设计规范根据实践经验规定的容许挠度值见附表挠度计算时，除了要控制受弯构件在全部荷载标准值下的最大挠度外，对承受较大可变荷载的受弯构件，尚应保证其在可变荷载标准值作用下的最大挠度不超过相应的容许挠度值，以保证构件在正常使用时的工作性能。5.3 钢梁的整体稳定5.3.1 一般概念如图5-5所示的工字形截面梁，承受弯曲平面内的横向荷载作用，若其截面 形式为高而窄，则当荷载增大一定程度时，梁除了仍有弯矩作用平面内的弯曲以 外，会突然发生侧向弯曲和扭转，并丧失继续承载的能力，这种现

13、象就称为梁的整 体失稳。此时梁的抗弯承载能力尚未充分发挥。梁维持其稳定平衡状态所承受的最 大弯矩，称为临界弯矩。图5-5梁的整体失稳横向荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。荷载作用在上翼缘时，如图5-6 (a)所示，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载F将产生绕剪力中心的附加扭矩Fe ,它将对梁侧向弯曲和扭转起促进作用，使梁加速丧失整体稳 定。但当荷载F作用在梁的下翼缘时(图5- 6 ( b)，它将产生反方向的附加扭 矩Fe，有利于阻止梁的侧向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。因此，后者的临界 荷载(或临界弯矩)将高于前者。(a)(b)图5 6荷载位置对整体稳定的影响532梁的扭转梁整体失稳

14、形态为双向弯曲加扭转，为此有必要简略介绍有关扭转的若干概 念。根据支承条件和荷载形式的不同，扭转分为自由扭转和约束扭转两种形式。 一、自由扭转非圆截面构件扭转时，原来为平面的横截面不再保持为平面，产生翘曲变 形，即构件在扭矩作用下，截面上各点沿杆轴方向产生位移。如果扭转时轴向位移 不受任何约束，截面可自由翘曲变形（图5 7），称为自由扭转。自由扭转时，各截面的翘曲均相同，纵向纤维保持直线且长度保持不变，截面上无正应力，只有 剪应力。沿杆件全长扭矩相等，单位长度扭转角 dldz相等，并在各截面上产生相 同的扭转剪应力。11#(5 11)dMt =Gltdz式中 Mt 截面的自由扭转扭矩；G 材料

15、的剪变模量；:截面的扭转角；It 截面的抗扭惯性矩(扭转常数)。最大剪应力为max-(511式中t狭长矩形截面的宽度。钢结构构件通常采用工字形、槽形、T形等截面，它们可以视为几个狭长矩形 单元组成，此时整个截面的扭转常数可近似取各矩形单元扭转常数之和，即n n 3Itti bi(5 13)i占式中 bi, ti狭长矩形单元的长度和宽度；考虑各板件相互连接联系的提高系数，对工字形截面可取=1.25。二、约束扭转由于支承条件或外力作用方式使构件扭转时截面的翘曲受到约束，称为约束 扭转(图5 8)。此时相当于对梁的纵向纤维施加了拉伸或压缩作用。因此在截 面上不仅产生剪应力，同时还产生正应力。如图5

16、8 (a)所示的双轴对称工字形截面悬臂构件，在自由端处作用的外扭矩 Mt使上、下翼缘向不同方向弯曲。自由 端截面的翘曲变形最大，越靠近固定端截面的翘曲变形越小，在固定端处，翘曲变 形完全受到约束，由此可知中间各截面受到约束的程度不同。截面上的剪应力可以分为两部分：一部分为因扭转而产生的自由扭转剪应力t ;另一部分为因翼缘弯曲变形而产生的弯曲扭转剪应力=。这两部分剪应力的叠加即为截面上真实的剪应力分布。由力的平衡条件可知，由自由扭转剪应力t形成的截面自由扭转力矩 Mt (图5 8 ( b)与由弯曲扭转剪应力 3形成的截面弯 曲扭转力矩M w (图5 8 (c)之和应与外扭矩Mt相平衡，即Mt =

17、Mt M 3(5 14)其中M 3 二Vih(5 15)(a)(c)图5-8工字形截面悬臂梁的约束扭转V1为弯曲扭转剪力，其计算方法如下：在距固定端处为z的截面上产生扭转角:，上翼缘在x方向的位移各为(516)其曲率为(517)d2u h d2 :dz2 一 2 dz2由曲率与弯矩的关系，有Mi-eIi-eJdz2 dz(5- 18)式中 Mi上翼缘的侧向弯矩;Ii上翼缘对y轴的惯性矩。由弯矩与剪力的关系，有Vi尊dzhd22 dz3M JVih Eli占器一El 缶2 dzdz(5 19)(5 20)式中I 3 截面的翘曲扭转常数，随截面形式不同而不同，对双轴对称工字形将式（5- 11）和式

18、（5- 20）代入式（5- 14），有dz 一 3 dz3(5 21)14这就是开口薄壁杆件约束扭转微分方程。5.3.3梁整体稳定的基本理论一、梁整体稳定的临界弯矩 Mcr图5-9为两端简支的双轴对称工字形截面纯弯曲梁。此处所指的“简支”符合夹支条件，即支座处截面可自由翘曲，能绕X轴和y轴转动，但不能绕z轴转动，也不能侧向移动。在刚度较大的yz平面内，梁两端各承受弯矩 M的作用。当弯矩较小时，梁仅发生竖向弯曲。当弯矩达到某一临界值时，梁发生弯矩失稳，产 生侧向xz平面内的弯曲，并伴随截面扭转，此时对应的弯矩即为使梁产生整体失 稳的临界弯矩Mcr。下面叙述梁整体稳定的临界弯矩 Mcr的计算方法。

19、图5-9纯弯曲下的双轴对称工字形截面梁图5- 10所示为双轴对称工字形截面简支梁在纯弯曲下发生整体失稳时的变形情况。以截面的形心为坐标原点，固定的坐标系为Oxyz ;固定在截面上，随截面位移而移动的坐标系为o 。在分析中假定截面形状始终保持不变，因而截面 特性J =丨三和Iy=I “。截面形心O在x、y轴方向的位移为u、v,截面扭转角为。在图510 (b)、( c)中，弯矩用双箭头向量表示，其方向按向量的右手规 则确定，这样可以利用向量的分解方法求出弯矩的分量。图5 10梁整体失稳时变形在离梁左支座为z的截面上作用有弯矩Mx，梁发生侧扭变形后，在图 5 10(b)上把Mx分解成Mxcosr和M

20、xSinr，在图5 10 (c)中又把MxCOS分解成M，和 M n。因- dU和截面转角都属微小量，可取dzsi n v, cost :1, si n 爲：:爲, cos1又由于梁承受纯弯曲，故 Mx二M二常量。于是得：M 广 M x cost cos : ： MM n = M xCOS sin： MM 广 MxsinM)- M duLdz由上式可知原来的梁端弯矩 M被分解为M广M ”和M z其中M三表示截面发生位 移后绕强轴的弯矩，M n表示截面发生位移后绕弱轴的弯矩，M z表示约束扭转扭矩。由于位移很小，可近似认为dz段截面在和两平面内的曲率为d2u：dz2和 d2v dz2。根据弯矩与

21、曲率的关系以及式(5 21)分别对M三、M “和M匸建立三个 平衡微分方程式：M 三-Elx 雪=MdzM Ely 卑”:dzM -El 3 - 3 Glt- M d3 dz3t dz dz相应的边界条件为:当z =0或z =1时,和u =v =0d2 ;dz2=0(5 22)(5 23)(5 24)(5 25)(5 26)边界条件（5 25）式表示梁端无位移、无扭转,5 - 26 ）式表示梁端截面5 23）式是侧向弯矩可以自由翘曲。（5 22）式是对轴的弯矩平衡方程式，只包含一个未知量v，可利用材料力学的知识单独求解，与梁的整体失稳无关。（的平衡方程式和（5 - 24）式扭矩的平衡方程式，两

22、式中各包含两个未知量u和，它们均与梁的整体失稳有关，须联立求解。可以看出特解u = 0、 =0能够同时满足微分方程组和相应的边界条件，然而它对应的情况是梁未产生弯扭失稳。现在的问题是要求解弯矩 M为多大的情况下 会使梁整体失稳，即对应 u和有非零解，而这个待定的 M就是梁失稳时的临界 弯矩。将式（5 24）微分一次，其中d2u dz2以式（5 23）代入，这样可消去变量u，由此得到一个关于的常系数四阶齐次常微分方程:EI 3I壬-0 dz4dz2Ely(5 27)17#由上述边界条件可假定:(5 28)= csi nl将式（5 28）代入式（5 27），有EI4Git i.l EI2 M- e

23、sinnz=oy 1(5 29)要使上式对任何z值都能成立，并且cm 0,必须是EI 3(5 30)由此解得最小临界弯矩为（n=1）I 3IyJ 2 (5 31)二 2Ely j|2 即绕i+_GkL兀2El 此即纯弯曲时双轴对称工字形截面简支梁的临界弯矩。式中根号前的y轴屈曲的轴心受压构件欧拉公式。由（531）式可见纯弯曲下双轴对称工字形 简支梁临界弯矩大小与三种刚度（即侧向抗弯刚度EIy、抗扭刚度GIt和翘曲刚度EI 3）以及梁的侧向无支跨度I有关。图5 11单轴对称截面19#对一般荷载（包括端弯矩和横向荷载）的单轴对称截面（截面仅对称于y轴，见图5 11），简支梁的弯矩屈曲临界弯矩一般表

24、达式为M er - C1I2Ely(5 32)12IxAy(x2 y2)dA-y。(5 33)式中 、一一反映单轴对称截面几何特性的函数，当为双轴对称时，；yo剪切中心的纵坐标，% J? -1 ；正值时，剪切中心在形心之1 y下，负值时，在形心之上；a荷载作用点与剪切中心之间的距离，当荷载作用点在剪切中心以下时，取正值，反之取负值；ii,i2 分别为受压翼缘和受拉翼缘对y轴的惯性矩，Il =tib【12, 12 “2b；.12 ；hi, h? 分别为受压翼缘和受拉翼缘形心至整个截面形心的距离；Ci，C2，C3 与荷载类型有关的系数，见表 51。上述的所有纵坐标均以截面的形心为原点，y轴指向下方

25、时为正向。由式（5 32）可见梁整体稳定的临界弯矩 Mcr还与荷载的类型及荷载作用点 在梁截面上的位置有关。表5 1 G、C2和C3系数荷载情况系数6C2C3跨度中点集中荷载1.350.550.40满跨均布荷载1.130.460.53纯弯曲1.0001.00、梁的整体稳定系数-b由式（5 31）可得双轴对称工字形截面简支梁的临界应力crWx(5 34)20#式中 WX 梁对x轴的毛截面抵抗矩梁的整体稳定应满足下式M X . .：cr2 R(5 35)式中：b 梁的整体稳定系数，丨二心fy，也就是说梁的整体稳定系数 为整体失稳临界应力与钢材屈服应力的比值。为了简化计算，钢结构设计规范取It式中

26、A梁的毛截面面积;t1 受压翼缘厚度。代人数值 E =206 103N/mm2，E. G = 2.6，令 ly =Ai：，h. iy 二 y，并取 Q235钢的fy =235N/mm2，得到Q235钢双轴对称工字形截面简支梁稳定系数的近似值a x 、22y(5 36)t14.4h 丿对于常见的截面尺寸及各种荷载条件下，通过大量电算及试验结果统计分 析，现行规范规定了梁整体稳定系数;:b的计算式:（1）等截面焊接工字形（轧制 H型钢）（附图）简支梁整体稳定系数%按下式计算:4.4h235(5 37)式中、一一梁整体稳定的等效弯矩系数系数，按附表采用，它主要考虑各种荷载种类和作用位置所对应的稳定系

27、数与纯弯条件下稳定系数的差异;梁在侧向支承点间对截面弱轴 y轴的长细比，iy为梁毛截面对y轴的截面回转半径;b截面不对称影响系数：对双轴对称工字形截面（轧制H型钢）（附图）b=0 ；对单轴对称工字形截面（附图），加强受压翼缘 b =0.8(2 b -1)，加强受拉翼缘b=2u-1，其中:b 匕,Ii ,li I212分别为受压翼缘和受拉翼缘对y轴的惯性矩。上述的计算是建立在梁弹性稳定理论的基础上的，其前提条件是梁在整体 失稳前，材料一直处于弹性工作阶段。如果按式(5- 37)计算的梁失稳临界应力6r大于钢材的比例极限fp，也就是说在达到弹性理论计算的Ccr之前材料已进入弹 塑性工作阶段，对于这

28、种情况的梁，其实际的失稳临界应力值要低于按弹性理论计 算出的临界应力值。另外，考虑到梁的初弯曲、荷载偏心及残余应力等缺陷的影 响，规范规定：按式(5-37)算得的-：b值大于0.6时，应以代替;：b进行减小式 修正，的计算式为0 282:bT07.1.0(5-38)b(2) 轧制普通工字钢简支梁，其值直接由附表查得，若其值大于0.6时， 须用;：b代替;：b，按式(5 38)计算。轧制槽钢简支梁、双轴对称工字形等截面 (含H型钢)悬臂梁的：b值均可按附录计算。5.3.4梁整体稳定的计算梁整体失稳主要是由梁受压翼缘的侧向弯曲引起的，因此如果采取必要的措 施阻止梁受压翼缘发生侧向变形，就可以在构造

29、上保证梁的整体稳定；另外，如果 梁的整体稳定临界弯矩高于或接近于梁的屈服弯矩时，验算梁的抗弯强度后也就不 需再验算梁的整体稳定。故现行钢结构设计规范有如下规定：(1)符合下列情况之一时，可不计算梁的整体稳定性。 有刚性铺板密铺在梁的受压翼缘上并与其牢固相连，能阻止梁受压翼缘的 侧向位移时。 H型钢或工字形截面简支梁受压翼缘的自由长度li与其宽度bi之比不超过表5 2所规定的数值时。 箱形截面梁，其截面尺寸(图5 12 )满足hb乞6 ,且I仁昭95(23勺。)23#图5 12箱形截面表5 2 H型钢或工字形截面简支梁不需计算整体稳定性的最大h/b值钢号跨中无侧向支承点的梁跨中受压翼缘有侧向支承

30、点 的梁，不论荷载作用于何处荷载作用在上翼缘荷载作用在下翼缘Q23513.020.016.0Q34510.516.513.0Q39010.015.512.5Q4209.515.012.0(2)当不满足上述条件时，钢结构设计规范规定的梁的整体稳定计算公式为bW(5 39)式中 M x绕强轴作用的最大弯矩;wx 按受压纤维确定的梁毛截面抵抗矩；b梁的整体稳定系数。(3) 在两个主平面受弯的 H型钢或工字形截面构件，其整体稳定性应按下式 计算：bWxyWy(5 40)式中 WX、wy 按受压纤维确定的对x轴和对y轴毛截面抵抗矩;b 绕强轴弯曲所确定的梁整体稳定系数。式(5 40)是一个经验公式，式中

31、y为相对y轴的截面塑性发展系数，它并不表示绕y轴弯曲容许出现塑性，而是用来适当降低第二项的影响。要提高梁的整体稳定性，可加大梁的截面尺寸或在梁受压翼缘平面设置侧向支 撑，前一种办法中以增大受压翼缘的宽度最有效。在对侧向支撑进行验算时，需将 梁的受压翼缘视为轴心压杆来计算。【例题5 1】某简支梁，焊接工字形截面，跨度中点及两端都设有侧向支 承，可变荷载标准值及梁截面尺寸如图 5 13所示，荷载作用于梁的上翼缘。设梁 的自重为1.57kN/m，材料为Q235B试计算此梁的整体稳定性。【解】梁受压翼缘自由长度l6m , I仁b = 6000； 270 = 22 16，因此应计算梁的整 体稳定。梁截面

32、几何特征：lx =4050 106mm4, ly =32.8 106mm4A=13800mm2, WX =570 104mm3梁的最大弯矩设计值为1 2 1Mmax (1.2 1.57) 1221.4 90 3 1.4 130 6 = 958(kN m)8 2(式中1.2和1.4分别为永久荷载和可变荷载的分项系数)钢梁整体稳定系数计算式为%:4320 Ahb打 -270*10丿J 4006270 珀 o图5 - 13例题5 - 1图由附表知，应为该表中项次5均布荷载作用在上翼缘一栏的值。1.15Iy 32.8 1061380。F.75(mm)26#6000 二h = 1420mm, t10mm

33、48.752b -1.152 0.6b =0, fy =235N/mm代入：b公式有由式（5-38）修正，可得b h.07 - 082 =0.825因此Mx958 106bWX0.825 570 104= 203.7(N/mm2) ： 215N/mm2#故梁的整体稳定可以保证。【例题5 - 2】某简支钢梁，跨度6m，跨中无侧向支承点，集中荷载作用于#梁的上翼缘，截面如图5- 14所示，钢材为Q345求此梁的整体稳定系数。【解】截面几何特征:h =103cm,h! =41.3cm,h2 = 61.7cmlx = 281700cm4, ly = 8842cm4I1 =7909cm4, 12 = 9

34、33cm4, A = 170.4cm.600 =83.3,1 =1.6cm,11= 7909 “.894 . 0.8l1 l28842= 0.239:0.5.l1t1600 1.6h 一 39 1032728#-200*14图5 - 14例题5 -2图由附表2 1项次3以及注，有0.696 =0.9 (0.73 0.18 ) =0.9 (0.73 0.18 0.239)#iy8842 2(cm)170.4#fy =345N/mm#Wxlx _ 281700h141.3= 6821(cm3)#b =0.8(2 b -1 0.8(2 0.894-1) = 0.631代入式(5- 37)中，得1.2

35、71 0.6b =0.696汉 A32*170103 汇1十83.7.2*1.6+0.631，23583.3 682114.4 汉 103 丿J345由式(5-38)修正，得0 282一.7 一 ” 诃85.4 钢梁的局部稳定和腹板加劲肋设计在进行梁截面设计时，从节省材料的角度，希望选用较薄的截面，这样在总 截面面积不变的条件下可以加大梁高和梁宽，提高梁的承载力、刚度及整体稳定 性。但是如果梁的翼缘和腹板厚度过薄，则在荷载作用下板件可能产生波形凸曲（图5- 15），导致梁发生局部失稳，降低梁的承载能力29#图5- 15梁的局部失稳形式（a）翼缘；（b）腹板轧制型钢梁的规格和尺寸都已考虑了局部稳

36、定的要求，因此其翼缘和腹板的局部稳定问题不需进行验算。需要注意的是组合梁的局部稳定问题。梁的局部稳定问题，其实质是组成梁的矩形薄板在各种应力如；、；c的作用下的屈曲问5.4.1矩形薄板的屈曲板在各种应力作用下保持稳定所能承受的最大应力称为板的临界应力二cr。根 据弹性稳定理论，矩形薄板在各种应力单独作用下失稳的临界应力可由下式计算#30:-cr （或cr） = k12（1-、2） b（5-41）#式中钢材的泊松比;k 板的压曲系数。(1) 板件两端受纵向均匀压力(图 5- 16 (a)(d)31#(5 42)三边简支、一边自由板k =0.425(5 43)图516各种应力单独作用下的矩形板(a

37、)受纵向均匀应力作用；(b)受剪应力作用；(c)受弯曲正应力作用；(d)上边缘受横向局部压应力作用四边简支板#(2) 受剪应力作用的四边简支板(图 5 16 (b)-4.05.34(a b)2(544a)k =5.344.0(a b)2(5 44b)#受弯曲正应力作用时(图5 16 (c)#四边简支板k =23.9(545a)#(5 45b)两边受荷简支、另两边固定板k =39.6（4）上边缘受横向局部压应力作用时（图 5- 16 （d）当 0.a 1.5 时 bk = 4.5-7.4 -a a(5 46a)a当1.52.0时b(b、 bk 111-0.9 Ia丿a(5 46b)由式（5 41

38、）可见，矩形薄板的ccr除与其所受应力、支承情况和板的长宽 比（a b ）有关外，还与板的宽厚比（b t）的平方成反比。试验证明，减小板宽 可有效地提高r。另外，二cr与钢材强度无关，这就意味着采用高强度钢材并不能 提高板的局部稳定性能。5.4.2受压翼缘的局部稳定工字形截面梁的受压翼缘板主要承受均布压应力作用。为了充分利用材料， 采用令板件的局部屈曲临界应力等于材料的屈服强度的方法，来确定翼缘板的最小 宽厚比，以保证板件在强度破坏前不致发生局部失稳。考虑翼缘板在弹塑性阶段屈 曲，板沿受力方向的弹性模量降低为切线弹性模量Et二E，而在垂直受力方向仍为E，其性质属于正交异性板。其临界应力可用下式

39、计算:(5 47)受压翼缘板的外伸部分为三边简支、一边自由的矩形板，其屈曲系数k =0.425;由于支承翼缘板的腹板一般较薄，对翼缘的约束作用很小，因此取弹性嵌固系数工=1.0。取 二 EE=0.4， E = 2.06 105N/mm2，v =0.3，由二 cr _ fy即可得到梁受压翼缘自由外伸宽度 b与其厚度t之比（图5 17 （a）应满足下式:(5 48a)当梁在弯矩Mx作用下的强度按弹性计算时，即取x =1.0时限值可放宽为(5 48b)h!(a)一廿1Z1J (b)图5 17工字形截面和箱形截面箱形截面梁在两腹板间的受压翼缘（宽度为bo，厚度为t）可按四边简支的纵向均匀受压板计算，屈

40、曲系数k=4.0，且偏安全地取=1.0，=0.25。同样，由式（5 47），可得其宽厚比限值为（图5 17（b）譽 40 样（5 49）当受压翼缘板设置纵向加劲肋时，b0取腹板与纵向加劲肋之间的翼缘板无支承宽度。由上可知，选择梁翼缘板尺寸时要综合考虑强度、整体稳定和局部稳定的 要求。5.4.3腹板的局部稳定梁腹板是四边简支的或考虑有弹性嵌固的矩形板，其受力状况较复杂，以受 剪力为主，同时还承受弯曲正应力及横向压应力，因而梁腹板的局部失稳形态是多 种多样的。在多向应力状态下，临界应力计算较复杂。为了更好地了解和分析腹板 局部失稳的本质，有必要先对四边支承的矩形板分别在剪应力、弯曲正应力和局部 压

41、应力单独作用下的失稳问题进行分析。一、腹板的受力特征1、剪应力作用下矩形板的屈曲图5-18为四边简支的矩形板，四边作用均匀分布的剪应力，由于其主压应力方向为45，因而板屈曲时产生大致沿 45方向倾斜的鼓曲。在剪应力作用下， 板没有受荷边与非受荷边的区别，只有长边与短边的不同，临界剪应力为41n2Et kw2(lmax丨 min )212(1v).ll min 丿5.34(5-50)34#式中 tw 板厚;Imax、Imin分别为板的长边和短边#图5-18板的纯剪屈曲考虑翼缘对腹板的嵌固作用，二=1.25，E= 2.06 105N/mm2，=0.3，贝U当a g时，有y=233 1 03 4 5

42、.34(ho,a)2 (tw,h。)2(5-51)当a hb时，有v=233 1 03 5.34 4(h. a)2 &飞)2(5-52)式中a腹板横向加劲肋的间距；h腹板计算高度。以s二二为参数，称为腹板受剪计算时的通用高厚比，其中fvy为剪切屈服强度，其值为fy, .3，-cr为式(5- 51)、( 5- 52)所表达的临界剪应力。y得到当 a h0 1.0 时41 ：4 5.34(h0 a)2235(5-53a)35当a h0 1.0时当I乞0.8时当 0.8 ： s 胡.2 时cr =1 _0.59( s _ 0.8)2 fv当 S 1.2 时-cr =1.1 f S2式中fv钢材的抗剪

43、强度设计值。(5-53b)(5-54a)(5-54b)(5-54c)当某一腹板区格所受剪应力. .cr时，梁腹板就不会发生剪切局部失稳。防止腹板剪切失稳的有效方法是设置横向加劲肋，因为减少ah可以增大剪切临界应力。横向加劲肋的最小间距为 0.5hc，最大间距为2h。（对无局部压应力的梁，当h：tw 100时，可采用 2.5h。）。2、弯曲正应力作用下矩形板的屈曲图5- 19为四边简支矩形板在弯曲正应力作用下的屈曲形态。屈曲时在板高度方向为一个半波，沿板长度方向一般为多个半波。板的弯曲临界应力为3 k兀2Et1| L W212(1v2)lh 丿(5-55a)式中k屈曲系数，与板的支承条件、长短边

44、长比值以及纵向半波数有关，对于不同的半波数，k值的曲线见图5 20所示。图5- 19板的纯弯屈曲36图5-20板的纯弯曲屈系数对于四边简支板，理论分析得到的kmin =23.9，对于加荷边为简支，上下两边为固定的四边支承板，kmin =39.6。对于梁腹板而言，翼缘对腹板有弹性嵌固作用，试验研究表明，当梁受压翼缘扭转受到约束时，弹性嵌固系数=1.66 ；无约 束时 =1.23。对于受纯弯曲应力的矩形板，k取24.0。因此可得,%厂7.4 106佻.讥）2 （梁受压翼缘扭转受完全约束时）（5-55b）6=5.5 106化.讥）2 （梁受压翼缘扭转无约束时）（5-55c）以b =fy.%r为参数，

45、称为腹板受弯计算时的通用高厚比，得到,当钢梁受压翼缘扭转受完全约束时,2% twfy177 235其他情况时当b乞0.85时当 0.85 ：、空1.25时当、1.25时嘉二1-0.75(、-0.85)f(5-56a)(5-56b)(5-57a)(5-57b)(5-57c)37#式中 f 钢材的抗弯强度设计值。#ho来增大防止腹板弯曲失稳的有效方法是设置纵向加劲肋，通过减小板件的6。由于腹板屈曲的范围处于受压区，因此纵向加劲肋要布置在受压区一侧3、横向压应力作用下矩形板的屈曲38#图5-21板在横向压应力作用下的屈曲当梁上翼缘作用有较大的集中荷载而且无法设置支承加劲肋时（例如吊车轮压），腹板边缘

46、将承受局部压应力 作用，并可能产生横向屈曲。图 5- 21为局部横向荷载作用下腹板的屈曲屈曲时腹板在横向和纵向都只出现一个半波。其临界#(5 58)应力为18610k h0式中，当0.5乞乞1.5时k =10.9 13.4(1.83-a, %)3(5 59a)当15： a.：%乞2时k；： =18.9-5a； h0(5 59b)#以cfy %,cr为参数，称为腹板受局部压力计算时的通用高厚比，得到:当5十1.5时ho匕28 .10.9 13.4(1.83-a h0)3当1.5 ：旦乞2时 ho当I乞0.9时当 0.9 ： c 辽 1.2时当c 1.2时ho.tw28.18.9 - 5a h0，

47、235Cc,crr 珂10.79( c-0.9)f匚 c,cr = 1.1 C(5 60a)(5 60b)(5 61a)(5 61b)(5 61c)#防止腹板在局部横向压应力作用下的失稳的有效措施是在板件上翼缘附近设 置短加劲肋。二、腹板局部稳定计算钢梁腹板在多种应力(C,.c )共同作用下，其受力情况比在单种应力作用 下更为复杂，板件的局部稳定性更差。设计时，先根据构造要求布置加劲肋，再验 算各区格腹板的平均作用应力是否小于其相应的临界应力，若不满足，重新调整各 类加劲肋间距，重新验算，直至满足局部稳定条件。1、仅布置横向加劲肋的梁腹板腹板梁翼缘和两个横向加劲肋之间形成的区格，同时承受弯曲正

48、应力二、剪应力.和局部横向压应力 的共同作用，如图5-22 (a)所示。(a)图5-22多种应力作用下的腹板此时区格板件的局部稳定按下列公式计算：G 2 C 丫 ac + 1(5-62)丿 Ijcr 丿。c,cr式中二所计算腹板区格内，由平均弯矩产生的腹板计算高度边缘的弯曲正应力；所计算腹板区格内，由平均剪力产生的腹板平均剪应力，(hotw)；S 腹板计算高度边缘的局部压应力，按式(5-7)计算，取=1.0 ocm cr jc,cr分别为各种应力（c）单独作用下腹板区格的临界应力。2、同时布置横向加劲肋和纵向加劲肋的梁腹板此种情况下，纵向加劲肋将腹板分隔成上、下两个区格，即区格I和区格U,如图

49、5-23 （b）所示，这两区格板的局部稳定性需要分别计算。1）梁受压翼缘与纵向加劲肋之间的区格 I此区格的受力情况如图 5-22 （ b）所示，区格板高度为h,，该区格板受到纵 向压应力二、剪应.和局部横向压应力二c的共同作用，其局部稳定按下列公式验算:(5-63)41#上式中 crl ,咯1 , %,cr1分别按下列方法计算。匚cri按式（5-57）计算，但式中b改用下列0代替当梁受压翼缘受到完全约束时h twb1v 23575当梁受压翼缘未受到约束时_ h1 twb164V 235(5-64a)(5-64b)#式中 h,纵向加劲肋至腹板计算高度受压边缘的距离cri按式（5-54）计算，但式

50、中ho改为h,。%cr1按式（5-61）计算，但式中人改用下列入ci代替当梁受压翼缘未受到约束时(5-65a)(5 65b)2）受拉翼缘与纵向加劲肋之间的区格U该区格腹板的局部稳定计算仍采用式（5 62）的形式，表达式为I。cr2 丿 l%r2 c,cr21(5 66)42#式中 6 所计算腹板区格内由平均弯矩产生的腹板在纵向加劲肋处的弯曲压应力；与式（5 62）中.的取值相同，为由平均剪力产生的平均剪应力;二C2腹板在局部加劲肋处的横向压应力，取二c2=03c二cr2按式（5 57）计算，但式中的b改用下式b2代替(5 67)-cr2按式（5 54）计算，但式中ho改为氏皿按式（5 61 ）

51、计算，但将式中的改为4 。当&/町2时，取a.=2。3）在梁受压翼缘与纵向加劲肋之间设有短加劲肋的区格板该区格尺寸详见图5 23 （c），受力状态如图5 22 （b）所示，其区格板局 部稳定计算应按式（5 63）。计算时匚cri按无短加劲肋时的情况取值，即式（5 64）; -cri按式（5 54）计算，但式中应将ho和a分别改为h和ai（ ai为短加劲肋间距）；c,cri按式（5 61）计算，但式中的b改用下列ci代替。对于av hi -i.2的区格:当梁受压翼缘受到完全约束时(5 68a)当梁受压翼缘未受到约束时(5 68b)对于Hh 1.2的区格，式（5 68）的右侧应乘以 仁0.4 0.

52、5G h）544腹板加劲肋的设计（在实际工程中，常采用如图 5 23所示布置加劲肋的方法来防止腹板屈曲 加劲肋分横向加劲肋、纵向加劲肋和短加劲肋，设计时由不同的情况选用不同的布 置形式。图5 23加劲肋布置1横向加劲肋；2 纵向加劲肋；3短加劲肋一、加劲肋的布置要求规范规定腹板加劲肋的配置应根据梁腹板的高厚比h tw值进行。（1）当hoftw岂80、, 235 fy时，对有局部压应力（二广0）的梁，应按构造设置横向加劲肋；对无局部压应力（讥=0 ）的梁，可不设置加劲肋。（2）当h-tw 80,235 fy时，应按计算配置横向加劲肋。（3） 当h：tw .i70,235f；（此时梁受压翼缘受到侧

53、向约束，如有刚性辅板 牢固连接等）或者hoftw 150、.、235石（其他受压翼缘未受到侧向约束情况）或者 按计算需要时，应在弯曲应力较大的区格的受压区增加设置纵向加劲肋。局部压应 力很大的梁，必要时尚宜在受压区设置短加劲肋。任何情况下，梁腹板h0：tw不应超过250 235 f；。（4）钢梁支座处和上翼缘受有较大固定集中荷载处宜设支承加劲肋。二、加劲肋的截面尺寸及构造要求加劲肋按其作用可分为两类：一类是仅分隔腹板以保证腹板局部稳定，称为 间隔加劲肋；另一类除了上面的作用外，还起传递固定集中荷载或支座反力的作 用，称为支承加劲肋。间隔加劲肋仅按构造条件确定截面，而支承加劲肋截面尺寸 尚需满足

54、受力要求。为使梁的整体受力不致产生人为的侧向偏心，加劲肋最好在腹板两侧成对布 置。在条件不容许时，也可单侧配置，但支承加劲肋和重级工作制吊车梁的加劲肋 不能单侧布置。加劲肋作为腹板的侧向支承，自身必须具有一定的刚度，其截面可以采用钢 板或型钢。现行钢结构设计规范规定：在腹板两侧成对配置的钢板横向加劲 肋，其截面尺寸应符合下列要求：外伸宽度bs - h0 30 40 （mm）（ 5-69）厚度ts_bsT5（5-70）在腹板一侧配置的钢板横向加劲肋，其外伸宽度应大于按式（5-69）算得的1.2倍，厚度不应小于其外伸宽度的1/15。当同时配置纵、横加劲肋时，在纵、横加劲肋的交叉处，横肋连续，纵肋中

55、 断。横向加劲肋不仅是腹板的侧向支承，还作为纵向加劲肋的支座。因而其截面尺 寸除符合上述规定外，其截面对z轴的惯性矩尚应满足下列要求：Iz -3htW（5-71）纵向加劲肋对y轴的截面惯性矩应符合下列要求：当 a h0 0.85时lyZ2.50.45 h0tW（5 73）Ih0人h0丿z轴和y轴规定为：当加劲肋在两侧成对配置时，分别为腹板中心的水平向轴 线和竖向轴线（图5 24d、b）;当加劲肋在腹板一侧配置时，为与加劲肋相连的腹 板边缘的水平向轴线和竖向轴线（图5 24e、c）。短加劲肋的最小间距为0.751 （ hi为纵肋到腹板受压边缘的距离）。短加劲肋的外伸宽度应取为横向加劲肋外伸宽度的

56、0.7 -1.0倍，厚度不应小于短加劲肋外伸宽度的l /15。用型钢（工字钢、槽钢、肢尖焊于腹板的角钢）做成的加劲肋，其截面惯性矩不得小于相应钢板加劲肋的惯性矩。y$0)yj|Jh厂1-民y(t)yQqc)zn(e)图5 24腹板加劲肋的构造为避免焊缝的集中和交叉，焊接梁的横向加劲肋与翼缘连接处应切角（图525b、c），所切斜角的宽度约空3 （但不大于40mm ），高约bs/ 2 （但不大于60mm ），bs为加劲肋的宽度。在纵向加劲肋与横向加劲肋的相交处，纵肋也要切 角。吊车梁横向加劲肋的上端应与上翼缘刨平顶紧，当为焊接梁时，尚宜焊接。中间横向加劲肋的下端一般在距受拉翼缘 50二100mm处断开（图5 25b）,以提高梁的抗疲劳能力。为了增大梁的抗扭刚度，也可以短角钢与加劲肋下端焊牢，但 顶紧于受拉翼缘而不焊（图5 25c）。A倒平顶紧图5 25吊车梁横向加劲肋三、支承加劲肋的计算在支座处及上翼缘有固定集中荷载处