矢量图解运动问题

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1、专题4矢量图解运动问题文/沈晨教你一手一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法矢量加减依据平行四边形定则，也可简化为三角形（多边形）法其图解方法如图4-1，若已知矢量A、B、（如图4-1(a)），当求R=A+B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段未端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为R（如图4-1(b)）；当求R=A-B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段未端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为R（如图4-1(c)）运用这种方法可以进行多个

2、矢量的连续相加或相减我们可归纳如下： 图4-1图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和 图解方法求矢量差：末端共点地分别作相减二矢量，连接两箭头、方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差二、运动的合成与分解 当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法运动的合成与分解遵循如下原理： 独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会

3、因有其他分运动的存在而发生改变 等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义 矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算 将一个复杂运动分解为几个分运动，通常有两种方法：引入中介参照系例如船过河的运动，是以静止的河岸为参考的一个复杂运动，我们可以取一个动参考物运动的河水为中介，那么，船的运动可分解为船相对水的运动与水相对岸的运动若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度（相

4、对速度）为vAB，则有vAC=vAB+vBC，vAB=vACvBC同样地，我们可以按这种方法进行位移或加速度的合成与分解，例如，aAC=aAB+aBC，aAB=aACaBC注意矢量运算式中下标的规律性依据实际效果分解运动例如一架飞机以速度v与水平成角斜向上飞行，实际效果是在上升的同时水平向前移动了，我们可将飞机的运动分解为竖直方向与水平方向的两个分运动，若这两个分运动的速度依次为v1和v2，则有vv1v2 处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效 例1假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的

5、时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？ 分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V，根据题给条件，有u=V+v三个速度矢量中，u大小、方向均确定，v大小一定，V与v两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图4-2，取一点O，先作矢量u，以其矢端为圆心，表示v大小的线段长为半径作一圆，自O点向圆引切线OA，则矢量三角形即为符合题意要求的u、V、v关系由图显见，当运动员朝南偏西arccos(v/u)方向以速率v奔跑时会感觉风从自己右

6、侧吹来，并且在vu时才可能有这种感觉 若vu，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图4-3，在中运用正弦定理有(/)(/)，可知当(/2)时，(/)为最大，即在运动员向西偏南(/)方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大 图4-2图4-3例2一只木筏离开河岸，初速度为v，方向垂直于岸，划行路线如图4-4虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变用作图法找到2T、3T时刻此木筏在航线上的确切位置 图4-4分析与解设木筏相对于水的速度为V，则离岸时，Vv-u，其矢量关系如图4-5(a)所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速

7、度V方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v大小、方向均有变化故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线现如图4-5中(b)所示，连接OA的有向线段是时间T内木筏的绝对位移s木，而s木s木对水s水，其中s水沿x正方向，s木对水平行于V方向现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴上得到点，有向线段OB即为s水由于水速u恒定，则各T时间内s水恒定，故可在x轴上得s水，s水，过、点作平行于V的直线交木筏轨迹于、各点，即得2T、3T时刻此木筏的确切位置 质点做变速运动时，若初速度为v0，末速度为vt，则速度增量v=vtv0，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图4-1(c)，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其

8、独到之处 图4-5例3某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小 图4-6分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间内，速度增量相同即v=vtv=v2tvt=v3tv2t现作满足题给条件的矢量图如图4-6所示，图中有向线段ABBCCDv，vt，vt=(v/)，v2t，v2t=(v/)，为待求量v3t设恒力方向与v方向成角，由图给几何关系，在、中运用余弦定理，得 (/)222，(/)22（）2，3t22（）2由此方程组可解得物体在恒力作用3t时间后的速度大小为3t(/4) 例4从h高处斜向上抛出

9、一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角为多大时物体落地的水平位移最大 分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用在落下h高度的时间t内，速度增量v恒为竖直向下，大小为gt，落地时速度v的大小为，v0、vt与与v构成如图4-7所示矢量三角形关系图中角、角分别是初速度、落地速度与水平方向的夹角注意到在矢量三角形的面积(/)0式中，v0t即为抛体飞行的水平位移x，则有(/)这样，我们只须考虑何时矢量三角形有最大面积即可由于(/)0t（），而v0、vt大小确定，则当（）90，即(0/)时，S有最大值：(/)(/)0t，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，其值为m(0/) 图4-7例5网球以速度v0落到一重球拍

10、上后弹性地射回为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度v运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是，速度v和此法线的夹角是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的 分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度v在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量现取球拍面之法线为x轴，使y轴沿拍面，O为网球入射点，

11、如图4-8所示，从O点沿与x轴成角方向作有向线段v0，作射线OPOA，从A点作x轴平行线交OP于，取AB中点C，则有向线段B即是球离拍时的速度vt，有向线段C则是球拍速度v，而有向线段C、CB则是射入时球对拍速度v0v和弹回时球对球拍速度vtv，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的根据所作的矢量图，在直角三角形OAB中，斜边上的中线(/)，(/)故P(0/)，而球拍速度与球拍法线方向夹角为（(/)） 图4-8小试身手1.甲、乙两船在静水中航行速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河

12、所用时间之比t甲t乙_ 2.骑自行车的人以20kmh的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40kmh的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速 3.从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离 4.如图4-9所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为v0，一艘速率为v（vv0）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船 图4-9（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的(/)D处（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时

13、出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？ 5.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为130，另一次安装成倾斜角度为215，问汽车两次速度之比v1v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的） 6.敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度转动，人站在木马上下雨了，雨滴以速度v0竖直下落试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？ 7.如图4-10所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）两列车沿直轨道分别以速度v150kmh和v270kmh行驶，行驶方向如图所示求风速 图4-108.磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上

14、磁带绕好后带卷的末半径r末为初半径初的倍绕带的时间为t1要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？ 9.在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t120min减小一半问此后半径又减小一半需要多少时间t2？ 10.快艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为是直线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v02.5km/h沿与湖岸成15角的方向飘去同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v14km/h行走或在水中以速度v22km/h游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？ 11.如图4-11所示，在仰角/的雪坡上举行跳台滑雪比赛运动员从坡上方A点开始下滑，

15、到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上点，坡上O、B两点距离L为此项运动的记录已知A点高于O点h50m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为多大？ 图4-1112.一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的参考答案 1.甲、乙船速度矢量关系如图答4-1，两船航程相同，由图得(甲/乙)(2乙/2甲) 图答4-1图答4

16、-22.速度矢量v风=v风对人+v人的关系如图答4-2，由图易得v风28km/h 3.以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度v21做匀速直线运动，速度矢量关系如图答4-3，由图知21，两石块最短距离(1/)，这个最短距离适用于另一石块落地之前，即 (cos)/()(2)/(1222)时图答4-3图答4-44.（1）艇相对船的速度方向不会超过，如图答4-4所示，(/)，A点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过，则A点在港口后面D(/)D （2）当v相对=时，根据题目要求，此时s相对(D/sin)(D0/)，(D0/0)，截住船的位置在A前方0(D02/)处 5.冰雹落向车的速度

17、与弹离车速度遵守“反射定律”，故汽车以v1运动时，v雹近车的方向与车玻璃法线成1，汽车以v2运动时，则成2角，各速度矢量关系如图答4-5，由如图答4-所示的甲、乙两图分别有1雹，2雹，则(1/2)(/) 图答4-56.v人=r，v雨=v0，v雨对人=v雨v人，矢量关系如图答4-6所示，由图可知，相对于人，雨的速度方向为()/0，此即撑伞方向 图答4-6图答4-77.观察照片，将两车之距离AB按57比例分成左、右两部分，分点C为两车相遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C到照片上位置历时/(12)，风速为/km/h 8.如图答4-所示，设磁带的总长l，由题意

18、当带厚为d时有（9初2初2），当带厚为(d/2)时有(/)（2初2），得绕好后带卷半径R初，因1(初/)(/)；2(（）初/)(/)，得2（）1 9.与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的，1(（22）/)，2(（2(/)2）/)，则2(1/)min 图答4-8图答4-910.作快艇与人运动的位移矢量图，人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形如图答4-9，设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有 （）2（）2（）2（），整理得 89-20（）2-（）2，因（）2（），此式有解，即人能赶上以2.5km/h飘行的快艇；推至一般，只要 （2）2（4）2（）2-24（）cos15式成立，即，只要（）2（），总可赶上 11.如图答4-10所示 cos，0cos，sin(/)20sin图答4-10图答4-11/(/)0/(0) 2(00)/，代入0， 0，(/)，-2 0(（00）)/ 02(/) (/)（(/)） 由（(/)），得 上式(/)（(/)）当(/)时，最大，则(/)，代入得 max（） 12.设船速为v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角”，如同例5作矢量关系图如图答4-11，由图知只要v0沿墙的法线方向分量ON1/2即可12