高三数学一轮复习 数列的综合应用热点专题突破课件

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1、热点专题突破系列(三)数列的综合应用考点考点考情分析考情分析等差数列与等等差数列与等比数列的综合比数列的综合问题问题等差、等比数列相结合的问题是高考考查的等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点重点, ,考查方式主要有考查方式主要有: :(1)(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前通项公式、前n n项和公式、等差项和公式、等差( (比比) )中项、中项、等差等差( (比比) )的性质的性质; ;(2)(2)重点考查基本量重点考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方解方程程( (组组)的计算以及灵活运用等差、等比数的计算以及灵活运用等差

2、、等比数列的性质简化解决问题列的性质简化解决问题考点考点考情分析考情分析数列与函数的数列与函数的综合问题综合问题数列与函数的特殊关系数列与函数的特殊关系, ,决定了数列与函数决定了数列与函数交汇命题的自然性交汇命题的自然性, ,是高考命题的易考点是高考命题的易考点, ,考考查方式主要有查方式主要有: :(1)(1)以函数为载体以函数为载体, ,考查函数解析式的求法考查函数解析式的求法, ,或者利用函数解析式给出数列的递推关系、或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前数列前n n项和的计算方法项和的计算方法; ;(2)(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命根据数列是一种特殊的函数这一特点命

3、题题, ,考查利用函数的单调性来确定数列的单考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题调性、最值或解决某些恒成立问题考点考点考情分析考情分析数列与不等数列与不等式的综合问式的综合问题题数列与不等式的综合问题是高考考查的热点数列与不等式的综合问题是高考考查的热点. .考查方式主要有三种考查方式主要有三种: :(1)(1)判断数列问题中的一些不等关系判断数列问题中的一些不等关系, ,如比较数如比较数列中的项的大小关系等列中的项的大小关系等; ;(2)(2)以数列为载体以数列为载体, ,考查不等式的恒成立问题考查不等式的恒成立问题, ,求不等式中的参数的取值范围等求不等式中的参

4、数的取值范围等; ;(3)(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题考查与数列问题有关的不等式的证明问题数列的实际数列的实际应用问题应用问题此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置分期付款等客观背景进行设置, ,它不仅涉及数它不仅涉及数列中的基本知识和方法列中的基本知识和方法, ,还往往涉及其他学科还往往涉及其他学科的知识和常识的知识和常识考点考点1 1 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题【典例【典例1 1】(2014(

5、2014湖州模拟湖州模拟) )已知已知aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,首项首项a a1 1=3,=3,前前n n项和为项和为S Sn n, ,数列数列bbn n 是等比数列是等比数列, ,首项首项b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,S=12,S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令c cn n=S=Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解题视点【解题视点】(1)(1)利用利用“基

6、本量法基本量法”, ,用首项和公差用首项和公差( (比比) )表示已表示已知等式知等式, ,解得公差解得公差( (比比),),再用通项公式求解再用通项公式求解. .(2)(2)用用(1)(1)的结论表示出的结论表示出c cn n, ,再分再分n n是偶数与是偶数与n n是奇数两种情况讨是奇数两种情况讨论求和论求和. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,数列数列bbn n 的公比为的公比为q,q,则则a a2 2b b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+

7、3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为因为aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知c

8、 cn n=S=Sn ncos3n=cos3n=当当n n是偶数时是偶数时, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=2n2n33Snn,n2233Snn,n.22 是偶数，是奇数3n n2.4当当n n是奇数时是奇数时, ,T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= =- (n+1)=- (n+1)2 2. .综上可得综上可得,T,Tn n= =2

9、3 n1 n133nn4223423n n2,n43n1n.4是偶数， 是奇数【规律方法【规律方法】等差数列、等比数列综合等差数列、等比数列综合问题的解题策略问题的解题策略(1)(1)分析已知条件和求解目标分析已知条件和求解目标, ,确定为最终解决问题需要首先求确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题解的中间问题, ,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差求出首项和公差( (公比公比) )等等, ,确定解题的顺序确定解题的顺序. .(2)(2)注意细节注意细节. .在等差数列与等比数列综合问题中在等差数列与等比数列综合问题中, ,如果等比

10、数如果等比数列的公比不能确定列的公比不能确定, ,则要看其是否有等于则要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在数列的通在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等, ,这些细这些细节对解题的影响也是巨大的节对解题的影响也是巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论, ,分类解决问题后还要注意结论的整合分类解决问题后还要注意结论的整合. .【变式训练【变式训练】(2014(2014金华模拟金华模拟) )在等比数列在等比数列aan n 中中, ,已知已知a a

11、1 1=3,=3,公比公比q1,q1,等差数列等差数列bbn n 满足满足b b1 1=a=a1 1,b,b4 4=a=a2 2,b,b1313=a=a3 3. .(1)(1)求数列求数列aan n 与与bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)记记c cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n, ,求数列求数列ccn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)设等差数列设等差数列bbn n 的公差为的公差为d.d.由已知得由已知得:a:a2 2=3q,a=3q,a3 3=3q=3q2 2, ,b b1 1=3,b=3,b4 4=3+3d,

12、b=3+3d,b1313=3+12d,=3+12d,所以此时所以此时d=2,d=2,所以所以a an n=3=3n n,b,bn n=2n+1.=2n+1.223q33d,q1d,q3q1()3q3 12dq14d 或舍去 ，(2)(2)由题意得由题意得:c:cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n=(-1)=(-1)n n(2n+1)+3(2n+1)+3n n, ,S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+ +c+cn n=(-3+5)+(-7+9)+=(-3+5)+(-7+9)+(-1)+(-1)n-1n-1(2n-1)+(-1)(2n-1)+(-1)n n(2n+1)

13、+3+3(2n+1)+3+32 2+ +3+3n n, ,当当n n为偶数时为偶数时,S,Sn n= =当当n n为奇数时为奇数时,S,Sn n=(n-1)-(2n+1)+=(n-1)-(2n+1)+所以所以S Sn n= =n 1n 13333nn2222，n 1n 13337n,2222n 1n 133nn2237nn.22， 为偶数， 为奇数【加固训练【加固训练】在公差为在公差为d(d0)d(d0)的等差数列的等差数列aan n 和公比为和公比为q q的等比数列的等比数列bbn n 中中,a,a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3. .(

14、1)(1)求数列求数列aan n 和和bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令c cn n=a=an nb bn n, ,求数列求数列ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)因为因为a a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3, ,所以所以解之得解之得 所以所以a an n=2n-1,b=2n-1,bn n=3=3n n. .233d3q,3 12d3q，d2,d0,().q3q1舍去(2)(2)因为因为c cn n=a=an nb bn n=(2n-1)=(2n-1)3 3n n. .所以所以

15、T Tn n=1=13+33+33 32 2+5+53 33 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n n, ,所以所以3T3Tn n=1=13 32 2+3+33 33 3+ +(2n-3)+(2n-3)3 3n n+(2n-1)+(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2=3+23 32 2+2+23 33 3+ +2+23 3n n-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2(3=3+2(32 2+3+33 3+ +3+3n n)-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1=3+2=3+2 -(2n-1) -(2n

16、-1)3 3n+1n+1, ,所以所以T Tn n=3+(n-1)=3+(n-1)3 3n+1n+1. .n 19 1 31 3考点考点2 2 数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题【典例典例2 2】(12(12分分)(2013)(2013安徽高考安徽高考) )设数列设数列aan n 满足满足a a1 1=2, =2, a a2 2+a+a4 4=8,=8,且对任意且对任意nNnN* *, ,函数函数f(x)=(af(x)=(an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2)x+a)x+an+1n+1cosxcosx-a-an+2n+2sinx,sinx,满足满足f =0.f =0.(1)(

17、1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)若若b bn n= = 求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .( )2nna12(a),2【解题视点解题视点】(1)(1)由由f =0f =0证得证得aan n 是等差数列是等差数列.(2).(2)求出求出bbn n 的通项公式的通项公式, ,利用等差、等比数列的求和公式计算利用等差、等比数列的求和公式计算. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题设可得由题设可得,f(x,f(x)=a)=an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1sinx-sinx-a an+2n+2cosx

18、,cosx,对任意对任意nNnN* *,f =a,f =an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1=0,=0,即即a an+1n+1-a-an n= =a an+2n+2-a-an+1n+1, ,故故aan n 为等差数列为等差数列. .由由a a1 1=2,a=2,a2 2+a+a4 4=8=8解得解得aan n 的公差的公差d=1,d=1,所以所以a an n=2+1=2+1(n-1)=n+1.(n-1)=n+1.( )2( )2 nnnan 1nnn12n2n1112b2(a)2(n1)2n2222111 ( ) n n122Sbbb2n212121n3n1.2

19、 由，可得【规律方法【规律方法】数列与函数的综合数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略问题的常见类型及解题策略(1)(1)已知函数条件已知函数条件, ,解决数列问题解决数列问题, ,此类问题一般利用函数的性此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题质、图象研究数列问题. .(2)(2)已知数列条件已知数列条件, ,解决函数问题解决函数问题, ,解决此类问题一般要充分利解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. .另外另外, ,解题时解题时要注意数列与函数的内在联系要注意数列与函数的内在联系, ,灵活运用函数的思想方法求解灵

20、活运用函数的思想方法求解, ,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列在问题的求解过程中往往会遇到递推数列, ,因此掌握递推数列因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决的常见解法有助于该类问题的解决. .解决数列与函数综合问题的注意点解决数列与函数综合问题的注意点(1)(1)数列是一类特殊的函数数列是一类特殊的函数, ,其定义域是正整数集其定义域是正整数集, ,而不是某个而不是某个区间上的连续实数区间上的连续实数, ,所以它的图象是一群孤立的点所以它的图象是一群孤立的点. .(2)(2)转化以函数为背景的条件时转化以函数为背景的条件时, ,应注意题中的限制条件应注意题中的限制条件, ,如函如

21、函数的定义域数的定义域, ,这往往是非常容易忽视的问题这往往是非常容易忽视的问题. .(3)(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时利用函数的方法研究数列中相关问题时, ,应准确构造函数应准确构造函数, ,注意数列中相关限制条件的转化注意数列中相关限制条件的转化. .【变式训练【变式训练】(2014(2014温州模拟温州模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= (x-1,)= (x-1,xRxR),),数列数列aan n 满足满足a a1 1=a(a-1,aR),a=a(a-1,aR),an+1n+1=f(a=f(an n)(nN)(nN* *).).(1)(1)若数列若数列aan n 是常

22、数列是常数列, ,求求a a的值的值. .(2)(2)当当a a1 1=4=4时时, ,记记b bn n= (nN= (nN* *),),证明数列证明数列bbn n 是等比数列是等比数列, ,并求出通项公式并求出通项公式a an n. .4x2x1nna2a1【解析【解析】(1)(1)因为因为f(xf(x)= ,a)= ,a1 1=a,a=a,an+1n+1=f(a=f(an n)(nN)(nN* *),),数列数列aan n 是常数列是常数列, ,所以所以a an+1n+1=a=an n=a,=a,即即a= ,a= ,解得解得a=2a=2或或a=1.a=1.所以所求实数所以所求实数a a的值

23、是的值是1 1或或2.2.4x2x14a2a1(2)(2)因为因为a a1 1=4,b=4,bn n= (nN= (nN* *),),所以所以即即b bn+1n+1= b= bn n(nN(nN* *),),所以数列所以数列bbn n 是以是以b b1 1= = 为首项为首项,q= ,q= 为公比的等比数列为公比的等比数列, ,于是于是nna2a1nnn 1n1n 1nn 1nn4a222 a2a2a12b,b4a23a13 a11a1，232323n 1nn2 22b( )( )nN* .3 33由由所以所求的通项公式所以所求的通项公式nnnnnnnnn2( )2a2a223b( )anN*

24、 ,2a1a13( )13，即，解得nnn2( )23anN* .2( )13【加固训练【加固训练】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,对一切正整数对一切正整数n,n,点点P Pn n(n,S(n,Sn n) )都在都在函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的图象上的图象上, ,且过点且过点P Pn n(n,S(n,Sn n) )的切线的斜率为的切线的斜率为k kn n. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)若若b bn n= a= an n, ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n.

25、 .(3)(3)设设Q=x|x=kQ=x|x=kn n,nN,nN* *,R=x|x,R=x|x=2a=2an n,nN,nN* *,等差数列等差数列ccn n 的的任一项任一项c cn nQRQR, ,其中其中c c1 1是是QRQR中的最小数中的最小数,110c,110c1010115,115,求求ccn n 的通项公式的通项公式. .nk2【解析【解析】(1)(1)因为点因为点P Pn n(n,S(n,Sn n) )都在函数都在函数f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的图象上的图象上, ,所以所以S Sn n=n=n2 2+2n(nN+2n(nN* *).).当当n2n2时时,a,

26、an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2n+1,=2n+1,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=3=3满足上式满足上式, ,所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)由由f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x求导可得求导可得f(xf(x)=2x+2.)=2x+2.因为过点因为过点P Pn n(n,S(n,Sn n) )的切线的斜率为的切线的斜率为k kn n, ,所以所以k kn n=2n+2,=2n+2,所以所以b bn n= a= an n=4=4(2n+1)(2n+1)4 4n n. .所以所以T Tn n

27、=4=43 34 41 1+4+45 54 42 2+4+47 74 43 3+ +4+4(2n+1)(2n+1)4 4n n. .由由4,4,得得4T4Tn n=4=43 34 42 2+4+45 54 43 3+4+47 74 44 4+ +4+4(2n+1)(2n+1)4 4n+1n+1. .nk2- -得得: :-3T-3Tn n=43=434+24+2(4(42 2+4+43 3+ +4+4n n)-(2n+1)-(2n+1)4 4n+1n+1 =43=434+24+2 -(2n+1) -(2n+1)4 4n+1n+1,所以所以2n 141414n 2n6n116T4.99(3)(3

28、)因为因为Q=x|x=2n+2,nNQ=x|x=2n+2,nN* *,R=x|x=4n+2,nN,R=x|x=4n+2,nN* *,所以所以QR=R.QR=R.又因为又因为c cn nQRQR, ,其中其中c c1 1是是QRQR中的最小数中的最小数, ,所以所以c c1 1=6,=6,因为因为ccn n 的公差是的公差是4 4的倍数的倍数, ,所以所以c c1010=4m+6(mN=4m+6(mN* *).).又因为又因为110c110c1010115,00即可得证即可得证. .(2)(2)把已知等式中的把已知等式中的n n换为换为n-1(n2),n-1(n2),然后两式相减消去然后两式相减

29、消去S Sn n,S,Sn-1n-1, ,根据结构向等差或等比数列转化根据结构向等差或等比数列转化, ,再求通项公式再求通项公式. .(3)(3)根据根据(2)(2)的结论的结论, ,先运用裂项求和先运用裂项求和, ,再证明不等式再证明不等式. .【规范解答【规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时，时，4a4a1 1=a=a2 22 25,5,a a2 22 2=4a=4a1 1+5+5，因为，因为a an n00，所以所以(2)(2)当当n2n2时，时，4S4Sn n1 1=a=an n2 24(n4(n1)1)1 1，4a4an n=4S=4Sn n4S4Sn n1 1=a=an+1n+

30、12 2a an n2 24 4，a an+1n+12 2=a=an n2 2+4a+4an n+4=(a+4=(an n+2)+2)2 2，因为，因为a an n00，所以，所以a an+1n+1=a=an n+2+2，当，当n2n2时，时，aan n 是公差是公差d=2d=2的等差数列的等差数列. .因为因为a a2 2,a,a5 5,a,a1414构成等比数列，构成等比数列，a a5 52 2=a=a2 2a a1414，(a(a2 2+6)+6)2 2=a=a2 2(a(a2 2+24)+24)，解得，解得a a2 2=3,=3,21a4a5.由由(1)(1)可知，可知，4a4a1 1

31、=a=a2 22 25=4,a5=4,a1 1=1=1，又因为，又因为a a2 2a a1 1=3=31=21=2，则，则a an n是首项是首项a a1 1=1,=1,公差公差d=2d=2的等差数列的等差数列. .数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n=2n1.1. 1223nn 11113a aa aa a11111 33 55 7(2n 1)(2n1)11111111(1)()()()2335572n 12n1111(1).22n12【规律方法【规律方法】数列中不等式的处理方法数列中不等式的处理方法(1)(1)函数方法函数方法: :即构造函数即构造函数, ,通过函

32、数的单调性、极值等得出关通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式于正实数的不等式, ,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式数列中的不等式. .(2)(2)放缩方法放缩方法: :数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到果放缩得到. .(3)(3)比较方法比较方法: :作差或者作商比较作差或者作商比较. .【变式训练【变式训练】已知各项均不相等的等差数列已知各项均不相等的等差数列aan n 的前四项和的前四项和S S4 4=14,=14,且且a a1 1,a,a3 3,a,a7 7成等比数

33、列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设设T Tn n为数列为数列 的前的前n n项和项和, ,若若T Tn naan+1n+1对一切对一切nNnN* *恒恒成立成立, ,求实数求实数的最小值的最小值. .nn 11a a【解析【解析】(1)(1)设公差为设公差为d,d,由已知得由已知得解得解得d=1d=1或或d=0(d=0(舍去舍去) )，所以所以a a1 1=2=2，故，故a an n=n+1.=n+1.121114a6d14,a2daa6d， nn 1nnn 12211112,a an1 n2n1n211111111nT.2334n1

34、n22n22 n2nTan2 .2 n2n.2 n2n111n2.42 44162 n22(n4)n1.16 所以因为，所以所以又当且仅当时等号成立所以 的最小值为【加固训练【加固训练】(2014(2014太原模拟太原模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差不为零的公差不为零, ,且且a a3 3=5,a=5,a1 1, ,a a2 2,a,a5 5成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)若数列若数列bbn n 满足满足b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +2+2n-1n-1b bn n=a=an n且数列

35、且数列bbn n 的前的前n n项项和为和为T Tn n, ,试比较试比较T Tn n与与 的大小的大小. .3n1n1【解析【解析】(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中, ,设公差为设公差为d(d0),d(d0),所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.22152111311a aaaa4dada5a2d5a1,d2，由题得所以，解得，(2)b(2)b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +2+2n-1n-1b bn n=a=an n, ,b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+

36、+2+2n-1n-1b bn n+2+2n nb bn+1n+1=a=an+1n+1, ,- -得得:2:2n nb bn+1n+1=2,=2,所以所以b bn+1n+1=2=21-n1-n, ,当当n=1n=1时时,b,b1 1=a=a1 1=1,=1,所以所以b bn n= =即即2 n2,n2,1,n1，nn4,n2,b21,n1.当当n=1n=1时时,T,T1 1=b=b1 1=1, =1,=1, =1,所以所以当当n2n2时时, ,又又2 2n n=(1+1)=(1+1)n n= n+1(n2),= n+1(n2),所以所以所以当所以当n=1n=1时时, , 当当n2n2时时, ,3

37、n1n1n3n1Tn1，2n 1n23nn 2114(1)111122T14()13,1222212 01nnnnCCCn 2nn 2144143n1n2 33n222n12n1n1，n3n1Tn1，n3n1T.n1考点考点4 4 数列的实际应用问题数列的实际应用问题【典例【典例4 4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. .该企该企业第一年年初有资金业第一年年初有资金20002000万元万元, ,将其投入生产将其投入生产, ,到当年年底资金到当年年底资金增长了增长了50%.50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同预计以后每年资金年增长率与第

38、一年的相同. .公司公司要求企业从第一年开始要求企业从第一年开始, ,每年年底上缴资金每年年底上缴资金d d万元万元, ,并将剩余资并将剩余资金全部投入下一年生产金全部投入下一年生产. .设第设第n n年年底企业上缴资金后的剩余资年年底企业上缴资金后的剩余资金为金为a an n万元万元. .(1)(1)用用d d表示表示a a1 1,a,a2 2, ,并写出并写出a an+1n+1与与a an n的关系式的关系式. .(2)(2)若公司希望经过若公司希望经过m(m3)m(m3)年使企业的剩余资金为年使企业的剩余资金为40004000万元万元, ,试确定企业每年上缴资金试确定企业每年上缴资金d

39、d的值的值( (用用m m表示表示).).【解题视点【解题视点】(1)(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额只要根据增长率求出当年年底的资金总额, ,再再减去上缴的资金减去上缴的资金, ,就是剩余资金就是剩余资金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1与与a an n间的递推关系式间的递推关系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列列aan n 的通项公式的通项公式a an n, ,令令a am m=4000=4000即可求出即可求出d.d.【规范解答【规范解答

40、】(1)(1)由题意得由题意得a a1 1=2000(1+50%)-d=2000(1+50%)-d=3000-d,=3000-d,a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4500- -d=4500- d,d,所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50%)-d= (1+50%)-d= a an n-d.-d.325232(2)(2)方法一方法一: :由由(1)(1)得得, ,当当n2n2时时, ,nn 1n 22n 23aad23 3( ad)d2 233( ) add22n 12n 213333( )ad1( )( ).2222整理得整理得

41、由题意由题意,a,am m=4000,=4000,所以所以 (3000-3d)+2d=4000,(3000-3d)+2d=4000,解得解得故该企业每年上缴资金故该企业每年上缴资金d d的值为的值为 时时, ,经过经过m(m3)m(m3)年企业的剩余资金为年企业的剩余资金为40004000万元万元. .n 1n 1n 1n333a( )3000d2d( )1( )30003d2d.222m 13( )2mmm 1mmm3( )2 10001000 322d.332( )12mm 1mm1000 3232方法二方法二: :由于由于a an+1n+1= a= an n-d,-d,设设a an+1n

42、+1+= (a+= (an n+),),化为化为a an+1n+1= a= an n+ ,+ ,与与a an+1n+1= a= an n-d-d比较可比较可得得=-2d,=-2d,故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d),-2d),这说明数列这说明数列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3000-3d-2d=3000-3d为为首项首项, , 为公比的等比数列为公比的等比数列, ,所以所以a an n-2d=(3000-3d)-2d=(3000-3d)即即a an n=(3000-3d)=(3000-3d) +2d. +2d.( (下同方法一下同方法一).)

43、.32323212323232n 13( ),2n 13( )2【规律方法【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤(1)(1)确定模型类型确定模型类型: :理解题意理解题意, ,看是哪看是哪类数列模型类数列模型, ,一般有等差数一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型. .基本特征见下基本特征见下表表: :数列模型数列模型基本特征基本特征等差数列等差数列均匀增加或者减少均匀增加或者减少等比数列等比数列指数增长指数增长, ,常见的是增产率问题、存款复利问常见的是增产率问题、存款复利问题题简单递推简单递推数列数列指数增长的

44、同时又均匀减少指数增长的同时又均匀减少. .如年收入增长率如年收入增长率为为20%,20%,每年年底要拿出每年年底要拿出a(a(常数常数) )作为下年度的作为下年度的开销开销, ,即数列即数列aan n 满足满足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)准确解决模型准确解决模型: :解模就是根据数列的知识解模就是根据数列的知识, ,求数列的通项、求数列的通项、数列的和、解方程数列的和、解方程( (组组) )或者不等式或者不等式( (组组) )等等, ,在解模时要注意运在解模时要注意运算准确算准确. .(3)(3)给出问题的回答给出问题的回答: :实际应用问题最后要把求解的

45、数学结果化实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案为对实际问题的答案, ,在在解题中不要解题中不要忽视了这点忽视了这点. .提醒提醒: :一般地一般地, ,涉及递增率或递减率要用等比数列涉及递增率或递减率要用等比数列, ,涉及依次增涉及依次增加或减少要用等差数列加或减少要用等差数列, ,有的问题是可以通过转化得到等差或有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的等比数列的, ,注意之间的联系注意之间的联系. .【变式训练【变式训练】(2014(2014广州模拟广州模拟) )某学校餐厅为了保证每天供应某学校餐厅为了保证每天供应10001000名学生用餐名学生用餐, ,每星期一都提供有

46、每星期一都提供有A,BA,B两种菜可供学生选择两种菜可供学生选择( (每个学生都将从二种中选一种每个学生都将从二种中选一种),),经调查经调查, ,凡是在本周星期一选凡是在本周星期一选A A菜的菜的, ,下周星期一会有下周星期一会有20%20%改选改选B,B,而选而选B B菜的菜的, ,下周星期一则有下周星期一则有30%30%改选改选A.A.用用a an n,b,bn n分别表示在第分别表示在第n n个星期一选个星期一选A,BA,B菜的人数菜的人数(a(a1 1,b,b1 1表示本周星期一选表示本周星期一选A,BA,B菜人数菜人数),),若若a a1 1=200.=200.(1)(1)试以试以

47、a an n表示表示a an+1n+1. .(2)(2)证明证明:a:an n 的通项公式是的通项公式是a an n=(-400)=(-400) +600. +600.(3)(3)试问从第几个星期一开始试问从第几个星期一开始, ,选选A A的人数超过选的人数超过选B B的人数的人数? ?n 11( )2【解析【解析】(1)(1)由题可知由题可知, ,因为在本周星期一选因为在本周星期一选A A菜的菜的, ,下周星期一下周星期一会有会有20%20%改选改选B,B,而选而选B B菜的菜的, ,下周星期一则有下周星期一则有30%30%改选改选A,A,所以所以a an+1n+1=a=an n(1-0.2

48、)+0.3(1-0.2)+0.3b bn n, ,又又a an n+b+bn n=1000,=1000,所以整理得所以整理得:a:an+1n+1= a= an n+300.+300.(2)(2)因为因为a a1 1=200,=200,且且a an+1n+1= a= an n+300,+300,所以所以a an+1n+1-600= (a-600= (an n-600),-600),即即aan n-600-600可以看成是首项为可以看成是首项为-400,-400,公比为公比为 的等比数列的等比数列, ,所以所以a an n=(-400)=(-400) +600. +600.121212n 11(

49、)212(3)(3)由由a an n+b+bn n=1000,a=1000,an nbbn n得得a an n500,500,又又a an n=(-400)=(-400) +600, +600,所以所以 ,3.n3.答答: :从第从第4 4个星期一开始个星期一开始, ,选选A A的人数超过选的人数超过选B B的人数的人数. .n 11( )2n 11( )214【加固训练【加固训练】流行性感冒流行性感冒( (简称流感简称流感) )是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病. .某市某市1111月份曾发生流感月份曾发生流感, ,据资料统计据资料统计,11,11月月1 1

50、日日, ,该市新的流感病该市新的流感病毒感染者有毒感染者有2020人人, ,此后此后, ,每天的新感染者平均比前一天的新感染每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加者增加5050人人. .由于该市医疗部门采取措施由于该市医疗部门采取措施, ,使该种病毒的传播得使该种病毒的传播得到控制到控制. .从某天起从某天起, ,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少少3030人人, ,到到1111月月3030日止日止, ,该市在这该市在这3030日内感染该病毒的患者总共日内感染该病毒的患者总共有有86708670人人. .问问1111月几日月几日, ,该市感染此病毒

51、的新患者人数最多该市感染此病毒的新患者人数最多? ?并并求出这一天的新患者人数求出这一天的新患者人数. .【解析【解析】设从设从1111月月1 1日起第日起第n(nNn(nN* *,1n30),1n30)日感染此病毒的日感染此病毒的新患者人数最多新患者人数最多, ,则从则从1111月月1 1日至第日至第n n日止日止, ,每日新患者人数依次每日新患者人数依次构成一个等差数列构成一个等差数列, ,这个等差数列的首项为这个等差数列的首项为20,20,公差为公差为50,50,前前n n日日的新患者总人数即该数列的前的新患者总人数即该数列的前n n项之和项之和S Sn n=20n+ =20n+ 50=

52、50=25n25n2 2-5n.-5n.n n12从第从第n+1n+1日开始日开始, ,至至1111月月3030日止日止, ,每日的新患者人数依次构成另每日的新患者人数依次构成另一等差数列一等差数列, ,这个等差数列的首项为这个等差数列的首项为20+(n-1)20+(n-1)50-30=50n-50-30=50n-60,60,公差为公差为-30,-30,项数为项数为(30-n),(30-n)(30-n),(30-n)日的新患者总人数为日的新患者总人数为T T30-n30-n=(30-n)=(30-n)(50n-60)+ (-30)=(30-n)(50n-60)+ (-30)=(30-n)(65

53、n-495)(65n-495)=-65n=-65n2 2+2445n-14850.+2445n-14850.依题意得依题意得S Sn n+T+T30-n30-n=8670,=8670,即即(25n(25n2 2-5n)+(-65n-5n)+(-65n2 2+2445n-14850)=8670.+2445n-14850)=8670.化简得化简得n n2 2-61n+588=0,-61n+588=0,解得解得n=12n=12或或n=49.n=49.(30n) 29n2因为因为1n30,1n30,所以所以n=12.n=12.第第1212日的新患者人数为日的新患者人数为20+(12-1)20+(12-1)50=570.50=570.所以所以1111月月1212日日, ,该市感染此病毒的新患者人数最多该市感染此病毒的新患者人数最多, ,且这一天的且这一天的新患者人数为新患者人数为570570人人. .