全国注册电气工程础考试概率统计精讲完整版

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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计1、随机事件、随机事件随机事件随机事件: : 称试验称试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集为的子集为 E 的的 随机事件；随机事件；基本事件基本事件: : 有一个样本点组成的单点集；有一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件: : 样本空间样本空间 S 本身；本身；不可能事件不可能事件: : 空集空集. (3) 随机事件随机事件 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现一个样本点在试验中出现. .(4) 事件间的关系与运算事件间的关系与运算10 包含关系包含关系 SABBA事件事件B发生发生事

2、件事件A发生发生SAB20 和事件和事件 30 积事件积事件BABASABBA发生发生A,B中至少有一个发生中至少有一个发生BA发生发生A,B同时发生同时发生AB 40 差事件差事件BA BA BAABBA 发生发生A发生且发生且B不发生不发生BA50 互不相容互不相容60 对立事件对立事件 BASBABA ABSSAB A,B不能同时发生不能同时发生A,B有且只有一个发生有且只有一个发生幂等律幂等律: :AAAAAA,交换律交换律: :ABBAABBA, 结合律结合律: :CBACBACBACBA分配律分配律: :CABACBACABACBA De Morgan De Morgan定律定律:

3、 :AAAA,2.随机事件的概随机事件的概 率率 1) 频率频率: 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验， 在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称称为为 事件事件 A 发生的频数发生的频数.比值比值 n A / n 称为事件称为事件A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) . (1) 概率的定义及性质概率的定义及性质频率具有波动性和稳定性频率具有波动性和稳定性, ,频率的稳定值称为概率频率的稳定值称为概率2) 概率的公理化定义概率的公理化定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，

4、对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 满足满足 下列条件：下列条件： ;1)(20SP;)(010AP)()()(2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,3201AA)(P,)(AP;0)(1P性质则是两两互不相容事件若性质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn)()()()()(3APBPAPBPABPBA性质SAB3) 3) 概率的性质概率的性质; )(1)(5APAP性质;1)(4AP性质。性质)()()()(6ABPBPAPBAPSABSAAB 样本空

5、间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同. (2) 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 1) 定义：我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，考虑到，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古古典概型典概型. 设试验设试验E是是古典概型古典概型, 其样本空间其样本空间S由由n个个 样本点组成样本点组成 , 事件事件A由由k个样本点组成个样本点组成 . 则事件则事件A的概率为：的概率为： A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样

6、本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .2) 计算方法计算方法 例例 1. 甲、乙等五名志愿者被随机地分到甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 （1）求）求甲、乙两人同时参加甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。 解解（1）401)(4425331ACAEP（2）101)(4425442ACAEP1091011)(1)(22EPEP(3)(3)几何概型几何概型 几何概型

7、考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验。首先看下面的例子。 例例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是. 50, 50YX 即 点 M 落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是： |,X Y 10 1 2 3 4 5yx54321.2592542122

8、52正方形的面积阴影部分的面积py-x =1y-x = -13 3、条件概率、条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且 0AP则称事件B在事件A已发生的条件下的概率为B在A之下的条件概率，记为ABP(1) 条件概率条件概率 163BPABP若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为41ABP 161,164ABPAP APABPABP由于由于故故称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条

9、件概率。 在例 5 中，我们已求得 41,163ABPBP 0AP APABPABP则 则 878111APAP8681811ABP 768786APABPABP 所以解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 APABPABP 我们得 ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式个随机事件，且为，设nAAAn210121nAAAP 则有12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP这就是n个事件的乘法公式 次都未取出黑球取了设nB niiAi，次取出白球第21则nAAAB21由乘法公式，我们有 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAA

10、APAAPAP1433221nn11n(3(3）全概率公式和贝叶斯公式）全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;, 2 , 1,=njijiAAji.21SAAAn 定义定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。 nAAA,21nAAA,21BAAAn以及,21满足： 两两互不相容；nAAA,121 或 21SAnn , 2, 103nAPn 1nnnABPAPBP则有；1nnAB因，看作该过程的若干个原把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知

11、即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求标该小组在比赛中射中目设B4321 ，级射手参加比赛选iiiA由全概率公式，有 41nnABPnAPBP32. 020345. 020964. 020685. 02025275. 0BAAAn以及,21 两两互不相容；nAAA,121 , 2, 103nAPn满足, 2 , 1,1)()|()()|()()()|(njjAPjABPnAPnABPBPBnAPBnAP则 或 21SAnn；1nnAB因，看作该过程的若干个原把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且

12、每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式BAPi即求90. 0,95. 0DAPDAP 0004. 0DP而且已知： 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率 9996. 0,90. 0DPDAP 所以，由Bayes公式，得 DAPDPDAPDPDAPDPADP10. 09996. 095. 00004. 095. 00004. 00038. 0 babAP222baabBAPbabABP4.两事件的独立性两事件的独立性BAABB BAPABPBP得：babbaabbab222 APABPABP而，babbab

13、bab22这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变由此，我们引出事件独立性的概念 ABPBP BPAPABP 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件事件独立性的性质：1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 0AP BPABP则BABABA与、与、与也相互独立. CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称A、B、C是相互独立的随机事件 SeeXXR eXeS(1)(1)随机

14、变量定义随机变量定义1. 1. 随机变量概念随机变量概念)(xXPxF称为称为 X 的分布函数的分布函数对于任意的实数对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：有：).()(121221xFxFxXPxXPxXxPx1 x2 xXo)(xXPxF0 xxX(3) 分分 布布 函函 数数 的的 性性 质质1).F (x) 是一个不减的函数是一个不减的函数 . 1)(lim)(;0)(lim)(, 1)(0).2xFFxFFxFxx且.)(),() 0().3是右连续的即xFxFxF2. 离散型随机变量离散型随机变量，nxxx21,2, 1npxXPnnX1x2x，nxP1p2p，np(

15、1) 定义定义: 如果随机变量如果随机变量 X 的取值是有限个或的取值是有限个或可列无穷个，则称可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量(2)(2)离散型随机变量概率分布的性质离散型随机变量概率分布的性质: :0npn，有对任意的自然数1nnp106551041，kCCkXPkX5678910P25212525252152523525270252126如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为pXPpXP110，X01P1-pp则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 0-1 分布分布为参数其中10 ppBX，记作1(3) (3) 一些常用的离散一些常

16、用的离散型随机变量型随机变量nkppCkXPknkkn，101为参数为自然数，其中10 pnpnBXpnX，记作的二项分布，服从参数为则称随机变量的题数：该学生靠猜测能答对设：X 41APA，则答对一道题则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验415，则BX44PPX至少能答对 道题54XPXP5445414341 C641，210!kekkXPk为常数其中021XPXP试求4XP，210!kekkXPk21XPXPee!2! 121022224! 424eXP232e09022. 0，若随机变量pnBX 比较小时，比较大，则当pnnp令：knkknppCkXP1则有

17、ekk!次射击命中目标的次数： 600X，则012. 0600 BX取分布近似计算，用2 . 7012. 0600Poisson 3XPBP31XP2101XPXPXP2 . 722 . 72 . 722 . 72 . 71eee9745. 0(1)定义定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数 f (x) 称称为为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.xdttfxF,)()( (2) 概率密度概率密度 f(x)的性质的性质. 0)(10 xf. 1)(

18、20dxxf)( .)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxx).()()(40 xfxFxxf处连续，则有在点若 其它020242xxxcxf解： 由密度函数的性质；求：常数 c1XP 1dxxf dxxf1得 2200dxxfdxxfdxxf20224dxxxc2032322xxcc3883c所以，2122483dxxx 11dxxfXP213232283xx21 221dxxfdxxf 其它01bxaabxf上的均匀分布，服从区间则称随机变量baX记作 X U a , b xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01的分布函数为则上的均匀分布，服从区间若随机变

19、量XbaX的指数分布参数为服从为常数，则称随机变量其中0 0001xxexfx的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量XX 0100 xexxFx分钟之间的概率钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电如果某人刚为参数的指数随机变量以（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时201010X解：的密度函数为X 00010110 xxexfx 2010XPBP则令：B= 等待时间为1020分钟 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0的密度函数为如果连续型随机变量 X xexfx22221xf (x)0，为参数，其中0正态分布记作的，服从，参数为则称随机变量2X2，NX

20、为标准正态分布，我们称，若1010N数为标准正态分布的密度函 xexx2221，则其密度函数为，如果随机变量10 NX xXPxx我们可直接查表求出对于0，易知，易知如果如果0 x ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函数为 xx 1).()-b(bX Pa ,aba有故对任意的)(xXPxFX)(xxXP 为：为：，则它的分布函数可写，则它的分布函数可写，若若2 NX；，试求：，设随机变量0)2(5192XPXPNX010)2(XPXP)320(1解：) 1 ()5(51FFXP)321()325( 311 1311162930. 084134. 047064. 0例732

21、17486.032的概率不超过个月的月降水量都起连续的正态分布求从某月）（单位：，某地区的月降水量服从cmcm50104405 . 2cmP5010个月降水量都不超过连续所以，解：2440，则：该地区的月降水量设：NXX月降水量不超过再设：cmA50 50XPAP则：)44050(1099379. 09396. 0分位点。为标准正态分布的上则称点满足条件若设zzzNX , 10, PX ),1,0(0 x)(x.57. 2,645. 1z ,z ,57. 2,645. 1z 995. 00.95- 1005. 00.05zzz查表可知z1z,2, 1npxXPnnX1x2x，nxP1p2p，n

22、p或，nyyy21，其中21nxgynn设设X是离散型随机变量，其分布律为：是离散型随机变量，其分布律为：它它的的取取值值为为：也也是是离离散散型型随随机机变变量量，则则的的函函数数是是YXgYXY)(: 例9: 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0

23、.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2 ，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX 随机变量也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY 的密度函数我们要求的是yfXgYY yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数先求 yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用., 0, 40,8)(其它xxXfX例10: 设随机变量 X 具有概率密度：试求 Y=2X+8 的概率密度.解：解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：2882)(yXPyXPyYPyFY28

24、.)()(yXYdxxfyF可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY., 0, 40,8)(其它xxXfX., 0,168,328)(其它yyyfY整理得 Y=2X+8 的概率密度为： 定理定理 设随机变量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 ).(),(max),(),(mingggg)()(1yhygx

25、 的密度函数，试求随机变量，设随机变量yfYeYNXYX2解：的密度函数为，知题设由X函数为是严格增加的，它的反因为函数yxeyxln xexfx22221上变化，在区间，上变化时，在区间并且当随机变量0XeYX时，所以，当 0y yyfyfXYlnlnyy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY的密度函数为由此得随机变量XeY .)0(),(2也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量abaXYXNX满足定理的条件，,)(,)(axgbaxxgy.1)(,)()(ayhabyyhxxgy且的反函数为：证证 X的概率密度为：.,21)(222)(xexfxX例例1212.

26、|2121|1)(|1| )(|)()(2222)(2)(2)(abayabyXXYeaeaabyfayhyhfyf由定理的结论得：.,21)(222)(xexfxX.1)(,)(ayhabyyhx且.)( ,2abaNbaXY即有一、一、数学期望数学期望 三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征二、二、方差方差 例 1：某班有 N 个人，其中有 in个人为 ia分，ki, 2 , 1， Nnkii1， 求平均成绩。 解： 平均成绩为: kiiikiiiNnanaN111 若用X表示成绩，则 NnaXPiikiiikiiiaXPaNna111、数学期望设离散型随机变量X的分布律为：kkpx

27、XP，, 2 , 1k ，若级数1ikkpx绝对收敛，则称级数1ikkpx的和为随机变量X的数学期望。记为EX，即EX=1kkkpx。(1) 数学期望定义按规定，火车站每天 8:009:00, 9:0010:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6例 2解：设旅客的候车时间为 X（以分记）(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)(1) 旅客 8:

28、00 到站，求他侯车时间的数学期望。(2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分) 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6（2）旅客8：20分到达X的分布率为设连续型随机变量 X 的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为 X 的数学期望。记为

29、 EX=dxxxf)(，数学期望也称为均值。(2）数学期望的性质II) E(cX)=cE(X)， c 是常数， I) Ec=c，c 是常数，若bXa， 则aE Xb（ ）， IV)若x , y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)niniiiiiEXaXaE11)(3）随机变量函数的数学期望设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 当当X为离散型时为离散型时,P(X= xk)=pk ;当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为f(x).)()(XgEYE 1)(kkkpxg dxxfxg)()( 某零件的真实长度为某零件的真实长度为a，a 乙仪器测量结果乙仪器测量

30、结果 a 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近2 方差方差现用甲、乙两台仪器现用甲、乙两台仪器各测量各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用数轴上的点表示如图：用数轴上的点表示如图： 甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果较好较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心其落点其落点距目标的位置如图：距目标的位置如图：设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，

31、若EX-E(X)2，EX-E(X)2 为为X的方差的方差.则称则称(1）方差的定义）方差的定义 a仪器测量结果仪器测量结果D(X)=若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差较小；较小；较大较大 .)(XD称称 为为X标准差标准差.X为离散型，为离散型，PX=xk=pkX为连续型，为连续型，Xf(x) )(XD 1,kkp.)(dxxf D(X)=EX-E(X)2 2)(XExk 2)(XEx 简化公式简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)=E(X2)

32、-E(X)2利用期望利用期望性质性质-2E(X)2+E(X)2证：证：例例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会，要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会，送谁去参加奥运会更合理呢？送谁去参加奥运会更合理呢？已知两人的射击成绩的分布律分别为：已知两人的射击成绩的分布律分别为：2 . 0X678910kP1 . 01 . 02 . 04 . 0Y678910kP2 . 02 . 01 . 01 . 04 . 0首先评选的指标是首先评选的指标是平均成绩平均成绩 )(XE )(YE2 . 0101 . 094 . 081 . 072 . 06 8 )()(YEXE 2 . 0X678910kP

33、1 . 01 . 02 . 04 . 0Y678910kP2 . 02 . 01 . 01 . 04 . 01 . 06 8 2 . 07 4 . 08 2 . 09 1 . 010 评选的第二个指标是评选的第二个指标是方差方差 )(XD2 . 1 )(YD2 . 0)810(1 . 0)89(4 . 0)88(1 . 0)87(2 . 0)86(22222 8 . 1 送送甲甲去参加奥运会更合理。去参加奥运会更合理。D(X)=EX-E(X)22 . 0X678910kP1 . 01 . 02 . 04 . 0Y678910kP2 . 02 . 01 . 01 . 04 . 01 . 0)86

34、(2 2 . 0)87(2 1 . 0)810(2 4 . 0)88(2 2 . 0)89(2 1)设设C是常数是常数,则则D(C)= 2)若若C是常数是常数,则则D(CX)= 3) 若若X1与与X2 独立，则独立，则 1niiXD可推广为：若可推广为：若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2); niiXD1)(C2 D(X);0;(2）方差的性质）方差的性质 两点分布两点分布 二项分布二项分布泊松分布泊松分布离散型离散型)1()(pnpXD 10),( ppnBX其中其中0)( ，其中，其中PX)1()(ppXD )(XD3 常见常见分布的数学期望和方

35、差分布的数学期望和方差pXPpXP )1(,1)0(pXE )(npE(X) )(XE2)(baXE )(XE若若X服从服从则则),(2 N )(XE若若X服从参数为服从参数为的的指指数数分分布布，则则 连续连续型型若若XUa,b,即即X服从服从a,b上的均匀分布上的均匀分布,则则12)()(2abXD2)( XD2)(XD例例5 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), 解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立,D(Z)=E(Z)=故故 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)2E(X)-E(Y)+3=2+3=54D(X)+D(Y)=8+1=

36、9YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故Z的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2 zZezf z数理统计数理统计(1) 总体和样本总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。个体：总体中的每个元素为个体。容量：总体中所包含的个体的个数。 按此分为有限总体和无限总体。例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。1、基本概念、基本概念总体（理论分布）总体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断样本值，去推断总体的情况总体

37、的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若nXX,1是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 称为样本值。nxx,1nXX,1(2 ) 统计量1.） 定义：设为来自总体X的一个样本，g 是的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；nXX ,1nXX ,1),(1nXX 是一个统计量。则称),1(nXXg的观察值。是则称),(),(11nnXXgxxg的样本值。是相应于样本),(1nXX nxx ,1设2.）常用的统计量niiXnX11样

38、本均值：niiniiXnXnXXnS12212211)(11样本方差：它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息, 2 , 11)(1kXnAknikik矩：原点阶样本niiXXnSS122)(11样本标准差：, 2 , 1)(11kXXnBknikik阶中心矩：样本它们的观察值分别为：niixnx1111)(11122122niiniixnxnxxnsniixxns12)(112 , 1,11kxnanikik2 , 1,)(11kxxnbnikik分别称为样本均值、样本方差、样本k阶矩、样本标准差

39、、样本k阶中心矩。1）定义：统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。(3) 抽样分布2）常用统计量的分布分布2的样本，为来自于正态总体设) 1 , 0(),(1NXXn2212nXX则称统计量：)(222nn记为分布。的是所服从的分布为自由度分布的性质：2独立，则有，且2221222212210),(),(.1nn)(2122221nn nDnE2,.2220)() 10(22nP，称满足条件：对于给定的。分位点上分布的为的点)()(22nn2z是标准正态分布的上 分位点。分布t).(T ,),(),1 , 0(2ntTtnnYXYXnYNX分布，记作的是所服从的分布为

40、自由度称随机变量独立，则)() 10(nttP，称满足条件：对于给定的。分位点上分布的为的点tnt)()()(1ntnt：由概率密度的对称性知.)(45zntn时，当)(nt)(1nt3) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：).,().1 (2nNX221,),(,.SXNXXn的样本，是总体设) 1() 1().2(222nSn独立。与2).3(SX定理方差，则有：分别是样本均值与样本) 1(/)4(ntnSX1.点估计点估计2.区间估计区间估计参数估计的思想参数估计的思想 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来

41、估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 在参数估计问题中，在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几未知的仅仅是一个或几个参数个参数.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数 作出估计作出估计.现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数为为 F(x, )， 其中其中 为未知参为未知参数数.1、点估计、点估计是待估参数。的形式为已知，的分布

42、函数设总体);(xFX是相应的样本值。的一个样本，是nnxxXXX11。来估计未知参数，用它的观察值构造一个适当的统计量),(),(11nnxxXX。估计值为；称估计量的为我们称),(),(11nnxxXX(1) 矩估计法矩估计法),;(),;(11kkxPxXPXxfX分布列为为离散型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其设的样本。为来自，是待估参数其中XXXnk,11存在。设., 2 , 1,klEXllnililXnA11则klAll, 1,令。，从中解出方程组的解的联立方程组，个未知参数这里是包含kkk11。矩估计法估计量的方法称为的估计量，这种求，分别作为，用kk11 这种估计量

43、称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 （用矩法）。试估计参数未知，有以下样本值；的泊松分布，参数为 250126225490756543210knkk次着火天数发生着火的次数niiXXnAEX1111解：22. 1) 16901750(2501 ,xX则令。估计值所以22. 1,X样本；是一个未知；设总体例nXXbabaUX,. 21的矩估计量。求：ba,21baEX解：niiXnAba1112令niiXnAbaab1222214)(12)(4)(12)()( 22222baabEXDXEX)(12,22121AAabAba即niinii

44、XXnXAAAbXXnXAAAa122121122122)(3)( 3 )(3)( 3解得：是一个样本；未知，又设，但都存在，且，方差的均值设总体例nXXX, , 0. 3122的矩估计量。求：2,222221)( ,EXDXEXEX解：,2211AA令,2221AA即,1XA 所以212122122)(11XXnXXnAAniinii(2) 极大似然估计法极大似然估计法可能取值的范围。是为待估参数，的形式为已知，属离散型，其分布律若总体),;().1 (xpxXPX的联合分布律：的样本；则是来自设nnXXXXX,11niixp1);(的一个样本值；是又设nnXXxx,11发生的概率为：事件的

45、概率，亦即取易知样本,1111nnnnxXxXxxXX) 1 . 1 (., );();,()(11niinxpxxLL。似然函数称为样本的的函数。它是)(L使得：即取的估计值，作为达到最大的参数挑选使概率定由极大似然估计法：固);,(;, 11nnxxLxx)2 . 1 ();,(max);,(11nnxxLxxL。极大似然估计值的称其为参数有关，记为与);,(,11nnxxxx。极大似然估计量的称为参数),(1nXX)4 . 1 ( , );();,()(11niinxfxxLL( )L 这里称为样本的似然函数。);,(max);,( 11nnxxLxxL若。极大似然估计值的为则称),(1

46、nxx 。极大似然估计量的为称),(1nXX;),;().2(为待估参数的形式已知，属连续型，其概率密度若总体xfX(1.5) . 0)(ln )(ln)(LddLL也可从下述方程解得：大似然估计的极处取到极值，因此在同一与又因个参数，若母体的分布中包含多., 1, 0ln., 1, 0kiLkiLii或即可令的极大似然估计值。个方程组求得解kk,1的一个样本，是来自设例XXXpBXn,);, 1 (. 41试求参数p的极大似然估计量。的分布律为：是一个样本值。解：设Xxxn,1; 1 , 0,)1 (1xppxXPxx故似然函数为,)1 ()1 ()(1111niiniiiixnxxxnip

47、ppppL).1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii而. 01)(ln11pxnpxpLdpdniinii令xxpnii1n1p 的极大似然估计值解得XXpnii1n1p 的极大似然估计量为-它与矩估计量是相同的。的一个样本值，是来自为未知参数，设例XxxNXn,);,(. 5122的极大似然估计量。求：2,的概率密度为：解：X)(21exp21),;(222xxf似然函数为：niixL1222)(21exp21),(niixnnL122)(21)ln(2)2ln(2ln0)()2(12n-01 0ln0ln21222122niiniixnxLL即：令niiniiXXnxx

48、n1221)(1 1解得：(3)估计量的评选标准估计量的评选标准.),() 11EXXn且的数学期望存在，无偏性：若的无偏估计量。是则称).D()D( ),(),()221122111的无偏估计量；若都是，有效性：若nnXXXX有效。较则称21. ),()311pnnXX时，当若对于任意的估计量为参数一致性：若的一致估计。是则称 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计的极大似然估计为为1000条条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信们合理地相信

49、N 的真值位于其中的真值位于其中. 这样对鱼数这样对鱼数的估计就有把握多了的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.2、区间估计、区间估计也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参相信它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一

50、个是一个很小的正数很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1 121P根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我,21 小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能置信区间置信区间. 称区间称区间 为为 的的,21 1置信水平为置信水平为 的的(1) 置信区间与置信度置信区间与置信度使得：找出统计量；对于样本含一待估参数定义：设总体,),2 , 1)(,(,2111ixxxxXniin) 10(,121P。置信度为该区间的，置信区间

51、的为，称区间121的可能性。表示该区间不包含真值的可靠程度。值给出该区间含真是一个随机区间；，区间121个左右。真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若595100100%.951%5通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%(2) 单个正态总体均值和方差的区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计。，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本。为总体设1),(,2121NXxxn已知方差，估计均值:),1 , 0(/101202置信区间为点估计，又知道的一个是，且知道设已知方差Nnxuxnxnii1） 均值的区间估计均值的区间估计0022 x-

52、z,xznn例6. 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得：解：已知.05. 0, 9, 70n.115)110120115(91x2z1.96查 正 态 分 布 表 得 临 界 值， 由 此 得 置 信 区 间 ：57.119,43.1109/796. 1115,9/796. 1115 未知方差，估计均值niixxn1222)(11S ，这时可用样本方差：由于未知方差nSx/ t而选取样本函数：则随机变量t服从

53、n-1个自由度的t分布,置信区间为:22 x-t (1),xt (1)SSnnnn2） 方差的区间估计方差的区间估计的一个样本。为总体设),(,21NXxxn的一个点估计是我们知道2122)(11niixxnS分布。自由度的个服从并且知道样本函数：2221) 1(nSn22222122(1)(1)(1)(1)nSnSnn推得：这就是说，随机区间：，而随机区间的概率包含以212222122(1)(1),(1)(1)nSnSnnSnSn121,1.1的概率包含以 例7. 设某机床加工的零件长度，),(2NX今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。2由样本值算得：解：已知.05. 0,16n.00244. 02S由此得置信区间：得查得查. 5 .27)025. 0 ,15(;26. 6)975. 0 ,15(22120058. 0 ,0013. 026. 600244. 015,5 .2700244. 015