引言及随机事件

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1、 对随机现象进行的观察对随机现象进行的观察1.1 1.1 随机事件随机事件随机试验随机试验随机试验有以下三个特点随机试验有以下三个特点: :()()()()() () Ch1 Ch1 随机事件与概率随机事件与概率或实验或实验称为称为随机试验随机试验( (重复性重复性) ); ;且在试验前可以明确且在试验前可以明确 一切可能的结果的范围一切可能的结果的范围. .( (明确性明确性) ); ;不能准确地预言不能准确地预言该次试验将会出现该次试验将会出现哪一种哪一种结果结果( (随机性随机性) ). .或或试验试验. .试验的结果试验的结果是可观察的是可观察的.( (可观察性可观察性) ); ;可以

2、在相同条件下重复进行可以在相同条件下重复进行试验的结果不止一个试验的结果不止一个, ,试验前试验前2.2.任取一个小时任取一个小时,3.3.掷两枚硬币掷两枚硬币, ,4.4.一天中任取一时刻一天中任取一时刻, ,5.5.把一尺之棰任意截成三段把一尺之棰任意截成三段, ,记录在该小时内记录在该小时内通过校门的通过校门的记录正反面出现的情况记录正反面出现的情况. .记录下某一地点当时的气温记录下某一地点当时的气温. .记录各段的长度记录各段的长度. .车辆数车辆数. .例如例如: : 1.1.掷一枚骰子掷一枚骰子, ,记录其点数记录其点数. .三三、 样本空间样本空间 随机试验的随机试验的例如例如

3、: :1. 1. 掷一枚骰子掷一枚骰子, ,此随机试验的样本空间为此随机试验的样本空间为: : 均为样本点均为样本点. .每一个可能的结果每一个可能的结果记为记为.称为称为样本空间样本空间. .记为记为.记录其点数记录其点数. .1,2,3,4,5,6称为一个称为一个样本点样本点, 一个随机试验一个随机试验的所有样本点是明确的的所有样本点是明确的, ,全体样本全体样本点点构成的集合构成的集合1 1点点, , 2 2点点, , 3 3点点, , 4 4点点, , 5 5点点, , 6 6点点或简记为或简记为 , , , , , 2.2.任取一个小时任取一个小时,此随机试验的样本空间为此随机试验的

4、样本空间为: :0,1,2,3,., ,.n 均为样本点均为样本点. .记录在该小时内记录在该小时内通过校门的车通过校门的车0,1,2,3,4,.辆数辆数. 0 0辆辆, , 1 1辆辆, , 2 2辆辆, , 3 3辆辆, , 或简记为或简记为共有共有4 4个样本点个样本点: : ( (正正, ,正正),), ( (正正, ,反反),),( (反反, ,正正),), ( (反反, ,反反) )3.3.掷两枚硬币掷两枚硬币, ,此随机试验的样本空间为此随机试验的样本空间为: :记录正反面出现的情况记录正反面出现的情况. . ( (正正, ,正正),),( (正正, ,反反),),( (反反,

5、,正正),),( (反反, ,反反) )4.4.一天中任取一时刻一天中任取一时刻, , 设此地当天的最低气温为设此地当天的最低气温为a a，a,ba,b中每个中每个有时候有时候, ,记录下记录下某一地点某一地点当时的气温当时的气温. .最高气温为最高气温为b,b,则此则此随机试验随机试验的样本空间为的样本空间为: : , a b 数数作适当扩大作适当扩大. .如例如例4 4中中, ,( 273.15,)C 甚至可以取成甚至可以取成),( 可把样本可把样本空间取为空间取为可以把样本空间可以把样本空间ab 为了数学处理方便为了数学处理方便, ,均为样本点均为样本点. .5.5.把一尺之棰把一尺之棰

6、此随机试验的样本空间为此随机试验的样本空间为: :样本点样本点 由以上例子可知由以上例子可知, ,任意截成三段任意截成三段, ,记录各段的长度记录各段的长度. .样本空间可以是样本空间可以是有限集有限集或无限集或无限集; ;可以是一维点集可以是一维点集或多维点集或多维点集; ;可以是离散点集可以是离散点集也可以是欧氏空间的也可以是欧氏空间的某个区域某个区域. .x y z( , , ) xyz0,0,0且且xyz1 四四、随机事件随机事件、事件的集合表示事件的集合表示随机事件通常用字母随机事件通常用字母若试验后的结果若试验后的结果只含一个样本点只含一个样本点的事件的事件 样本空间样本空间空集空

7、集 样本空间样本空间中中满足某些条件的样本点满足某些条件的样本点构成的子集构成的子集称为称为随机事件随机事件， 简称为简称为事件事件. .表示表示. .,.A B C则称则称事件事件A A发生发生; ;则称则称A A不发生不发生. .A 叫叫基本事件基本事件, ,记为记为 因而也是事件因而也是事件, ,称为称为必然事件必然事件. .中中不含不含中的任一元素中的任一元素, ,称为称为不可能事件不可能事件必然事件必然事件在每次试验中在每次试验中,一定会发生一定会发生.不可能事件不可能事件在每次试验中在每次试验中,一定不发生一定不发生.若试验后的结果若试验后的结果A 也是它自己的子集也是它自己的子集

8、, ,此随机试验的样本空间为此随机试验的样本空间为: : , , , , , 1 2 3 4 5 6基本事件有基本事件有: :表示掷出偶数点表示掷出偶数点* *表示掷出奇数点表示掷出奇数点表示点数小于表示点数小于5 5表示掷出大于表示掷出大于3 3的偶数点的偶数点“点数小于点数小于7”7”“点数为负值点数为负值”例如例如: : 掷一枚骰子掷一枚骰子, ,记录其点数记录其点数. . 1234562,4,6A 1,3,5B 1,2,3,4C 4,6D 为必然事件为必然事件. .是不可能事件是不可能事件一切事件一切事件均可以分解为基本事件的并集，均可以分解为基本事件的并集，A 246B 1 3 5D

9、 46而基本事件则不可再分而基本事件则不可再分. .* *再如再如: :在征兵体检中在征兵体检中, ,此随机试验的样本空间为此随机试验的样本空间为 为身高在为身高在1.751.75或以上或以上 必然事件必然事件从应征者中任选一人从应征者中任选一人, ,测量测量与不可能事件与不可能事件在每次试验之前在每次试验之前都可以都可以准确准确预言预言, ,不具有随机性不具有随机性, ,不是随机事件不是随机事件, ,但为讨论但为讨论把它们看成是特殊的随机事件把它们看成是特殊的随机事件, , 作为随机作为随机事件的两个极端事件的两个极端情况情况. .其身高其身高. .问题方便问题方便, ,(1.4, 2.5)

10、 1.75,2.5A 随机试验随机试验掷两颗骰子掷两颗骰子, , 例如例如: :掷三颗骰子掷三颗骰子, , 掷掷1313颗骰子颗骰子, , 事件都是相对于一定的事件都是相对于一定的样本空间样本空间随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件“点数和小于点数和小于13”13”是必然事件是必然事件. .是随机事件是随机事件. .“点数和小于点数和小于13”13”是不可能事件是不可能事件. .“点数和小于点数和小于13”13”随机试验而言的随机试验而言的. .A 六六、 事件间的关系及运算事件间的关系及运算BA1 1、事件的包含与相等、事件的包含与相等 如果事件如果事件A A发生发生例如例如

11、: :必然导致事件必然导致事件B B发生，发生， 即即A A中每中每都属于都属于B,B,则称则称A A含于含于B B， 或或B B包含包含A.A.任选一人任选一人, ,测量其身高测量其身高. .记为记为 或或 掷一枚骰子掷一枚骰子, ,记录其点数记录其点数. .个样本点个样本点ABBA1.70,1.80A (1.65,2.2 )B AB 22,4,6事件的相等事件的相等: :若若且且则称事件则称事件A A与与B B相等相等. .例如例如: : 掷一枚骰子掷一枚骰子, ,记录其点数记录其点数. .A= “点数小于点数小于3 ” 记为记为ABABABBAB1, 2A AB B2 2、事件的和（并）

12、、事件的和（并）设设A A、B B为两个事件，为两个事件，例例 掷骰子掷骰子= “= “点数小于点数小于3”3”= “= “掷出偶数点掷出偶数点”=“=“点数小于点数小于3 3它是由它是由A,BA,B中一切样本点中一切样本点则事件则事件 即事件即事件 称为称为事件事件A A与与B B的和的和记为记为或或共同组成的集合共同组成的集合. .“A“A发生发生或者或者B B发生发生”或者为偶数或者为偶数”“A“A与与B B至少一个至少一个发生发生”( (并并) )1,2,4,61,2A 2,4,6B ABABABABn n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n表示这表示这 n n个事件个

13、事件可列个事件可列个事件A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,nnA 表示这可列个事件表示这可列个事件 niiA1或或 1nnA或或的和记为的和记为的和记为的和记为至少有一个至少有一个发生发生.一般地一般地, ,至少有一个发生至少有一个发生. .A A1 1A A2 2A A3 3A A4 41niiA12.nAAA12.nAAA3 3、事件的积（交）、事件的积（交）则事件则事件A AB B AB它是由既属于它是由既属于A A又属于又属于B B例例 掷骰子掷骰子=“=“小于小于3 3的偶数点的偶数点”即事件即事件称为事件称为事件A A与与B B的积的积( (交交). ). 设设A A、B

14、B为两个事件，为两个事件，“A“A与与B B都都发生发生”= “= “点数小于点数小于3”3”= “= “掷出偶数点掷出偶数点”1,2A 2,4,6B 2ABAB的样本点构成的集合的样本点构成的集合. .记为记为AB或或AB“A“A发生发生且且B B发生发生”, ,n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n表示这表示这n n个事件个事件可列个事件可列个事件A A1 1,A,A2 2,A,A3 3, , 表示这可列个事件表示这可列个事件同时同时发生发生. .niiAnnA 的的积积( (交交) )12.nAAA的的积积( (交交) )或或12.nA AA一般地一般地, ,同时同时

15、发生发生. .记为记为记为记为4 4、事件的差、事件的差则事件则事件 例例 掷骰子掷骰子它是由属于它是由属于A A=“=“掷出偶数点掷出偶数点”= “= “点数小于点数小于3”3” = “ = “不小于不小于3 3的偶数点的偶数点”ABA-B两事件的差具有性质两事件的差具有性质: : 设设A A、B B为两个事件，为两个事件，“A“A发生但发生但B B不发生不发生”称为称为事件事件A A与与B B的差的差. .记为记为但不属于但不属于B B 的样本点构成的集合的样本点构成的集合. .ABAABABAB4,6A2,4,6B1,25 5、互斥、互斥 事件事件若事件若事件A A与与B B这时这时A

16、A与与B B没有公共的样本点没有公共的样本点. .例例 掷骰子掷骰子. .= “= “点数小于点数小于3”3”= “= “点数大于点数大于4”4” A,BA,B互斥互斥. .不同的基本事件不同的基本事件不能同时发生，不能同时发生，则称则称A A与与B B互不相容互不相容或或互斥互斥即即1,2A 5,6B 12 13 14.AB 是互不相容的是互不相容的. .（互不相容）（互不相容）AB 如果如果n n个事件个事件如果可列个事件如果可列个事件则称这则称这n n个事件互不相容个事件互不相容A1A2IA A3 3A A4 4A A5 5中的任意两个中的任意两个即即中任意两个中任意两个则称这则称这可列

17、个事件互不相容可列个事件互不相容或或互斥互斥. .或或互斥互斥. .都不相容都不相容, ,都不相容都不相容, ,nA AA12,.,jiAA ij )jin( ,1,2,., ,A A A123,.6 6、对立事件、对立事件它是由样本空间中它是由样本空间中A记为记为则事件则事件 例例 掷骰子掷骰子= “= “点数大于点数大于3”3”= “= “点数不大于点数不大于3”3”的对立事件是的对立事件是对立事件满足关系对立事件满足关系: :A AAAA 设设A A是一个事件是一个事件, ,即即“非非A”A”称为称为A A的的对立事件对立事件. .不属于不属于A A的所有样本点的所有样本点构成的集合构成

18、的集合 , , , , , “A “A不发生不发生” 这事件这事件不发生不发生, 就是就是A A发生发生, , 即即故称故称A A与与 互为对互为对立事件立事件.“A“A不发生不发生”，A A A4,5,6A , , AAAAA AA AA,两个对立事件两个对立事件两个不相容事件两个不相容事件例如例如 掷骰子掷骰子A A与与B B不相容不相容. .但但A A与与B B不是对立事件不是对立事件. .A A AA , , , , , 1,2A 6B = “= “点数小于点数小于3”3”AB 3,4,5,6BAB AA 一定不相容一定不相容. .未必是对立事件未必是对立事件. .AB AA AA A

19、A 例例 1) A,B1) A,B都发生都发生, ,AB或或 2) A,B,C2) A,B,C至少有一个发生至少有一个发生. .3) A,B,C3) A,B,C恰有一个发生恰有一个发生. .AB C4) A,B,C4) A,B,C最多有一个发生最多有一个发生. .ABC5) A,B,C 5) A,B,C 都不发生都不发生. .6)6)恰有两个事件发生恰有两个事件发生7)7)最多有两个事件发生最多有两个事件发生ABC8)8)至少有两个事件发生至少有两个事件发生ABABC 试用试用A,B,C A,B,C 表示下列事件表示下列事件: :C C不发生不发生. .CABCABCA CBCA BAB CA

20、 CBCA B或或A BB CC AA B C或或ABCAB CCABACBAB CCABACB或或BCCAABC* 设设A,B,CA,B,C为三个事件，为三个事件，7 7、完备事件组、完备事件组2A3A1AnA此时此时, ,当当n=2n=2时时, ,例如例如, ,样本空间为样本空间为: :构成一个完备事件组构成一个完备事件组. .如果如果n n个事件个事件12,.,nA AA两两两两且且12.nAAA 不相容不相容, ,则称则称12,.,nA AA是是完备事件组完备事件组. .12,.,nA AA必有一个发生必有一个发生, ,且仅有一个发生且仅有一个发生. .任选一个人任选一个人, , 调查

21、其生日调查其生日. .,.,.,.,1.1 1.21.313.13,.2.1 2.22.291,.,2.11.312.31 “ “生日在生日在 月月” ” i表示表示 iA1212,.,A AA12,AA 12A A 互为对立事件互为对立事件. .12,AA1A2A在每次试验中在每次试验中, , 1nnA如果可列个事件如果可列个事件两两两两不相容不相容,则称这可列个事件则称这可列个事件是是完备事件组完备事件组. .且且此时此时, ,必有一个发生必有一个发生, ,且仅有一个发生且仅有一个发生. .在每次试验中在每次试验中, ,12,.,.nA AA12,.,.nA AA七、随机事件的运算律七、随机事件的运算律(1) (1) 交换律交换律(2) (2) 结合律结合律(3) (3) 分配律分配律ABCABCABAB AB ABABAB ABAB ()ABCABC ()()ABC()ABCABC()AB C()A BC ABC ABC ()AC ()BC ABC ()AC ()BC ABC ()()ABC (6) (6) AB(4) (4) 否定律否定律(5) (5) 对偶律对偶律ABAABABiiA iiA iiA iiA ABAB AB ABAA 等等等等. .A B BA AAAAAAAAAAAA A AA AA ABA()AB