最新九上教师相似三角形讲义

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1、精品文档第1讲 相似图形与成比例线段【学习目标】1、 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形概念。2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与另外两精品文档条线段的比 相等，如果 简称比例线段。,那么就说这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段,例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例?43解：这四条线段是成比例线段8 6练习一：A b 4占占AB CD A

2、C AC1 如图所示：（1 ）求线段比 BC、 DE、BE、CD（2 ）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度分别是 30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例?3、线段a、b、c、d的长度分别是.2、2、6判断这四条线段是否成比例?4、 已知A、B两地的实际距离是 250m若画在图上的距离是 5cm,则图上距离与实际距离 的比是5、已知线段 a= 、b = 2 + J3、c= 2 - J3、若旦=，则 x =若匕=工（y 0 ），2b xy c贝 y y =6、下列四组线段中，不成比例的是（）A a=3 b=6 c=2 d=4 B a=1 b= 一 2 c=3

3、d=、_ 6C a=4 b=6 c=5 d=10D a=、, 2 b=、3 c=2 d=、6知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：a c（1） 基本性质：如果，那么ad = bc （两边同乘bd， * bd = 0）b d 在abed =0的情况下，还有以下几种变形合比性质：如果-，那么a 二 bc 二 db dbd(2)（3） 等比性质：如果色=，胡H =mbd仃川| “8,那么 b d fnabc_ a 2b 3c2、若一则234a3、已知mx = ny，则下列各式中不正确的是（mxmnymA :B :C -二二nyyxxn）X = y_n ma22b23a

4、 b5a -b1例2填空:如果:，则a =:、 二=、=、:b33ab3b3练习二:a3a b1、已知=求b5a - bx4、已知 5x 7 y = 0，则一=y5、已知，求345 x y -z精品文档EKKFABAC求FK的长？活动2平行线分线段成比例定理推论第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1. 理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“S”表示相似三角形，如厶ABC s ABC ；2. 知道相似多边形的主要特征3. 会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】掌握平

5、行线分线段成比例定理应用.运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线11 , 12,再画三条与l 1 , 12相交的平行线丨3,丨4,丨5.分别 量度13 , 14, 1 5.在1 1上截得的两条线段 AB, BC和在12上截得的两条线段 DE, EF的长度，AB:BC与DE： EF相等吗？任意平移I 5 ,再量度AB, BC, DE, EF的长度,AB : BC与DE： EF相等吗?(2) 问题，AB： AC=DE (), BC： AC=( ) : DF.强调“对斗应线段的比是否相等”再E(3) 归纳总结：

6、平行线分线段成比例定理三条_截两条直线，所得的_线段的比。厂*27. 1应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例 1 如图、若 AB=3cm BC=5cm EK=4cm 写出思考：1、如果把图27.2-1中1 1 , 12两条直线相交，交点A刚落到1 3上,如图27.2-2 (1),所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么?EF Z7.2 2精品文档BDBE 3DC EA 2 EA10EA= 3例2如图，在 ABC中，DE/ BCAD=EC DB=1cm AE=4cmBC=5cm求DE的长.分析：由 DE/ BC可得 AD3A ABC再由相似三角AD AE形的性质，有 AD二,又

7、由AD=EC可求出AD的长，再AB AC根据=求出 DE的长.BC AB解：巩固练习1. 如图，在 ABC中，DE/ BC AC=4 , AB=3 EC=1.求 AD和 BD.2、 如果把图27.2-1中l i , 12两条直线相交，交点 A刚落到丨4上，如图27.2-2 （2）,所得 的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移15 ,再量度AB, BC, DE, EF的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的对应线段成比例 3、归纳总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的 一对应= 线段_成比例_。例 1:如图在:ABC

8、 中，.C =90，DE _ BC,BD =3cm, DC =2cm, BE =5cm 求 EA 的长解：；C =90 D E_ BC.AC/DEB D BED C 一 EAt BD = 3cm D C 2 c,m BE5 c m精品文档2如图，在 口 ABCD中, EF/ AB, DE:EA=2:3 , EF=4,求 CD的长.A口能力提升1如图， AB3A AED,其中DE/ BC找出对应角并写出对应边的比例式.1题图2. 如图， AB3A AED其中/ ADEN B,找出对应角并写出对应边的比例式.归纳判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来

9、三角形相似。 这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中, 常作平行线构造三角形与已知三角形相似.练习2:1 如图，在 Rt ：ABC 中， C =90 , DE 丄AC 交 AB 于 D，交 AC 于 E,如果 DE=5, AE=12 ,AC=28.求AB的长E2、在 ABC中，DE/BC,交AB于D，交AC于E, F为BC上一点，DE交AF于G,已 AG知 AD=2BD, AE=5，求(1); (2) AC 的长AF3、如图：在ABC中，点D、E分别在AB、AC 上，已知 AD=3，AB=5，AE=2，EC=-，34、由此判断DE与BC的关系是A如图：A

10、M : MB=AN : NC=1 : 3,则,理由是MN :BC=AC=5，BC=3，求：AE :範5题图5、如图：在 ABC中，三C =90，四边形EDFC为内接正方形,DF的比值。AD 2，且 AC= 10,求 AEDB 36、在 ABC中，D、E分别在 AB、AC上，且DE/BC，如果洞他阁 c及EC的长。7. 如图，DE/ BC, (1)如果 AD=2 DB=3 求 DE:BC的值;(2)如果 AD=8 DB=12 AC=15 DE=7 求 AE 和 BC的长.5米的位置上，求球拍击球8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 的高度h.（设网球是直线运动）第3讲 相似多

11、边形【学习目标】i知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。2会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】探究研讨活动1观察，图27.1-4(1)中的 ABC是由正 ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们 的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、 相似形定义：具有相同形状 的图形称为相似形2、 相似多边形：对应角 相等，对应边成比例的多边形叫相似多边形3、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相

12、等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。3 【结论】：(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角 ，对应边的比 反之，如果两个多边形的对应角 ，对应边的比 ，那么这两个多边形.几何语言：在ABC和ABQ中若A = A ; _ B = Bi; _ C = C1 .ABBC ACA1 B1B1C 1A1C1则ABC和A1B1C1相似(2)相似比：相似多边形 的比称为相似比.问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形 ，因此形是一种特殊的相似形.例题）.所有的矩形都相似所有的正方形都相似例1、（选择题）下列说法正确的是（A.

13、所有的平行四边形都相似BC.所有的菱形都相似D分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相 似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形 不一定都相似，故 C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所 有的正方形都相似，故 D说法正确，因此此题应选 D.例2、如图：已知，四边形 ABCD与四边形 A BC D 相似，求BC , CD长和.D大小解:四边形ABCDli四边形A B C D.A- A =150D =360 - 15

14、06075 严 75BC AB C D口 BC 5 CD即BC AB CD84525BC =10 CD254 巩固练习11. 在比例尺为1 : 10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离.2如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么?3如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度.4如图，四边形 ABC刖EFGHf似，求角：和一：的大小和EH的长度x .4M3练习2:1下列说法正确的是()A任意两个菱形一定相似B任意两个矩形一定相似C有一个角是30的两个等腰三角形相似D任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知NAOB=26，在放大镜里看到的 ZAOB的

15、度数是3、 在 ABC中，BC= 15cm, AC = 45cm,AB= 54 cm，另一个与它相似的三角形最短边是5cm,则最长一边是 4、用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大 10倍后，下列说法正确的是()A . A是原来的10倍B周长是原来的10倍C每个内角都发生了变化D以上说法都不对5四边形ABCD与四边形A BCD 相似图形，且A与A、B与B C与C 是对应点，已知AB = 10、BC= 8、CD =8、AD =6、ABJ30，求四边形 ABCD的其余三边的边长及周长。AB6正五边形ABCDE S正五边形 ABCD E，且2，若CD =6，则CD =AB相似多边形对

16、应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5:如图：在等腰梯形 ABCD中，上底为5,下底为13,腰长为5，等腰梯形 AB C D 与3它相似，相似比为 3，求等腰梯形 ABCD的周长及面积。2解： 由已知得 AB = 5、AD = BC= 5、 DC = 12-等腰梯形ABCD的周长为5+5+5+12 = 28等腰梯形ABCDs等腰梯形 ABCD设等腰梯形ABCD 周长为I，则有I381I即 等腰梯形ABC D的周长为4227 22B 分别作 AE DC、BF DC贝U EF = AB = 51DE = CF =13-5 =42在 Rt ADE 中，AD =5、DE =4

17、.AE=3等腰梯形ABCD的面积为5 133 1 = 27V等腰梯形ABCD s等腰梯形ABCD设等腰梯形A BCD 面积为S,则有S3 2=1S= 60 即等腰梯形3ABCD 的面积为60-27244练习3:1、已知多边形 A与多边形B相似，且多边形 A与多边形B的周长比为1 : 3，则Sb： 3 =2、 已知两个相似多边形的相似比为5: 7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是3、 两个相似多边形的最长边分别是70和28,它们的周长和为280，则它们的周长分别为34、 如果把一个12 cm 21 cm的矩形按相

18、似比为进行变换，得到的新矩形的周长为4面积为25、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm和4cm,它们的面积相差 28cm ,求这两个多边形的面积分别是多少？知识点五：相似三角形 1相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的判定方法：(1) 判定方法一：定义判定(2) 判定方法二：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边反向延长线)所构成的三 角形与原三角形相似 例题 6：如图：DE/BC，交 AB 于 D、交 AC 于 E,若 AD : DB = 2:3, BC=15,求 DE 的长解：DE/BC ADE ABCAD : DB = 2：3DE

19、 : BC = 2 : 5BC= 15DE = 61、如图：DE/BC，则图中s,理由是第1题图练习题4:2、如图：AB/EF/DC，则图中相似三角形有 对，它们分别是 AE= 4cm、BC = 5cm,求 DE 的长4、如图：AB/CD, OA: OD = 1: 2, AB = 4cm,贝U CD 的长为 （）A 2 cmB 6cmC 8 cmD 10 cm5、 如图：AB/CD，则图中有 对相似三角形啥5坯m第4课时相似二角形的判定【学习目标】1. 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定方法的判

20、定方法，2 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.【学习重点】 掌握3种判定方法，会运用 3种判定方法判定两个三角形相似。【学习难点】(1 )三角形相似的条件归纳、证明；(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.【学习过程】知识回顾(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1活动11、如图，如果要判定 ABCM A B C相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和 对应边的关系？2、 可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角 形的三条边对应的比相

21、等，来判定两个三角形相似呢？活动2任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k倍, 度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。(1)问题：怎样证明这个命题是正确的呢？(2 )探求证明方法.(已知、求证、证明)如图 27.2-4，在 ABCA A B C中，AB BC CA4A B 一 B C 一 C A 求证 ABCA A B C证明：【归纳】三角形相似的判定方法 1那么这两个三角形相似.如果两个三角形的三组对应边的比相等,AB. . BC_ AC _判定方法2:如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对

22、应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。三角形的定义得出关于长.解：例题2：如图:BC 平分 ABD , AB = 4、BD = 10、BC = 2 10，求证 ABC CBD1例 1 已知：如图，在四边形 ABCD中，/ B=Z ACD AB=6, BC=4, AC=5, CD=7 求 AD的 2长.分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明.计算得出AB CDC厂人。，结合/ B=Z ACD证明 ABg DCA再利用相似CD ACAD的比例式 二，从而求出 AD的证明：BC平

23、分.ABD12:AB = 4、BD = 10、BC = 2 10AC ADBC _ 2 .10 _ ,10BD 一 10 一 5. ABC s CBD三角形相似的判定方法 3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：“两角对应相等，两个三角形相似”若.A 二.A，. B = . B则：ABC A BC直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。简单说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。AC AB 若：贝U ABC A BCAC AB例3.已知：如图，

24、矩形 ABCDh E为BC上一点，DF丄AE于 F,若AB=4, AD=5 AE=6求DF勺长.（分析：要求的是线段 DF的长，观察图形，我们发现 AB AD AE和DF这四条线段分别 在厶ABEA AFC中,因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例， 从而求得DF的长.由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似.）巩固练习1 、填一填(1)如图3，点D在A吐，当/ =Z时, ACDA ABC(2)如图4，已知点E在ACh,若点D在A吐，则满足条件，就可以

25、使 ADE与原厶ABCf似。A图3A图42。判断 ABC与 ABC 是否相似并说明理由。ZA =100AB = 5cmAC=15 cmA-100AB-4cmAC-12cm3. 下列说法是否正确，并说明理由.(1) 有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；(2) 有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.4在心ABC和ADEF 中，NA=30 AB = 8cm、AC=10cm、DE=4cm、DF=5cm 当时厶 ABC DE5如图：正方形 ABCD中，P是BC上一点，且6. 如果在厶 ABC中/ B=30, AB=5cm, AC=4cm，在 A B C中，/ B =30 A B =10cm, A

26、 C =8 cm,这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？7. 如图， ABC中，点D、E、F分别是 AB BC CA的中点，求证： AB3A DEF28（1）如图， ABC中，点D在AB上，如果AC=AD?AB那么 AC与 AB（相目似吗？说说你的理 由.C1能力提升1 如图，AB?AC=AD?AE且/ 仁/ 2,求证： AB3A AED2.已知：如图,P ABC中线AD上的一点，且2 _BD=PD?AD（2）如图， ABC中，点D在A吐，如果/ ACD2 B,那么 ACDf AB 似吗?3、在 AB（和 A B C中，如果/ A= 80,/ C= 60,/ A= 80,/ B= 40那

27、么这两个三角形是否相似？为什么?EFFD .AF4、已知：如图， ABC的高AD BE交于点F.求证：BF5. 已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证： ABCA ADE第5讲相似三角形的性质知识点六：相似三角形的性质：相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比解：DE/BC例题 1: ABC与 ADE 相似，CE = 15、AE= 30、DE= 40、AD = 20、DE/BC,求 ABC 的周长-相似比AE _ AE AC AE CE. ADE ABCCE = 15、AE= 30AE 3 02AC 一 4 5 一 3AE = 30、DE = 40、AD = 20 A D E勺周长为

28、 20+40+30 = 90 设ABC周长为I则有902 I = 135即 ABC的周长为135I 3练习1：1、两个相似三角形的相似比为3: 5,则周长比为 2、两个相似三角形的相似比的平方等于2,周长之比为1k -135cm和15cm,它们的周长差为 60cm,则这两个3、两个相似三角形一对对应边的长分别为三角形的周长分别是4、如图：在 厶ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若 ABC的周长为20cm, 则DEF的周长为 （）A 5 cmB10cm C12cm述4己閨D 15cm5、如图：在梯形 ABCD中，AD/BC, AC与BD相交于O,若 AOD与 COB的周长之比为

29、1: 4，且BD = 12cm,贝U BO的长为cm 相似三角形的性质（2）:相似三角形的面积比等于相似比的平方例题2：两个相似三角形一组对应边的长分别是3cm和4.5cm，若它们的面积和是 78 cm2 ,则较大的三角形的面积是（）2 2 2 2A 42 cmB 52 cmC 54 cmD 56 cm练习2:1、相似三角形的周长比等于 面积比等于 2、已知两个相似三角形的对应边的比为1 : 2则它们的周长比为面积比为3、已知 ABC aBC，它们的周长分别为 56cm、72 cm,则它们的面积比为 4、在比例尺为1: 1000的地图上有一块周长为6cm,面积为1.2 cm的区域，这块区域的实

30、际周长为面积为5、如图：在 ABC 中，DE/FG/BC、且 AD = DF = FB ,则SaDE : S四边形DEGF : S四边形FGCB = 相似三角形的性质（3）:相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线 的比等于相似比例题3:如图：在边长为 2的正方形 ABCD中，E为AB的中点，BM _ CE、MN _ BE,求BM : MN解：T四边形ABCD正方形，边长为 2, E是AB的中点 BE= 1在 Rt BCE 中，BC = 2、BE = 1CE =5过点M作MN _ BEt.EBC=. emb e-e .Rt，BC邑 Rt MBEC E B M X 5B E 一

31、M N 1练习3:1、 两个相似三角形的对应高的比为2: 3,则对应角平分线的比为 ,对应中线的比为,面积比为2、 已知两个相似三角形对应角平分线的比为4: 5,周长和为18cm,那么这两个三角形的周长分别是3、 若厶ABC ABC，它们对应中线之比为m,则对应周长比为 ,对应面积比为包4屈闻5、如图：在M、已知ABC中，DE/BC、厶ABC与厶ADE的相似比为5: 4, MN = 2,求AN的长。4、如图：在 RUABC中，DE垂直且平分 AC、AE/DF,则DF : BE=第6课时相似三角形应用举例（一）【学习目标】1. 进一步巩固相似三角形的知识.2. 能够运用三角形相似的知识，解决不能

32、直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度 问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题.3通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分 析问题、解决问题的能力.【学习重点】 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.【学习难点】 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题【学习过程】知识回顾1、判断两三角形相似有哪些方法 ？2、 相似三角形有什么性质？聲探究研讨1U 、1、问题1:学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？例3 :据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成

33、的两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，如果木杆 EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m,求金字塔的高度BO .（思考如何测出 0A的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下， 竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形， 再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.解：巩固练习在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影（在同一时刻物体的高度长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米与它的影长成正比例.）探究研讨2已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m ,两树根部的距离 BD

34、 = 5m. 个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路I从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?解:注意：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题,图形可以滞后给出，先经历这一抽象的过程如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难，应与老师一起认真板书解答过程. 经典例题例题1小强用以下方法来测量教学楼AB的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离 EA=21m，当他与镜子的距离 CE=2.5m

35、时，他刚好能从镜子中看到教学大 楼的顶端B,已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB为多少米？ 解：由题意可知BEF DEF、 AEF CEFBEA 二 DEC:AB _ AC C D_ ACBAE DCE =90BEAL DCEAE CE AB DCL- EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6m-AB=13.44m即教学大楼的高度 AB是13.44m例题2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P,在近岸取点Q 和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接 着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的

36、交点R.如果测得 QS = 45 m , ST = 90 m , QR = 60 m , 求河的宽度PQ.f a分析：设河宽PQ长为x m，由于此种得到相似三角形，因此有PQ _ QR PS 一 STx 60x 4590再解x的方程可求出河宽.解:例题3:小强用以下方法来测量教学楼AB的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离 EA=21m，当他与镜子的距离 CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B,已知他眼睛距地面的高度 为多少米？解：由题意可知BEF DEF、 AEF CEF BEADEC:AB _ AC C D_ AC BAEDCE=90 BEAL DCEAE

37、 CEAB DCDC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度ABT EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6m-AB=13.44m即教学大楼的高度 AB是13.44m练习：1、已知如图：AB为树、AC是它的影长,AD是一段树干,AE=2m、AD=1.5m,求树高 AB 的长AD的影长为AE , AC=8m、AEC第1题图测量方法构造了三角形中的平行截线，故可2如图，测得 BD=120 m , DC=60 m , EC=50 m，求河宽 AB。(HUE)能力提高1为了测量一池塘的宽 AB,在岸边找到了一点 C,使AC丄AB，在AC上找到一点D，在BC 上找到一点 E,使DE丄AC，测出 AD

38、=35m , DC=35m , DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗？CB第1题图2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米.第2题图3、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB的高度为1.2米,(1) 若吊环高度为2米，支点A为PQ中点狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？(2) 若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下，移动支柱，当支点 A移到PQ的 什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?

39、4某社区拟筹资金 2000元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木，如图：他们想在；AMD和 BMC地带种植价格为10元/m2的太阳花，当.AMD地带种满 花后已经花了 500元，请预算一下，若继续在.：BMC地带种植同样的太阳花，资金地否够第4题图用？并说明理由。5、李乐同学要在校园里测量一棵大树的高度，他发现树旁有一根高 2.5m的电线杆，当他与大树和电线杆站在同一条直线上时，其前后距离，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平距离为3m,电线杆与树间的水平距离为10m，同时他借助他1.7m的身高，确定了树的高度，你能分析

40、他是如何计算出来的 吗？6、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先 测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？第8课时位似（一）【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图.【学习难点】利用位似将一个图形放大或缩小.【学习过程】探究研讨活动1提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片

41、放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征?图 27.3-2通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形这个点叫做位似中心这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.）知识点八：位似1、位似的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形。交点叫做位似中心。每对位似对应点与位似中心共线；不经过

42、位似中心的对应线段平行2、位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或_k例题1：已知：EFH和.MNK是位似图形，请找出位似中心 A1例2:把图1中的四边形 ABCD缩小到原来的.2分析：把原图形缩小到原来的1, 也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形2各对应顶点到位似中心的距离之比为1:2作法一：(1 )在四边形 ABCD外任取一点 0;(2) 过点0分别作射线 0A, OB , 0C

43、, 0D ;(3) 分别在射线 0A , 0B , 0C, 0D上取点A、B、C、D；0A 0B 0C 0D 1使得0A 0B 0C 0D 2(4 )顺次连接 AB 、BC 、CD 、D、，得到 所要画的四边形 A B C D如图2.ffl2问：此题目还可以如何画出图形？作法二：(1)在四边形ABCD外任取 一点0;(2) 过点0分别作射线0A , 0B ,0C, 0D ;(3) 分别在射线0A , 0B , 0C , 0D 的反向延长线上取点 A 、B、C、D 使得0A 0B 0C 0D 10A 0B 0C 0D 2(4) 顺次连接A B 、B C 、C D、D A,得到所要画的四边形 A、

44、B C D如图3.作法三：(1)在四边形 ABCD内任取一点 0;(2) 过点0分别作射线 0A , 0B , 0C, 0D ;(3) 分别在射线 0A , 0B , 0C, 0D 上取点 A 、B 、C 、D ,0A 0B 0C 0D 1 使得0A 0B 0C 0D 2(4) 顺次连接A B 、B C 、C D 、D A ，得到所要画的四边形 A B C DA图4如图4.(当点0在四边形ABCD的一条边上或在四边形 ABCD的一个顶点上时，作法略可以让学生自己完成)例题3:如图：五边形ABCDE与五边形A B则为（D ）ABA 2:3 B 3:2C 1:2例题4：二ABC三个顶点坐标分别为A

45、 -6,6、B -8,2、C -4,0、画出它的以原点为位似中心，相似比为解：相似比为1丄的位似图形。2-2点A的对应点A的坐标为 -6 -,6 -I 22类似的可以确定其他顶点的坐标Bi 8 -,2 -I 22丿,0即-4,1 C 一4 丄I 2即 -3,3相似比为-2.点a的对应点a 的坐标为i即 3,-3类似的可以确定其他顶点的坐标B 4,-1C 2,03、运用位似图形的有关概念解决具体问题32dm,上下各空白 1dm ,例题5:印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是两边各空白0.5dm，设印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为 Sdm2(1 )求S和x的关系式；(2

46、) 当要求四周空白处的面积为 18dm2 ,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?(3) 在(2)的条件下，内外两个矩形的位似图形吗？说明理由。解：(1 )印刷部分是矩形 ABCD :长为x，面积为32dm2宽为丝dmx矩形ABCD的长为 x 2 dm，宽为(2).S 二 x H 332V x 丿当 S=18 时，则 l64 x 2 x解得 Xi = X2 = 8，即 x = 832.x 2 =10,1=5x即用来印刷这张广告的纸张长为10dm，宽为5dm(3)内外两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都经过矩形中心, 如图所示巩固练习11 画出所给图中的位似中心.2把右图中

47、的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.E能力提升1. 已知：如图， ABC，画 A B ,C 使厶A B ABC，且使相似比为 1.5，要求(1) 位似中心在 ABC的外部；(2) 位似中心在 ABC的内部；(3) 位似中心在 ABC的一条边上；(4) 以点C为位似中心.练习2:位似图形(填“是”或“不是”)1、如图： ADE ABC ,ABC与 ADE2、利用位似图形 可以将一个图形 或3、下列说法正确的 （）A相似的两个正五边形一定是位似图形C两个位似图形一定是相似图形4、 两个全等三角形（）A 一定是位似图形C不一定是位似图形5、 下列说法正确的是（）A两个位似图形一定是全等形B两个大小不

48、同的正三角形一定是位似D所有的正方形都是位似图形B 定不是位似图形D只能是位似图形B两个位似图形的对应点连线有可能不相交C两个位似图形的对应点连线的交点的个数有且只有一个D两个位似图形大小肯定相等6、用放大镜把 ABC放大3倍后，下列结论正确的是（）A . A是原来的3倍B周长是原来的3倍C面积是原来的3倍D A、周长、面积都是原来是3倍练习3： 1、 四边形ABCD与四边形 A BCD 是位似图形，0是位似中心若 OA : OA = 1: 3,那么AB: AB=2、 如果两个多边形的位似比为1 : 2,那么它们的面积是（）A 1 : 2B 1 : 4C 1 : 1D 1 :2第3题图3、如图

49、：四边形ABCD与四边形A BC D堤位似图形、且PA: PA = 2 : 3,若四边形ABCD 面积为24cm2,则四边形 ABCD 的面积为22A 36 cmB 40 cm22C 54 cmD 48 cm2倍，小矩形的面积是 5 cm2，大矩形的长4、大矩形的周长是与它位似的小矩形的周长的为5cm,则大矩形的宽为15如图：五边形ABCDE和五边形ABCDE 是两个位似图形、且PA PA，则屈AB3BD E第5题图练习4:1、如图：若边长为 2的正方形ABCD和ABCD是以点A为对称中心的中心对称图形, 则点c 的坐标为 （）A -2,2B 2,-2C -2,-2D -1,-22、 如图：A

50、ABC缩小后，得到6ABC :则 MBC与6ABC的位似比为 3、 如图：已知E -4,2、F -1,-1以0为位似中心，按比例尺 1： 2,把 EOF缩小，则 点E的对应点E的坐标为 （）A 2,-1 或 -2,1B 8,-4 或 -8,4 C 2,-1D 8,-44、在坐标系中正方形 ABCE各顶点的坐标分别为 A 1,1、B -1,1 C -1,-1、D 1,-1，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形 A B C D的边长是原正方形ABCD的边长的3倍。（1）写出A BCD 的坐标；（2）直线AC与直线BD 垂直吗？说明理由。第2题图4-7D6*第3题图练习5：1

51、、如图：点B和点C之间的距离，因有障碍不能直接测量，现测得 AB=25m、AC=20m、 -BAC = 40，试用1: 1000的比例尺画出 ABC，量出BC的长，求出实际的距离。2、3、如图：铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m。当短臂端点下降 0.5m时，长臂端点升高米3、你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗 ？神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。 据史料 记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度,他是怎 样求出金字塔的高度的 ?如图，如果木杆 EF长2m,它的影长FD为3 m，测得OA为201 m,求金字塔的高度 B0。4如图27-2-26，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点 Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点 S且与PS垂直的直线a上选择 适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m , ST=90 m， QR=60 m ，求河的宽度 PQ。5、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高 1 6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C？第5题国