不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

《不定积分(含变上限积分)和微分解题方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分(含变上限积分)和微分解题方法（53页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、不定积分和微分-J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的应用 dxdx注意：f(x)的不定积分为F(x)c= F(x)是f (x)的原函数二f (x)是F(x)的导数,即f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求导得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，则 x =，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)f(x)dx=x2 c，求 xf(1-x2)d

2、x解：对 f(x)dx=x2 c 求导得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x2222 2x2则 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 xcdx，即 f(x)二 1(2) .xfgdxrgx C,求.帀解：对.xf (x)dx 二 arcsinx c两边求导得 xf (x) 口fir x -壮“冷-xQ-x2)2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令：(xt，则 X=，(t)，即 F，(t) = f (t)，/ 2 2例 2( 1) f (sin x)二 tan x，求 f (x)cos2 x 1

3、-t解：令 sin2 x = t，则 cos21 = 1 -t， tan2 x = sin x t即f/(t)诂两边积分的 f (t)二dt二-t1 t_ ln |t _11 c(2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令- X ，则上式为f/二_tf/(-t)-1，即2x由上面两式得 f /(x) = 2x +12x2两边积分得 f (x)二 2dx = 1 n(x 1) c x +1f(0) =0,f (inx：,x0 : x _1，求f(u)(3)设 f (u)在-：:U ：: :内可导，且解：令 In x =t得

4、x = ，0 : et 1et 1f/(t)1te2t0(4)设 y = f (x)在 x处的改变量为:y厶x o(x)(厶Xr 0)，y(0) =1，求 y/(1)1 + x解：由.：yx 0(. ：x)知 y/1 x1 x两边积分得理=得 In y = In(1x) cy 1 x而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=1解：o f (x)dx =xf (x) |xf(5)设 f(x)订半dt，jr0 f(x)dxn si nx ,(x)dx 二二dx -0兀-xjsi nxdx = 2二、已知F(x)是f (x)的原函数二F，(x)= f(x)，求被积函数中含有j ! f (x)dx =

5、 F (x) cf ( ：(x)的积分1、由f (x) =f/(x)求出f(x)，代入积分计算2、把积分转化为.f (x)d(x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函数，a = 0，求x解：因为s是f (x)的原函数，所以f(x)dx =xta xf (ax) dx asin xcx(2) e是 f (x)的原函数，求x2 f (In x)dx解：因为 f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x贝V x2 f (In x)dx - - xdxc2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有f( ;：(x)的积分1、由f (x)求f(

6、：(x)，再把f(x)的表达式代入积分计算2、由f(x)先求.f(x)dx，把含有f(：(x)的积分转化为.f (：:(x)d ：:(x)的形式处理例 4( 1)f (sin2 x) sin x，求j x f (x)dxL - xI解：在(f (x)dx中，令 x=sin . 2 2解：因为(e“)/ 二 f (x)，所以 f (x)二-2xe , f (x)dx 二 e心 cx(x)dx 二 xd f (x) = xf (x) - f (x)dx =-2x2e_x -e c(4) f(x)二 xex，求 f/(x) ln xdx解：.(x) Inxdx 二 In xd f (x) = f (

7、x) Int得.sin21 1 - sin 211 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t) = 2 sin t f (sin t)dt=2 tsintdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因为 sin t = x , cost = 1 - x , t = arcs in . x所以f(x)dx = 2丁1x arcsi门依+2依+。1 -x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22t +1解：令 x2 -1 =t,则 f (t) = In ，而 f (x)H ln xt

8、 13(x)+1x+1则 ln-21 = Inx 即(x) =(x) 1x Tx +1(x)dxdx = x 2In | x -11 cx T2(3) (e)/=f(x)， f / (x)连续，求 xf/(x)dxX - x tX .x=xe lnx_ e dx = xe Inx-e c(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dxf(x)xf (x)解：dx 二 xd|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x c(6)设 f(x)二2x sintdt t1求 0 xf (x) dx解：因为f (x)二，

9、所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二12-xsin x dx1 122sin x dx2 0cosl 1解:1令 2x1212/oxf (2x)dx 二-0tf (t)d- 0tdf (t)二tf /(t).2h|01 2 /-4 0f(t)dt1 2 .1cosx Io 二2 2 2四、利用凑微分法求积分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)f (2)f(2) -f(0)2(2)设f (x)二阶可导,解:b / /af (x)f (x)dxf /

10、(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)设 q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)/解:0 f (x)sin xdx = sin xd f (x) = - o f； (x) cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)-打 f (x) sin xdx因为 0【f(x) f(x)sinxdx =5，所以f(0) - f(二)=5 而 f(J =2，故 f(0) = 7五、已知 F / (x)二 f (x)，且 f (x) F (x)二

11、 g (x)，求 f(x)方法：两边积分F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得号刃二 g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函数，且x_0时，有f (x) F(x) =sin2 2x，又 F(0) =1，F(x) - 0,求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以F，(x)二f (x)，由于 f(x) F(x)二si n22x故 F，(x) F(x)二si n22x，/ 2 1两边积分得 F (x)F(x)dx 二 sin 2xdx dx-1 cos 4xdx =-2 -x sin 4x2 8c1而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故

12、F 2 (x) = x sin 4x c，又 F (0) =1 得 c=14而 F(x) 一0，所以 F(x)=x-sin4x 1 f(x)41 -cos4x,4 x si n 4x 4(2)f (x)连续，且当x * -1时,xf(x) 0f(t)dt 1二xxe + 2，求 2(1 x)2f(x)解:x/令 g(x)二 0 f(t)dt，g (x)x= f(x)，由于 f(x) .0f(t)dt Xxxe2(1 x)2g/(x)g(x) 1=xxe2(1 x)2两边积分得g/(x)g(x) 1dx =x xe2(1 x)2dxx xe葩盹2(1 Fdx Jdx - dx2 1 x 2 (1

13、 x)g(x) 12 二因为g(x)二 o f (t)dt 令 x = 0得 g(0)=0，代入上式c = 0故 g(x二-1，f/(x) =x ex2(1 x)2(3)已知f (x)为非负连续函数，且x 0时,X3f(x)f(x-t)dt =x3，求 f (x)令 x-t=ux提示：因为 0 f (x) f (x-t)dt =六、变上限积分的导数运算f (x) J0 f (u)du，令 g(x) = Jo f (u)du 处理bx/注意：(1)如 F(x)二 * f(t)dt,x a,b，则 F(x)二 b f (t)dt，则 F，(x) = -f(x)如F(x) = fx)f (t) dt

14、，则由复合函数的求导法则有b aF/(x F(u) dU = f(u) (x)二 f :(x)k ：/(x) dxdxWx)c如 F (x) = J 如)f (t)dt，可得成 F (x)=打X)f(t)dt + f9x) f(t)dt，则F，(x)二 f(x) (x)- f (x)/(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)满足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)解：两边求导得 f (x) xf/(x) = x2 f (x)即ff(x)1(x )dxx(2)求一个不恒等于零的连续函数f (x)，使它满足f2(x)x sin t0f(t)dt2 cost解：两边求导

15、得 2f(x)fLx)二 f(x) sinx2 + cosx/sin x 、小f(x) (2f (x)=0sin x2 + cosx因为f (x)是不恒等于零的连续函数，故f/(x)二1两边积分得f (x)=4 + 2cosxsin x 1 ,、dx ln(2 cosx) c 2 2 +cosx 2得f (0) = 0代入上式有c二丄In 322x sin t在 f 1因为 f(1)=1，上式中令 x =1 得 2 f(u)du-f(1) =1223所以 f (x)dx 二M41(2) 求可导数 f(x)，使它满足.f(tx)dt 二 f(x) xsinx(X)二 f (t)dt 中令 x =

16、0,、02 + cost11故 f (x) In(2 cosx) In 32 2注意:(1)上题要充分利用已知条件确定初始条件f(0) = 0(2)定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变 量，然后再求导例8( 1)已知f (x)连续，解：令 2x -t 二 u，则xtf (2x -t)dt =-0x0tf (2x-t)dt 二-arcta nx222f (1) = 1 求 J f (x)dxx2x2x(2x-u)f(u)du =2x f(u)du- uf (u)du2x x x两边求导得：2xx2 x f(u)duXf(x)=1x4即1解：令 tx =u，则

17、p f (tx)dtx0f W)du2x2x122x f(u)du - uf (u)du arctanx2 xx1x2因为 o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf(x) + x sinx两边求导得 f/(x)=-2sinx-xcosx由方程.0et dty +2x2si ntt两边积分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsinx cdt = 1 ( x 0)确定y是x的函数，求3dx解:2对x求导得eyy/ 2sinx0，故 3吋dxey(4)y =y(x)是由 xy x .2/e1 dt = 0确定的函

18、数，求y /xd3解:对 x 求导得 1 _y x)2(y/1) =0故 ye(yx)2 -1y “X2e dt = 0中令x =0时，有1注意：此题确定y的方法(5)设f (x)为已知可导奇函数,g (x)为f (x)的反函数，则 dxx(x)xg(t -x)dtx -f (x) 解：令t -x = u，贝U-f (x)xg(t _x)dt = x 0 g(u)dudx_f(x)所以乔-f (x)/xg(tx)dt 二 0 g(u)du-xf (x) g-f(x)x-f (x)/令 h(x)二 0 g(u)du，则 h (x)二-f (x) g-f (x)=xf/(x)两边积分得 h(x)

19、= xf/(x)dx = xf (x) - f(x)dxdx-f(x)2 /故xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dxdx vx d(6)设函数 f(x)可导，且 f(0)=0, g(x)tnf(xn-tn)dt，求lim弩x 0 x2n解：令 xn -tn =ux 11，则 g(x)=J0tn f (xn tn)dt =匚 f (u)duxn由于 g / (x xn4 f (xn)故 g(x) g/(x) 故!叫丁巳叫齐严1f(xn)=2 丁二丄 limf(xn) f(0)2n x Qnx -0f/(0)2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在

20、相应区间的原函数F(x)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。如果f (x)在分段点x0处连续，则F (x)在x = X。处连续，X +1X 兰 1例 9( 1) f(x) =，求f(x)dx2x x 1x2 解：当 x _1 时， f(x)dx 二(x 1)dxx C122当 x 1 时，f(x)dx 二 2xdx = xC23 11因为 f (x)dx在x =1处连续，故1 c2c1，即c2Cic2222x一 + X +c X 兰1所以 f(x)dx 二 22 1XC X 11 2(2) max(1,x2)dx1一 1兰x兰1解：maX 1, x2) = * x2 x a 12 .

21、X X T当 一1 _x 一1 时，max(1,x2)dx = dx = x y2 2x3当 x 1 时，ma1,x)dx= x dxC23x3 当 x -1 时，ma1,x )dx = x dxc33求满足F(1) =1的原函数1 2 由于 1 = F =lim F (x)，即 1-1 C1C2 得 0=0，C2 =i3312又由于 F (-1) = lim F (x)，即 TC3 得 C3 :xt332 X3 max(1,x2)dx = 33x(3)xdx ( x_0)解：分别求出在区间n,n 1 ( n二0,1,2,3)上满足F (0) = 0的原函数在n, n 1上，xdx = nx

22、cn , F (n 1) - F (n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1， F (x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T2 3 n (n 1)(x - n -1) c = (n 1)(x-1) c2八、分段函数的变上限积分cosx例 10( 1)f (x)=!cJI0 二 x 二一2Ttx - 2x求(x o f (t)dt，并讨论(x)在0,二的连续性解：当Xx近时,xxit当 x乞二时,2(x) = f(t)dt 二 costdt =sinxX二兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I . cdt =12(x)在

23、0, ),(，二上连续，在x 处，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 15x2xj xj故(x)在x 处连续2(2)f(x)二解:COSX0 _ x _ 2x，求 tf (x -t)dt令 X -t =u ,则 tf (x-t)dt = x 0 f (u)du - ouf (u)du此时此时ji-x 时,2XX0 f (u) du 二 o cosudu 二 sin xXouf (u)du 二 o u cosudu 二 xsin x cosx -1XJf (x t)dt =1 - cosxji时，2x0f(u)duX0uf(u)

24、duX30tf(x-t)dtU-X:!二 72cosudu 亠 I , (u - /du2Xx228JI二 02ucosudu 亠 i ,(u - -)udu1 1)x 848Tt12n n14482九、积分估值b估计积分.f (x)dx的值a方法：(1)令 y = f (x), x a,b(2) 求y/ = f / (x)，确定f / (x) = 0和f/ (x)不存在的点(3) 在a,b上确定y = f (x)的最值b(4) 利用 m(b - a) f (x)dx _ M (b - a)估计积分值a2 2例11估计积分值ex心dxs1令 y/ =0，得 x =21 丄2因为 f (0) =

25、 1 , f( )=e 4 , f =e2，故 e 4 辽 y 乞 e22丄 222所以2e 4 乞 ex dx 2e20bb十、形如 f (x) = g(x) h(x) f (x)dx 的等式，求 f (x)和f(x)dx aL ab方法：(1)令 f (x)dx 二 AL abbb(2)两端积分 & f(x)dx = A g(x)dx 亠 I Ah(x) dxbb得 A g(x)dx A h(x)dx,求 A的值 aa(3)把A的值代入原式求 f(x)1 2例 12 设 f (x)二 x x2 f (x)dx x3 f (x)dx，求 f (x)解：令1 2of(x)dx=a,f(x)dx

26、=b则f (x) = x ax2 bx3两边积分f (x)dx(x ax2 bx3)dx =丄 -00234即8a -3b =6两边积分22238ao f (x)dx(x ax2 bx3)dx = 24b3即8a 3b =62 3x23故 a ，b = 1，即 f (x)二 x - x88十一、已知函数 f (x)在a,b上的形式，求f (x)(2)对(X)两边积分得f (xF(x) c(3)取d a, b，由已知条件求f(d)的值确定c例13( 1 )设0沁 ，求f(x)二2sin2 xarcs in tdt+ o2cos xarccos tdt解：两边求导得f/(x) =XS in 2x

27、XS in 2x =0，所以f (x) =c( c为常数)又因为当x = 0时,1厂f (x) = J0 arccos Jtdt1 t0.1tdt4所以 f(x)=43(2)设 x 0，dt+ xJ n1 t2dt ，求 f(x)解：两边求导得f/(x)二 11 x2 -0，所以f(x) =c( c为常数)12x又因为当x =1时,1 1f(x) =2.,01 t2dt所以f(x)v231 y十二、例 14 已知(dx 亠 I ydx 亠 I y dx 亠 i y dx)ydx = -1，求 x = f (y).1 y解：因为(dx 亠 I ydx 亠 I y2dx 亠 i y3dx) -_

28、dx 二-1 1 y所以 dx 亠 iydx 亠 iy2dx 亠 i y3dx1 -y1/两边对x求导得1 y y y1 -y41 -y4dx)2故(严dx)2)2 即1 - y1 - y1 -y1 -y1-y4当1 - V ,人1 - y/4时，令u(x)4,则f(x)二u(x)，此时两边积分得1 - y1 - yu(x)二Cex 而 u(x),即 x - -In(1y y y ) c同理（略）十三、计算 b1、如果I令x -a b2I f1(x)f2(x)dx 二 A- a4 所以 Cexl-V41 - y1 - y23C(1 y y y )b=2(x)dx23例15 I解:(1 xp)(

29、1 x2)dxX = 1,即卩 dx =! dttt2(1 xp)(1X2)dx =1 -V(V)dt 丄) t2)t2所以2I2形如.02-be(1 xp)(1X2)dx-boxp(1 xp)(1 x2)dx 一 :dx :01x22dx1 tan 一 x的积分，令n-x，然后相加处理2005cos x dx2005 丄.2005 cos x s in x解：令tx，则 dx = -dt2cos20052005门cos X 102005dx = Jx sin x2005COSdt2005 /兀 4、丄2005 兀cos ( t) sin ( t)2 22005丄sin tcos2005 ts

30、in 2005 1 dtcos2005 xdx 2sin 2005 x2005 丄2005cos x s in xjidx =2故1兀_ 43、形如Asin x Bcosx , dxCsin x D cosx所以-02005 亠2005cos xs inx22I工令 Asin x Bcosx 二 a(Csin x D cosx) b(C sin x D cosx)确定 a, b例 17 (1)3sin x -4cosx , dx sin x 2cosx解：令 3sin x -4cosx 二 a(sin x 2cosx) b(sin x 2cosx)/比较上式两端得丿3即 a1，b22a + b

31、 = -43sin x -4cosxsin x 2cosx(sin x 2cosx)/ ,dxdx - 2dxsin x 2cosxsinx 2cosxsinx 2cosx=-x -2 ln | sin x 2cosx | c(2)sin x3sin x 4cosxdx解：令 sin x 二 a(3sin x 4cosx) b(3sin x 4cosx)/比较上式两端得3 即a，b 彳冷a+3b=02525sin x3sin x 4cosx,3 3sinx+4cosxdx 二4 (3sin x 4cosx)/dx -25 3sin x 4cosx 25 3sin x 4cosx 34x In

32、13sin x 4cosx | c2525dx4、利用公式a sin 2 x bcosdxxsec2 xdta nx处理atan2 x b例182 ndx3sin 2 x 4 cos2 xdx解: 02 3sin2x 4cos2x7122sec x4 3ta nxdV=23n 2 0d V3ta nx/J3tanx1 ()2dta nx彳丄/3tanx、?1 ( )= arctan(“穿乂)临2、323:125、利用竽dx e1 xk1 -k的分母次数降低一次例19x/八 xe ,(1)2 dx(1 x)2解:因为x xe(1 x)2dx1 -kkdx计算，每用一次分部积分法，被积函数xdx-

33、1 x (1 x)dx2 dx (1 x)2exd（亠二xe1 xx xe2 dx (1 x)2-sin x esin 2x , dx4： xsin ()JI1 -COS( _x)“ 2解: sin4(x)=22 Jsinx)4224_sin xes雪d(s inx) Sin xesi n2x则dx =： 8sin 4(二-x)(1si nx)3 2t t令-sinx = t，则原式=8edt(1+t)2ttsin x由上式知8丄Ldt生，原式=竺，(1+t)21+t1 -si nx6、当f (x)在_a,a上可积，则a=0 f(x) f (-x)dxa1 af (x)dx f (x) f (

34、-x)dxaa例 20 (1)4dx胃 1 +si nx解：匚1#1 +sin xdx=1.+21 sinx 1 -sinxdx71-4 - sin2 dxx=24n iit4 三 tan x|4二 4 cos x1-(ex 1)(1x2)dx解:1x厂dxJ(ex 1)(1 x2)7、积分(ex 1)(11 x2)1 12dx T x2o f (x)dx，作变量替换t=b-x得I1 bb= 1.0f(x)dx .0f(b-x)dx+(e1)(1 x2)1 arctanx |2b=0 f (b -x)dxdx例 21 (1)n xsin2n xsin2n2nx cos-dxx解:xsin2n

35、x2nsin x cos.2n sin x2nIt2*2n2n sin x cos x所以兀xsin2n xdx2n2nsin x cos x(2)ln(1 tan x)dx解:2n7. xsin x0+ 伍-x)sin2n (兀 _x)2n2n2n2nsin x cos x sin (二-x) cos (二.2n sin x2n2nsin x cos xdx 二.2n sin x2n2 sin丄2nx cosdxdx2ncos x2n2nsin x cos xsin 2n x2n2nsin x cos xdxJTcos2n xdx 二sJx Zxdxo4l n(1 tan x)dx4 In(

36、1 tan x) ln(1 tan(；-x)/x1 21In 24 In(1 tan x) In()dx 41n 2dx =2 01 ta nx 2 048、利用被积函数的奇偶性求积分aa如果f (x)是-a,a上的偶函数V .(x)dx = 2 f (x)dxa如果f (x)是-a,a上的奇函数，贝y f(x)dx=0-a迟例 22 2-：(x3 sin2 x) cos2 xdx2解：因为函数x3s in2x是奇函数，故.2二x3 cos2 xdx = 0_2JI1 所以 2 (x3 sin2x)cosdxxdx= 2sinxcofxdx 2_ (1 -cos4x)dx一228 27189、

37、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式dx =d(1x2)1=2 )13 dx - -d()(1x2)3dx(1 -X2)21八rx=)(1 -x2)2二 dln( x . 1 x2).xdx = d (J1 + x2)1 x2dx = -d(、1 - x2)1 -x2例23(1)xx(1 lnx)dx解:xln xxln xxed(xl n x) = e c = x c(2)e2x解:sin 2x 2 e sin xe2xdxr sin 2x-2x 2.二 esin xdxsin 2x 2x id (sin 2x 2x)sin 2x 2e sin x ,丄 esin2x/x .

38、 c4(3)2x dxx6 32解:xd(x3)3 (x3)233、2*3)3arcta n() c 1310、分段函数的定积分2 -TT ,例 24 (1)1 sin xdx$0解:1 sin xdx = 2 X 小.x x2 x .sin : 2sin cos : cos dx2 2 2 2(2)解:1 1 1。()dx 0 x x令 1 二t,xdx 二xxL 2兀 X 兀0 |sin 2 cos2d 2 0 |sin(2 7)|3 :02 sin(f 4)d ;:sin(l -)dxdx= 2.22-2=4x = 1,t =1 ；则(1 -1)dx0 x xJ( +)dtoOn注意：J

39、 1 =1心k且 lim n = 0 n j： noQ=Z L (f 壬)水=瓦ln(n +1) n Alnn沽1 1= nimln(n o1 3) n 11 = c Inn ；n，其中c =0.577216称为欧拉常数,n n嘉xi|dxn n解：J |x - i 0xi :n=11i =1n0lx - i |dx . 0(i _ x)dx 亠 i (x _ i)dxn八(i2i =1-in2n3 n6(4)a /0xf (x)dx解:a .a k 1/a/9xf (x)dx k kf (x)dx aaf (x)dxk=0二af(a 1) af(a) 一 a f (a) 一 f (1) 一

40、f (2)一 f(a)(5)x cos2 x - cos4 xdx0 解:0 x cofx-cos4xdx1 x | si空 xsin2xdx 2 s02 J02-xs in 2xdx2jijiji+ 884330sgn(x -X )dx解:3 3osgn(x _x )dx 二1dx3-dx = -12(7)0exdx1解：令 ex =t , dx dt,t2二e；当 x=0 时，t = 1所以【eg半dt6=11k *解:当 sin (In x) 0,得2n 二e 一 ：x ： e 匚，其中 n = 1,2,3,当 sin(ln x) ： 0，得e小x：e*乞，其中 n =1,2,3,故 o

41、sgnsin(ln x)dx 气3二2 二：dx- .e；dx=(2e：-e2：-1) e n J-2n 二2e二-e2二-1e2 二-1100 兀；(8)0“ - coxdx100 兀. l解：0C0S2xd100 二099| sin x |dx = . 2、Jsinxdx令 x_k 注 99 二.=2 v | (-1) sin 11 dtk z00-198.2n -(9) q x|sinx|dxn :n .1解： x | sin x |dx = ?0心k-:k 二：二x | sin x dx (k：tgntdtkAn -1例25(1)迴*dx2m (2k1) = n 二k=011、利用第二

42、换元法求积分e2(1ex)解:令 arctane2=t，贝y x =21 ntant, dxdtsin t cost2arcta nedxe2(1ex)一 tant (1 tan2t)- dt =2 t cot2 tdt sin t cost=2 t esc2tdt -2 tdt = 21n | sin11 -21 cott - 2t cxxx= x-| n(ex 1)-2e 2 arcta ne2-2 arcta ne2 c11 /(2)绅 |cos(l n- Wpx (n 为自然数)ex解：因为|cos(ln丄)/円泌凹|xx则.：| cos(In 丄)/ 0x 二：2n | sin(ln

43、 x) | dxexex令 In x = u，贝U x = eu， dx 二 eudu标准文档所以1e|cos(l nxpx Ss inupu1e.ncos(ln -)/,nsin u g 二 0 |sint |dt再令U = -t2n 二2nd八 k_ |si ntptk卫=4n令t _k2n-sin vdv -ok卫(3)dxln(x 1)x1 (x 2)x2 (x 2)(x 1)解:dxln(x1)xd (x 2)x2 (x 2)(x1)inmndxx 2 x 1二 ln(x 1)dln(x 2)皿习dx x + 1In(x 2), dxx 1=ln(x 1)ln(x 2)-=ln(x

44、1) ln(x 2) c12、被积函数中含有x22(x a )的形式，一般作代换1x 二一 t1例26 x2 dx (1 x )解：令x81(1 x2-dx )1dttt8dt1 t2t7 t5二+ 5丄5x5dx =-,(tt4 t2 -113、杂题1)解：令7_ 17x7-t arcta nt c13x311arcta n cxx二 tant，则 1dx0 1+x2迟=。行 n(1 tan t)dt1兀4ln(1tant)dt 4In(1 tant) In(1 tan(： -t)dt(2)xe_2 csx-sinxdxsin x解:xe/osxsxdxsin x=2 e 2d ( . si

45、n x)；e7I n2dtJ n二 In 2x刁 cosx e2-sin x2 sin xdxdx - e 2 . sin xdx=2e 2 i sin x 亠 ie 2 . sin xdx - :e 2 . sin xdxji(4)o4ex(ta nx 1) ta nxdxjiji解：o4 ex(ta nx 1) ta nxdx 二 o4ex(sec21 tan x)dx_JITt_JT4exdtan x - 4exdx4ex tanxdx-0 0 - 03i n:it n-ex tan x 強 - 4 ex tan xdx ex亠 i4 ex tan xdxn= 2e7 -11(5 )x(

46、1 x2004)(ex -e)dxL 41 1 1分析：/(1 x2004)(ex -e)dx (x x2005)exd ,x x2005 )edx1令-x _11而 L(x+x2005)edx = * (t -严5疋水=-(t+t2005 )*ddd2004、， x-x2005、 x12005 x .故 斗x(1 x )(e -e )dx=2 斗(x x )e dx = 4e 2 / e dx(此方法易想到但太繁，解略)十四、积分的应用1利用转轴公式求值如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为(x, y)和(x1, y1)，则转轴公式为x= x1 cosa - y1 sin a y =x1 si

47、 n a + y1 cosa例28:设 D: y S = J _ 丄 dx1 = In x1 1笃2 = ln 22 ln 丁2 = In 2 2x1 _x2 _4, y _ x,X y _ 2, X y _ 4 ,1)求D的面积；2)求D绕y = x旋转一周的绕旋体体积。解 把直角坐标系xoy顺时针转一，使y = x为ox1轴，此时转轴公式为4J!2x =捲 cosy1 sin区一y1)442二 二 2y 二论 sinyr cos(x1y1)442A2、求值|2222 :则D的各边界在新坐标系下的坐标为 = , yi= 0 ,为=2 ,为=2、. 2例2 9 (1)设直线y =ax与抛物线y

48、=x2所围成的图形面积为 S1 ,它们和直线X = 1围成的图形面积为 S2，且a ： 1。(1 )求a，使3 S2最小(2)求该最小值所对应的平面 绕x轴旋转所得旋转体的体积(2) 设平面图形由 x2 y2x与y 一 x所确定，求该图形绕直线 x二2旋转所得旋转 体的体积。32(3) 求曲线y=x -2x与y=x所围成图形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积(4)过点P(1,0)作抛物线y = . x 一 2的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形，求该图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。($)在曲线y = e(x _ 0)上求一点，使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于

49、x轴的两直线所围图形的面积最小。(6) 求常数 k，使曲线y = X2与直线X二k,x=k 2,y = 0所围图形的面积最小(7) 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内，有f(x) .0，证明：在(a,b)内存在唯一的 点,使曲线y = f (x)与两直线y = f ( J和x = a所围成图形的面积 Si是曲线y二f (x) 与两直线y = f ( J和x = b所围成图形的面积 S2的面积。x(8) 已知f (x) = |t |dt ( XA1 )，求f (x)与x轴围成的面积。(9) 设y = ax2 bx c过(0,0)，当0乞x乞1时，y _ 0 ,如果它与x轴、直线x = 1

50、所1围图形面积为1，求a,b,c使图形绕x轴旋转所成的体积最小。3注意：补充隐函数的积分1例：设函数y = f (x)是由y3(x = x确定的隐函数，求亍dx (换元法) y习题1、求值(1) f(x)dx =xex c，求 f(x)x(2) f (x2)dx = e2 c，求 f (x)1(3) ex f (ex)dxx c,求 e2x f (ex)dx1 +e2 求值(1) f /(ex) = 1 x，求 f (x)(2) f (In x) = x 1，求 f (x)(3) f (cos x) = sin x，且 f (0) = 0 ,求 f (x)x(4) f/(3x1) =xe / 2 f(2) =2 , f (2) =0