《2017学年江西省赣中南五校高三下学期期中联合考试数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017学年江西省赣中南五校高三下学期期中联合考试数学试题（解析版）（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2017届江西省赣中南五校高三下学期期中联合考试数学试题一、选择题1集合的真子集个数为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为，故填：C.2已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】或，所以，故选C.3设函数是上的奇函数， ，当时， ，则时， 的图象与轴所围成图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设，则函数是周期为的奇函数，画出函数的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数的图像与轴所围成的面积即可。容易算得函数的图像与轴所围成的面积是，故借助函数图像的对称性求得函数的图像与轴所围成的面积是，应选
2、答案A 。点睛：解答本题的思路是充分依据题设条件与函数图像的对称性，借助定积分的计算公式先求得函数的图像与轴所围成的面积，再乘以8即可得到函数的图像与轴所围成的面积是。整个求解过程中体现了数学中等价转化与化归的数学思想的巧妙、灵活运用。4定义在上的函数为减函数，且函数的图象关于点对称，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据平移可知函数关于对称，函数是奇函数， ，即，整理为： ，因为 ，所以 或 ，画出可行域，设，目标函数表示斜率为1的一组平行线，当目标函数过点时取得最小值， ，当目标函数过点时，函数取得最大值，所以的值域为，故选B.5如图，网格纸上小正方形的
3、边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图还原几何体， ，红色线表示削下去的部分，剩下的蓝色的线为三视图的几何体， ，所以几何体的体积是，故选C.6已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为， ， ，则此球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据余弦定理可知 ，那么，点分别是斜边的中点，点为的中点，点为三棱柱外接球的球心，设三棱柱的高为， ，解得， ， ，代入可得 ，所以此球的表面积为，故选C.【点睛】本题重点考察了几何体与外接球的问题，属于中档题型，首先应确定球心的位置，借助于外接
4、球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.7在直角坐标系中，点，点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线条数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】8直线与两条直线，分别交于、两点，线段的中
5、点坐标为，那么直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ， ， ，解得： ，所以 ，所以直线的斜率，故选C.9已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，给出下列命题：当时， ；函数有个零点；的解集为，都有.其中正确命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设， ， ，所以不正确；因为函数是上的奇函数，所以 ，当时， ，解得 ，根据函数是奇函数，所以当时， ，所以函数有3个零点；所以不正确；当时， ，解得： ，当时， ，解得 ，所以的解集为： ，所以正确；当时， ，函数在 处取得最大值， ，根据奇函数的性质，函数的最小值 ，所以 ，所以对任意的，都有，所以正确
6、.所以正确，故选C.10抛物线的焦点为，是上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面积为（为坐标原点），则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】设点 ，根据已知可知，解得：，所以 ，解得 ，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的方程和几何性质，属于基础题型，抛物线的最重要的几何性质就是抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样就可以得到抛物线的焦半径公式，这样抛物线的焦半径和坐标建立起联系，如果题设倾向于用平面几何知识解决问题，那有焦半径，也一定需做出到准线的距离，然后再用平面几何解决问题.11李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗
7、人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为亩，圆周率按近似计算）A. 步、步 B. 步、步 C. 步、步 D. 步、步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文
8、化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题12已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，解得，当 时， ，函数单调递增，函数单调递减，当时函数取得最大值 ，方程化简为 ，解得：或 ，如图画出函数的图象，当时，方程有5个实根，故选C.【点睛】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参
9、数的取值范围.二、填空题13已知平面向量的夹角为，且，若，则_.【答案】【解析】，解得：，故填：1.14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.【答案】【解析】由题设提供的三视图可以看出该几何体是由两个等腰梯形与两个全等的直角三角形和一个正方形围成的，其面积分别为，且，所以该几何体的表面积为，应填答案。15下图的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为_. 【答案】【解析】矩形面积为10，设阴影面积为，解得，故填：.三、解答题16设为数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】（1）详见解析；
10、（2）详见解析.【解析】试题分析：(1) 利用通项与和的关系， ，求出数列的首项，推出数列的等比数列，求解通项公式；(2)，是等差数列乘以等比数列，利用错位相减法求解数列的和即可.试题解析：(1)当时，易得.当时，整理得，数列构成以首项为，公比为的等比数列，数列的通项公式.(2)由(1)知,则，则，由-得：，.【点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求
11、和,(5)或是具有某些规律求和. 17中央电视台为了解该卫视朗读者节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率(2)随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄岁周均学习成语知识时间（小时）由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习阅读经典知识的时间【答案】（1）；（2）时
12、，小时.【解析】试题分析：(1)的情况有10种，求出满足东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的基本事件的个数，即可求出概率；(2)求出回归系数，可得回归方程.再预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间.试题解析：(1)设被污损的数字为，则有种情况.令，则.东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有种情况，其概率为.(2).时，小时.18在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且，是边的中点.(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)设与平面所成的角为，二面角的大小为，分别求的值【答案】（1）异面直线与成角；（2），.【解析】试题分析：（1）求异面
13、直线所成的角，一般通过平移，转化为求相交直线所成的角，所以取的中点，连结，即为所求；（2）点在平面内的射影为点，为的中心，连结交于点，连结，分别在直角三角形内求值.试题解析：(1)取的中点,连结，显然，所以三角形是等边三角形.所以异面直线与成角.(2)过作，垂足为，因为，所以平面，所以，所以平面，则与平面所成的角.因为，所以平面，所以，.因为，则二面角的大小为，.19在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点到直线的距离为(1)求椭圆的方程；(2)、是椭圆上的三个动点与关于原点对称，且问的面积是否存在最小值？若存在，求此时点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）点的坐标是.【解析
14、】试题分析：（1）根据已知，代入点到直线的距离求，根据求解，得到椭圆的标准方程；（2）分为长轴端点和短轴端点时，求出面积，再设直线的方程为，求出点的坐标，根据求出点的坐标，根据坐标求的面积,根据基本不等式求最值.试题解析：（1）对于直线：，令，得，故焦点为，知.点到直线的距离为：，得或（舍去），故椭圆的方程为.（2）当为长轴（或短轴）时，依题意，知点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），.当直线的斜率存在且不为时，设其斜率为，直线的方程为，联立方程组，得.由于，故为等腰三角形，为的中点，知，直线的方程为，同理可得.，于是，由于，等号当且仅当，即时取得.综合当时，有最小值.此时，即.点的坐标是.【点
15、睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20已知函数.(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：解题思路：（1）求导函数，利用求；利用导数的几何意义求
16、切线方程；（2）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立试题解析：（1）由题意知，代入得，经检验，符合题意从而切线斜率，切点为，切线方程为（2）因为上为单调增函数，所以上恒成立即在上恒成立；当时，由，得；设，所以当且仅当，即时，有最大值2所以所以所以的取值范围是【考点】1导数的几何意义；2根据函数的单调性求参数21已知复数和，若，试求的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：当时，复数的实部和虚部分别相等，求得 ，根据 ，求函数的值域.试题解析：，消去得：，当时，.当时，.所以的取值范围为：.22设函数.(1)若，求的解集；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，分和，两种情况讨论去绝对值解不等式；（2）不等式等价于恒成立 ，根据函数的单调性和最小值，即可得到结果.试题解析：（1）若，则可化为.即或，解得.所以的解集为.(2)对恒成立，即对恒成立，又因为在上单调递减，在上单调递增.所以，解得，所以实数的取值范围为.
2017学年江西省赣中南五校高三下学期期中联合考试数学试题（解析版）
