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1、第八章平面坐标下的分离变量本征值问题(一)分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求 解之目的一个数学过程。 8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。其定解问题为2 c %-aUxx = OI ux 厂 0(Orl)u t=(x) Ut t(x)L t 丿 g 丿()这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射。这样，驻波解的一般表示式应当为设 u(x,t) = X(x)T(t)(8.1.2)在(8.1.2)中，自变数x只能出现于X之中，自变数t只出现于T之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。那么，在两端固定的弦上究竟
2、有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：XT - a2X T 二 0 rX(O)T(t)二 0(8.1.3)X(l)T(t) = 0条件)表示，在时刻t， X(0)T(t)和X(l)T(t)总是零。这样只能是 X(o)= 0 和 X (|) = 0(8.1.4)只有边界条件是齐次的，才得出(8.1.4)这样简单的结论。现用a2XT遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得TXa2TX(8.1.5)左边是时间t的函数,跟坐标x无关,右边则是坐标x的函数,跟 时间t无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常 数，把这个常数记作“T X
3、= /u2a T X(8.1.6)(8.1.6)可以分离为关于X的常数微分方程和关于T的常微分方 程,前者还附带有边界条件X + X=0；X(0) = 0 X(I) = O (8.1.7) 2T a T = 0(8.1.8)现对(8.1.7)在” 0 J = 0 , 0三种可能的情况分别加以讨 论。1、当“ 0，方程(8.1.7)的解是X(x)二 Gex 一C2ex -积分常数C1和C2由边界条件确定，即C1 C 0Ce1 匸 C2ej 匸=0解出0 7 6 = 0,从而X(x)二0,解u(x,t厂0没有意 义的。因而排除了 ” 0的可能。2、二0.方程(8.1.7)的解是X(x)二 C1x
4、C2仍然解出 6 7 6=0 ,从而 u(xt)二 X(x)T(t)二 0 仍没有意义，应予排除。现只剩下一种可能性，即00的情况方程(8.1.7)的解是 X(x)二 C1COSx Gsinx其积分常数由下式确定=0唯一的可能是若C2 =0问题仍无解。 l = n二(n为整数)亦即(8.1.10)X(x)(8.1.11)当入取这些数值时，C2为任意常数。(8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族。,甚至也不这样,分离变数过程中所引入的常数不能为负数或零常数的这种特方程(8.1.7)能是任意的正数，它必须取(8.1.10)所给出的特定数值。 定数值叫作 本征值，相应的解(8.1.11)叫作本
5、征函数 和边界条件则构成所谓本征值问题。再看关于T的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为2- 22门兀T 0T = 0l2n atn atT (t) = A cos+ Bsin这个方程的解是ll (8.1.12)其中A和B是积分常数把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到分离变数的形式解n atun(x,t)=(代 cosBn sin )sin (n 71,2,3|)n为正整数。这就是两端固定弦上的可能的驻波。(8.1.13)每一个n对应于一种驻波，这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动n： x s if相邻节点间隔kl7 (k = 0,1,2,3川|,n)心从
6、而u，t)=0|_ _ n应为半波长，所以波长个点上I八、一这些点就是驻波的节点，2n 。本征振动l ,从而频(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是f_ 一兰率 2二2l。其线性叠加便得到物理问题的一般解“w atn at u(x,t)八 (AncosBnnTlll其中An和Bn为任意常数，这里尚未考虑初始条件。f 00Zn =1n兀 at代 sin i (x)为了确定叠加系数 入和Bn，( 8.1.14 )满足初始条件。Bn sin 二(x) (O x i)(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数，这就启示我们应把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较两边的系数就可确定An和Bn。2丨少匚A
7、0 ( )sin-di.)2 1 1B-二0 ( )sinda 01解（8.1.14）正好是傅里叶正弦级数，这正是第一类齐次边界条件 所决定的。回顾整个求解过程，可以作出图解如下：分离变量偏微分方程，常微分方程（关于X）+ 边界条件，本征（值）函数 .常微分方程（关于T） + 初始条件 叠加系数通解二a本征函数本征值一方面，把分离变数形式的试探解代入偏微分方程，从而把它分 解为几个常微分方程，问题转化为求解常微分方程；另一方面，代入齐 次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件，这些条件与相应的常 微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索 ，其实 整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系
8、， 从数学上讲，完全可以推广 应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方 法，按照它的特点，叫作分离变数法。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数 ，不过,在具 体问题中，级数里常常只有前若干项较为重要，后面的项则迅速减小， 从而可以一概略去。现将上述弦振动的解与实验结果比较：（图仅示意）-.兀X+、波速-=1sin j/l-v an =22jtxT2 sin Zv = an = 3丁 .3兀 xT| sin 扎v = a结果与实验情况完全一致。 8.4本征值问题(一)我们知道，常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。 用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到
9、含有参数(如 的齐次常微分方程和齐次边界条件(或自然边界条件)。这类问题中 的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。通过上述讨论，我们发现本征值有如此的规律性。X(x)fX(x) = O(1).X(0)=0 X(I) = O本征值和本征函数分别为:Xn(X)=Cnsinx(n =1,2,|l|)(2)X (x) X(x)二 0X (0) =0 X (I) = 0本征值和本征函数分别为2 2I2Xn(X)二 Cncos I(n = 0,1,2JH)X (x) X(x) = 0X(0) = 0 X (I) = 0本征值和本征函数分别为1 2 2 (n + )兀n4二 X( n =0,1,2,111). 2Xn(x) =Cn sinX x)十丸 X( X 0X( 0)0 X I牛)0本征值和本征函数分别为(n$2I2Xn( x) = CnCOS x (n = 0,1,2,|l|)0（）:（）= 0r2二）八（）:m(x)=码 cosmBm sin m(m = 0,1,2川)
第八章平面坐标下的分离变量
