第二章4.1导数的加法与减法法则

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1、第二章-4.1导数的加法与减法 法则导数的四则运算法则4. 1导数的加法与减法法则戸预习导学 挑战自我.克原落实学习目标1. 理解导数的加法与减法法则的推导方法.2. 掌握导数的加法与减法法则.3. 会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算.知识链接利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？答 应用的前提条件是：必须是有限个函数和(差)的形式；其中每个函数的 导数都存在且利用公式能容易求出.预习导引1. 导数的加法与减法法则(1) 符号语言 f(x)+ g(x)二 f (x) + g (x). f(x)- g(x)二 f (x)-g (x).(2) 文字语言两个函数和(差)的导数等

2、于这两个函数导数的和(差).2. 两个函数和差的求导法则的推广(1) af(x) g(x)= af (x) g (x)(a, b 为常数).(2) f1(x) 2(x) 3(x) 土n(x)= f 1(x) 2(X)士 3(X)土 n(x).歹课堂讲义 三重点难点.个个击破要点一 直接利用法则求导数例1求下列函数的导数：2 2(1)y= x 1 + x+ 采；x x(2) y= 1 + sin qcos;2 1 1(3) y= x x2(4) y=解 观察式子的特点，可以先化简再求导.(1).y= x+ 2+ 2，.y = 1-x1 pcos x.二3x2 -x x 1,(2) 科=1 + s

3、in尹0迈=1 + 2sin x, :y(3) .y= xx2 +1 +1 = x3+ 1+ x.y(4) ty=(破 + 1) 士- 1 二一G + 土，=(- :xy + .；，=-1 _ +1.2/xx规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数 公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对 函数进行化简，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程.跟踪演练1求下列函数的导数：14(1) y= 5X5-x3+ 3x+ 2;(2) y= sin44+ cos44.解(1)yz = zx5- 3x3+ 3x + 2、3 + (3x) + (J

4、2) = x4 4x2 + 3.2X(2)ty= sin 4+2-2sin241 2x1 1 cos X 3 1=12sin 2= 1 2 2=4+4cos x, 1 .y = &sin x.要点二求导法则的逆向应用例2 已知f (x)是一次函数，X2 (x) (2x 1) f(x) = 1对一切x R恒成立，求f(x)的解析式.解 由f (x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)= ax2 + bx + c(aM0),则 f (x) = 2ax+ b，把 f(x)，f (x)代入关于 x 的方程得 x2(2ax+ b) (2x 1) (ax2+ bx + = 1，即(a b)x2

5、+ (b 2x + c 1 = 0，又该方程对一切x R恒成立，所a b= 0，a= 2，以 b 2c = 0，解得 b= 2，c 1 = 0，c= 1，所以 f(x)= 2x2+ 2x + 1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式， 特 别是已知具有某些特征的函数.跟踪演练2设y= f(x)是二次函数，方程f(x)= 0有两个相等的实根，且f (x)=2x + 1.求y= f(x)的函数表达式.解Vf (x)= 2x + 1，f(x) = x2 + x + c(c 为常数)，又v方程f(x)=

6、 0有两个相等的实根，即x2+ x+ c= 0有两个相等的实根，= 12 4c= 0，即卩 c= 4，1f(x)的表达式为 f(x)= x2+ x+4.要点三导数的应用例3已知函数f(x) = x3 + x，求函数在点(2,10)处的切线方程.解 f (x)= (x3 + x) = (x3) + (x) = 3x2 + 1.f (2)= 3X 22 + 1 = 13.所求切线的斜率是13.切线方程为y10= 13(x 2),即 13x y 16= 0.所求切线的方程是13x y 16 = 0.规律方法导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则.跟踪演练3已知

7、函数f(x)= sin x+ cos x,求曲线y=f(x)在x =才处的切线方程.解 .f (x)= (sin x+ cos x)=(sin x) + (cos x) = cos x sin x,.一nn n小-f / = cos sin, = 0.444n曲线y=f(x)在 x= 4处的切线斜率为0.又fj =迈，二所求切线方程为y=2.戸当堂检测 J当堂训练*怵脸成功1 .函数f(x) = sin x + x的导数是()A. f (x) = cos x + 1B. f (x)= cos x 1C. f (x) = cos x+ 1D. f (x) = cos x+ x答案 A2.曲线y=

8、x3 3x2 + 1在点(1， 1)处的切线方程为()A. y= 3x 4B . y= 3x + 2C. y= 4x + 3D . y=4x 5答案 B解析=3x2 - 6x,曲线在点(1 , - 1)处的切线斜率为一3.二切线方程为y= 3x + 2.3. 已知f (1)= 13,则函数g(x) = f(x) + x在x = 1处的导数为:答案 14解析 g (x) = f (x) + 1,g (1) = f (1)+ 1= 14.4. 过原点作曲线y= ex的切线，则切点坐标为 .答案(1, e)解析(ex) = e.设切点坐标为(xo, exo)，则过该切点的切线斜率为e%。，令=exo

9、 0eX。:.即 xo 段= eX。八xo 0八xo= 1. 切点坐标为(1, e).课堂小结1.导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具.2 .利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点.分层训练_ 舉疑纠偏，LII壕检测一、基础达标1.下列结论不正确的是()A.若 y=3,则 y= oB .若 f(x) = 3x + 1,贝U f (1) = 3C.若 y=以 + x，贝U y= 2x + 1D.若 y= sin x + cos x,贝U y= cos x + sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解. D项，科=sin x+ cos x, y = (sin

10、 x) + (cos x) = cos x sin x.2 函数y=x (2x 1)2的导数是()A. 3 4xB . 3 + 4xC. 5+ 8xD . 5 8x答案 D解析y=x (4x2 4x + 1)= 4x2 + 5x 1,y = 8x + 5.3.曲线f(x) = x3 + x 2在Po点处的切线平行于直线 y= 4x 1,则Po点的坐标 为()A. (1,0)B . (2,8)C. (1,0)和(1, 4)D . (2,8)和(1, 4)答案 C解析行(xo) = 3x0+ 1= 4,：xo=.4 .曲线f(x) = x2 + bx+ c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx+

11、y+ c= 0间的距离是()223,2A. B2。牙 D. ,2答案 C解析因为曲线过点(1,2),所以b+ c= 1,又 f (1)= 2+ b,由题意得 2+ b= b,b= 1, c= 2.所以所求的切线方程为y 2= x 1,即 x y+ 1 = 0,故两平行直线x y+ 1= 0和x y 2= 0的距离为 d= |1+22|=琢5. 过点P( 1,2)且与曲线f(x) = 3x2 4x+ 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方 程是.答案 2x y+ 4= 0解析 易求 f (x)= 6x 4, f (1) = 2.所求直线的斜率k= 2.则直线方程为y 2 = 2(x + 1),即

12、 2x y+ 4 = 0.36.某物体做直线运动，其运动规律是s= t2+3(t的单位是s, s的单位是m)，贝U它在第4s末的瞬时速度应该为 答案7器m/s3解析-s = 2t12, V = s (4) = 8鲁 7票(m/s).7.已知函数 f(x) = 2x+ x2 x，求 f (1), f (4).解 f (x)= (2x+ x2 x) = (2x) + (x2) x=2xln 2 + 2x 1, f (1)= 2ln 2 + 1, f (4) = 24 In 2 + 2X 4 1= 16ln 2 + 7.二、能力提升&函数y= “2 x歩+环-2的导数为()A. x 3+ x + 1

13、 B. x 3x 1 入入1 1C. x 3-X2 + 1 D. x 3 + x? 1答案 D解析 r= x + 3,/.y=2* yj-1-2 - (-y ) * / =3fx + 1 =xpx9. 设函数f(x)= g(x) + x2,曲线y= g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为y= 2x + 1, 则曲线y= f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为()1 1A. 4 B. 4 C . 2 D . 2答案 A解析 依题意得f (x) = g (x) + 2x,f (1) = g (1)+2= 4.10. (2013 江西)设函数 f(x)在(0,+x )内可导，且 f(ex)

14、= x+ ex，贝U f (1) =答案2解析 令 t= e，则 x = In t，所以函数为 f(t)= In t+1,即 f(x)= In x + x，所以 f (x) 1 1=x+ 1,即 f (1) = 1+ 1 = 2.11. 已知抛物线y= ax2 + bx+ c过点(1,1)，且在点(2, 1)处与直线y= x 3相 切，求a、b、c的值.解 因为 y= ax2 + bx+ c过点(1,1),所以 a+ b+ c= 1.y = 2ax+ b,曲线在点(2, 1)处的切线的斜率为4a+ b= 1.又曲线过点(2, 1),所以 4a+ 2b+ c= 1.a+ b+ c= 1,由 4a

15、 + b= 1,a= 3,解得b= 11,c= 9.所以a、b、c的值分别为3、一 11、9.ax612已知函数f(x) = 7再的图像在点 M( 1, f( 1)处的切线方程为x+ 2y + =0.求函数y= f(x)的解析式.解 由 M( 1, f( 1)在 x+ 2y+ 5= 0 上得1 + 2f( 1)+ 5= 0, 即卩 f( 1)= 2.2,又 f (x) =a x2 + b 2x ax 6x2 + b2.由f (1)= 舟得a 1 + b + 2 a 611 + b2=1 由得a=2, b= 3,2x 6函数f(x)的解析式为f(x)= 2x 3三、探究与创新13.设函数f(x)

16、= axJ,曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为7x 4y 12求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x = 0和直线y= x所围成的三角 形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由 7x 4y 12 = 0 得 y= 3.1当 x = 2 时，y= 2,1f(2) = 2,又 F (x)= a+ 专,7 -f (2) = 4,由，得2a 2ba+4=74.a= 1解之得b= 3故 f(x) = x 3 (2)证明设P(xo, yo)为曲线上任一点, 由y = 1+ *知 曲线在点P(xo, yo)处的切线方程为3_y y0= 1+ xo (xxo),X0-3令x = 0得y= xo,从而得切线与直线x = 0的交点坐标为0, 令y=x得y=x = 2xo,从而得切线与直线 y= x的交点坐标为(2xo,2xo).1 6所以点P(xo, yo)处的切线与直线x = 0, y= x所围成的三角形面积为一亦|2x0|=6.故曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x = 0, y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.