《圆内接正多边形》(北师大)

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1、数学SHUXUE圆内接正多边形同步练习选择题1正多边形的中心角是36那么这个正多边形的边数是（C.6C.6A.102下列正多边形中，中心角等于内角的是（A正三角形B正四边形C.正六边形D.正八边形3半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（A.8cmA.8cmB.4cmC.8cmD.4cma=2rcos36C.a=rsin364圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r.下列等式成立的是（D.a=2rsin725正八边形的中心角是（A.45B.135C.360D.10806顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A.ACE是等边三角形B.既是轴对称图形也是

2、中心对称图形C.连接AD，贝yAD分别平分/EAC与/EDC7.若正多边形的一个外角为60,则这个正多边形的中心角的度数是（A.30B.60C.90D.1208.0O的半径等于3，则OO的内接正方形的边长等于（A.3B.2C.3D.69如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm,AB的长度是（8ncmC.36ncmD.96ncm4A.6ncmB.10若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于（A.2B.1C.A.2B.1C.11.已知圆的半径是2擺，则该圆的内接正六边形的面积是（A.3B.9C.18D.3612.已知某个正多边形的内切圆的半径是12.已

3、知某个正多边形的内切圆的半径是垃i,外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是A.八B.六C.四D.A.八B.六C.四D.13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（A.1:2B.1:C.14、已知圆内接正三角形的边心距为14、已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为C.4.3C.4.315.如图，以正六边形15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，贝U/BED的度数为A.30B.45C.50D.6016利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是.17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm,则边心距是.18若一个正多边形的一

4、个外角为60贝陀的内切圆半径与外接圆半径之比是.19.如图所示，ABC为OO的内接三角形，AB=1,/C=30。，则OO的内接六边形的面积20人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R,那么它的周长是.解答题也J21. 已知，如图，ABC内接于OO,AB=AC,/BAC=36AB、AC的中垂线分别交OO于点E、F,证明：五边形AEBCF是OO的内接正五边形.OO是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值.23.如图，点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点，且BG=CH,AG交BH用心用情服务教育于点P.(1)求证：ABGBCH；(2)求

5、/APH的度数.24如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少?25.如图，正方形ABCD的外接圆为O0,点P在劣弧CD上(不与C点重合)(1) 求/BPC的度数；(2) 若00的半径为8，求正方形ABCD的边长.AC答案与解析答案与解析选择题1. 答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n,正多边形的中心角是36360n=36解得n=10.故选A.分析：设这个正多边形的边数是n,再根据正多边形的中心角是36求出n的值即可.2. 答案：B解析：解答：设正边形的边数是n.根据题意得：180-360=360nn解得：n=4.故选B.分析：设正边形的边数是n,根据内

6、角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程,解方程就可以解得n的值3答案：A解析：解答：如图所示：半径为8cm的圆的内接正三角形，在RtABOD中，0B=8cm,/OBD=30BD=cos30XOB=一$=4袒(cm),rM/BD=CD, BC=2BD=8应cm.故它的内接正三角形的边长为8厠cm.故选：A.分析：欲求ABC的边长，把ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在RtABOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长.4答案：A/COF=72吃=36, CF=r?sin36CB=2rsin36.故选A.分析：作OF丄BC,在RtAOCF中，利用三角函数求出a

7、的长.5.答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360充=45故选A.分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答.6答案：B解析：解答：A.：多边形ABCDEF是正六边形，ACE是等边三角形，故本选项正确；B./ACE是等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；dACE是等边三角形，连接AD，则AD分别平分/EAC与/EDC，故本选项正确;D.TAACE是等边三角形，图中一共能画3条对称轴，故本选项正确.故选B.分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.7.答案：B解析：解答：正多边形的一个外角为60正多边形的边数为360七0=6,其中心角为36

8、0-6=60故选B.分析：根据正多边形的外角和是360。求出正多边形的边数，再求出其中心角.8答案：C解析：解答：如图所示：A)/COO的半径为3,四边形ABCD是正方形，/B=90AC是OO的直径， AC=2X3=6,222TAB+BC=AC,AB=BC,22AB+BC=36,解得：AB=3,即OO的内接正方形的边长等于3罷,故选C.分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC,以及进而得出正方形的边长即可.9答案：B/AOB=360书=60/OA=OB, OAB是等边三角形，OB=AB=24cm,.60二24=8二180故选B分析：连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和/AOB度数

9、，根据弧长公式求出即可.10. 答案：C解析：解答：已知正六边形的半径为2,则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2,连接OA,作OM丄AB于点M,得到/AOM=30,则OM=OA?;os30=丫3.则正六边形的边心距是岛.故选C.分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出.11. 答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2庫，高为3,因而等边三角形的面积是3应,正六边形的面积=18,故选C.分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形.12. 答案：B解析：解答：根据勾股

10、定理得：第一絨胪=1,正多边形的边长为2,正多边形的中心角为60此正多边形是正六边形，故选B.分析：根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可.13. 答案：D解析：解答：如图,解析：解答：如图,点0是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点0在AD上，并且点0还是它的内切圆的圆心./AD丄BC,/仁/4=30,BO=2OD，而OA=OB,OA:OD=2:1.故选D.分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可.14、

11、答案：B解析：解答：如图所示:解析：解答：如图所示:OB,则AD经过圆心O,/ODB=90,OD=1,ABC是等边三角形，1BD=CD,/OBD=_/ABC=302 OA=OB=2OD=2,AD=3,BD=,；3, BC=23,11 ABC的面积=BC?AD=2、3X3=33；22故选：B.分析：作AD丄BC与D，连接OB，则AD经过圆心O,/ODB=90OD=1，由等边三角形1的性质得出BD=CD,/OBD=-/ABC=30,得出OA=OB=2OD，求出AD、BC,ABC21的面积=BC?AD，即可得出结果.2答案：B解析：解答：正六边形ADHGFE的内角为120正方形ABCD的内角为90

12、/BAE=360-90。-120150,/AB=AE,/1/BEA=x(180150=152/DAE=120,AD=AE, /AED=(180-120)-2=30/BED=15+30=45.故选B分析：根据正六边形ADHGFE的内角为120正方形ABCD的内角为90求出/BEA,/AED,据此即可解答.填空题丿15. 答案：正七边形解析：解答：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形.故答案为：正七边形.分析：利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可

13、得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形.16. 答案：8cm解析：解答：一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm,1二设边心距是hem,则一X60h=2402解得：h=8(cm),即边心距为8cm.1分析：根据正n边形的面积=周长边心距，进而得出答案.2答案：2.解析：解答：一个正多边形的一个外角为60360吒0=6,这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r,则外接圆的半径r,3内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r,2它的内切圆半径与外接圆半径之比是：,3:2.分析：由一个正多边形的一个外角为60可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引

14、垂线，构建直角三角形，解三角形即可.17. 答案：匕二2解析：解答：连接AO,BO,过点O作OE丄AB于点E,/C=30,/AOB=60,/AO=BO,AOB是等边三角形,AO=BO=AB=1,EO=sin60=EO=sin60=SAAOB=-XEOAB=OO的内接六边形的面积为：3=33.42分析：利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出AOB的面积，进而得出答案.18. 答案：18Rsin20解析：解答：连接OA、OB，过O作OM丄AB于M,F&亠F.贝UOA=OB=R,九边形ABCDEFGHI是正九边形，AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,/AOB=360弋=40,

15、在厶AOM中，sin/AOM=AMOAOAAM=OAsin20Rsin20/OA=OB,OM丄AB,AB=2AM=2Rsin20,即正九边形的周长是9X2Rsin2018Rsin20分析：连接OA、OB，过O作OM丄AB于M，根据正九边形得出AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,/AOB=40，在AOM中求出AM=OAsin20Rsin20根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20即可求出正九边形的周长.解答题2=0.5，再根据相似得出边之比.21. 答案：（1）略；（2）120解析：解答：（1）证明：T在正六边形ABCDEF中，AB=BC,/ABC=/C=120在厶AB

16、G与厶BCH中AB=BC,/ABC=/C=120BG=CH,ABGBCH;（2）解：由（1）知：ABGBCH,/BAG=ZHBC, /BPG=ZABG=120,/APH=/BPG=120.分析：（1）根据正六边形的性质得到AB=BC,/ABC=ZC=120,由三角形全等的判定定理SAS即可证出ABGBCH；（2）由厶ABGBCH，得到/BAG=ZHBC,然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果.22. 答案：6、.3cm解析：解答：设正多边形的中心是0,其一边是AB,CD/A0B=ZBOC=60, 0A=0B=AB=0C=BC,四边形ABC0是菱形，/AB=6cm,/A0B=60,co

17、s/BAC=AM:AB,-AM=6X-AM=6X(cm),/0A=0C，且/A0B=/B0C,AM=MC=-AC2，-AC=2AM=6.；3（cm）.扳手张开的开口b至少为.3cm.分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30再根据锐角三角函数的知识求解.23. 答案：（1）45;（2）8；?解析：解答：（1）连接OB,0C,四边形ABCD为正方形,/BOC=90,ssssss/P=1/BOC=452(2)过点O作OE丄BC于点E,/OB=OC,/BOC=90,/OBE=45,OE=BE,9E2+BE2=0B2,2BC=2BE=2X4.2=8.2分析：(1)连接OB,OC,由正方形的性质知，BOC是等腰直角三角形，根据/BOC=9O,由圆周角定理可以求出；(2)过点O作OE丄BC于点E,由等腰直角三角形的性质可知OE=BE,由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论.