数学归纳法在中学数学证明中的应用毕业论文

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1、学号：200821140426200222200X2XX40XXX 本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 数学归纳法在中学数学证明中的应用 作 者： XXX 院 系： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 200804 指 导 教 师： 何方国 2012 年 5 月 12日Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic：The application of mathematical induction in the middle school mathematical proof Author： Hong Colleg

2、e： College of Mathematics and Computer Science Specialty： Mathematics and Applied Mathematics Class： 200804 Tutor： He Fangguo 郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师 何方国 的指导下独立研究并完成的.除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.特此郑重声明！指导老师（签名）：论文作者（签名）： 2012年5月10日摘 要数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一

3、种推理方法，同时也是数学命题证明的一种数学思想.针对与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，在中学数学课堂教学及证明中具有广泛的运用，本文对它在中学数学不同类型证明中作简要分析，目的在于培养学生观察能力、逻辑思维能力、形象思维以及解决整体性问题的能力.数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用数学归纳法可按

4、照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法；中学数学；应用AbstractMathematical induction is a kind of reasoning methods, which is used to prove some propositions related mathematical natural number, it is also a kind of mathematical pr

5、oposition proof mathematical thoughts. According to the concerned with natural number , algebraic inequalities identities, triangular, inequality series problem, geometry problems, division of sexual problems ，it has widely applied to the classroom teaching and proof in high school. As different mat

6、hematical inductions have different types of proof in middle school, this paper makes a brief analysis aims to cultivate the students observation, logical thinking ability, visual thinking and solving integrity question ability. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way o

7、f thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thi

8、nking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete inducti

9、on and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-sol

10、ving approach.Keywords: mathematical induction；mathematics of middle school；application目 录 第1章 绪论1第2章 数学归纳法的概述12.1 数学归纳法的来源12.2 数学归纳法原理22.3 数学归纳思想从特殊到一般22.4 数学归纳思想递推思想22.4.1 什么叫推理？22.4.2 推理的形成32.4.3 数学归纳法的形式3第3章 数学归纳法应注意的几个问题33.1 应认真领会数学归纳法的实质43.2 与自然数有关的具体命题内容的理解43.3 对数学归纳法原理的理解4第4章 数学归纳法在几种命题中的应用举

11、例54.1 运用数学归纳法证明数列问题54.2 运用数学归纳法证明不等式问题54.3运用数学归纳法证明几何问题64.4运用数学归纳法证明整除性问题74.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题8第5章 数学归纳法在中学数学中的地位和作用8第6章 结束语9致谢9参考文献9第1章 绪论数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷，总会花费人们大量的时间与精力，去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念，自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为，归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而

12、作出一般结论，具有明显的推理过程，但这些推理只是简单的列举，没有涉及归纳结果，因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得几何原本中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科(FMaurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的1，因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的算术一书中，明确地提

13、出了“递归推理”这个思想方法.法国数学家B帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬.在他的论算术三角形中首次使用数学归纳法，并用其证明了“帕斯卡三角形”(-项展开式系数表，中国称为“贾宪i角性”或“杨辉三角形”)等命题.“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家A德摩根1838年所著的小百科全书的引言中.德摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称.由于这种方法主要应用于数学命题的证明，德摩根又提出了“数学归纳法”这个名称.虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的.1889年意大利数学家皮亚诺(G.Peano

14、)建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础.至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法.我国著名的数学家华罗庚曾说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益.” 数学归纳法是数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法，已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年) 2.Maurolico 证明了前个奇数的总和是，最简单和常见的数学归

15、纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 (或)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在时命题成立，再证明时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且）结论都正确2.宏观来看，数学归纳法看似单一，可看作一个公式来证明命题，实则不然，它要求学生掌握必备的知识与技能，同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳法解决一些与自然数有关的恒等式、代数不等

16、式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，最终熟练掌握“归纳猜想证明2”这一思维方法，这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.第2章 数学归纳法的概述数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法，有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.2.1 数学归纳法的来源数学归纳法来源于皮亚诺（peano）自然公理4，其用非形式化的方法叙述如下：（1）1是自然数；（2）每一个确定的自然数都有一个确定的后继数，记作或，也是自然数；（3）如果、都是自然数，那么= ；（4）1不是任何自然数的后继数；（5）如果一些自然数的集合S具有性质:(1)1在中；(2)若在中，则也在中.那么 = .公理

17、中（5）就为数学归纳法提供了依据，保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理.2.2 数学归纳法原理不同的领域数学归纳法有不同的形式，在中学数学中，数学归纳法原理有以下两种基本形式4：1）第一数学归纳法设是一个关于正整数的命题，如果（1）成立(奠基)；（2）假设成立()，可以推出成立(归纳)；那么，对一切大于等于的自然数都成立.2）第二数学归纳法设是关于自然数的命题，若（1），（）成立(奠基)；（2）假设 (，)成立，则成立(归纳)；那么，(，)成立.两种数学归纳法都是分两步完成，第一步是推理的过程，第二步是递推的依据.也就相当于是对一切自然数，命题成立的话，那么后面的一个自然数都满足命题

18、成立4.即在前一个命题成立的前提下，后一个命题就一定成立.这样依次递推下去就有了命题对任意（，)成立.这也就将有限的问题转化为无限次的验证过程了，体现了数学归纳法由无限到有限的转化.2.3 数学归纳思想从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中 由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”

19、更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的 正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史数学的发展更是这样的科学结论的得到大致包含以下几个阶段

20、：观察、实践推广猜测一般性结论论证结论而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同 2.4 数学归纳思想递推思想5数学归纳法独到之处便是解决了有限与无限这一矛盾，即运用了有限个步骤解决无限多种数学情况，实现这一目的的工具就是递推思想.递推也就存在推理，既然是推理的过程，那就为数学归纳法奠定了基础，那推理是如何体现数学归纳法的呢？2.3.1 什么叫推理？由旧知识通过实践、推理、验证，得出新知识的过程就叫推理5.2.3.2 推理的形成： 1大前提：认可一些事理2小前提：和大前提相

21、关的一些特殊事实3结论：依据大小前提做出判断以上就是我们所说的三段论法，就推理思维方式的不同得出归纳法的定义，也就是有特殊到一般的推理就是数学归纳法.2.3.3 数学归纳法的形式对可数的事物要证其具有某种共有的性质，不可能一一加以证明，这时就需要用数学归纳法.原理5：将可数事物按自然数的系列排列为：， 若 1具有性质；2在该系列中有遗传性，即：当有性质时，必有性质，则自以后的都具有性质.步骤6：1 将研究对象按自然数系列对应的顺序排列；2 证明命题对系列的首项来说为真；3 假定命题对系列中任意指定项都为真；4 证明其后一项也为真；5 作出判断，得出结论.数学归纳法就推理证明的过程是很简单明了的

22、，只要涉及与自然数有关的命题证明，很容易反应到数学归纳法的思想，可推理和证明的三段式理论真正掌握，还得有其独特的推理过程及逻辑结构.它要求学生掌握必备的知识与技能，在利用数学归纳法证题时，就存在各种技巧上的应用，同时数学归纳法的难点还是在于运用这种整体思想来穿插于其他不同类型的证明方法上7.因此我们对于数学归纳法的理解和应用上还得给予足够的重视，证法单一，运用却十分广泛.第3章 数学归纳法应注意的几个问题数学归纳法是中学数学中的一种重要的证明方法,它在中学数学中占有很重要的地位.对于初学者来说这部分内容学起来虽困难不大，它呈现出固定的程式，人们一般容易简单模仿，而在具体问题的运用中就会出现力不

23、从心，错误百出，在应用数学归纳法证明题目时,就容易出现许多问题，值得注意.3.1 应认真领会数学归纳法的实质数学归纳法由“奠基”和“归纳”两步组成，在归纳过程中必须用到“归纳假设”.对数学归纳法递推思想证明与自然数有关的数学问题时，不仅要掌握一定的知识背景，同时还应具备一定的转化和技巧性8，比如常用到得数学思想：放缩法、解析法等.现概括出数学归纳法推证步骤程序图8如图3-1：3.2 与自然数有关的具体命题内容的理解利用数学归纳法可以证明一类与自然数有关的数学命题，但不是只要与自然数有关的命题都可用数学归纳法求证，有时就具有可靠性的，“哥德巴赫猜想”的证明除我国数学家陈景润得以证明外，至今就没有

24、哪位能用数学归纳法加以证明.同时，不是一切与自然数有关的命题用数学归纳法证就是最简捷，同样存在一定的局限性.数学命题与无关其他证法题与有关数学归纳法证=是否成立 是设命题成立，证是否成立 是否否推证命题对的所有自然数不成立结论成立肯定命题对成立 图3-1 数学归纳法推证步骤程序图3.3 对数学归纳法原理的理解数学归纳法证明的第一步中的取值应该和题目条件确定的第一个自然数取值开始，有时不一定就是自然数1，还有情况下可能不只取一个，在一般的情况下，只要建立起递推的关系即可11.在第二步中由归纳假设到推理的下一步是关键，这里我们需要注意的地方有两点： 1必须要用到归纳假设；2在已有的归纳假设结论的基

25、础上，根据具体问题和已有的知识链合理选取与问题相关的定理、公理、性质等加以论证.利用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，即有第一步没有第二步或是只有第二步没有第一步的过程，对要验证的结论都不一定可靠，递推思想，先从一般开始入手，然后对有限的结论作假设，再推广到无限的假设进行验证，得出结论6.形成以验证、假设、证明的过程，这样的推理验证才具有一定的可靠性.第4章 数学归纳法在几种命题中的应用举例4.1 运用数学归纳法证明数列问题中学我们在学习数列时就与自然数有直接的关系，因此在求解数列问题的证明中就常常用到数学归纳法来证明.例19 已知数列 的通项公式，数列 的通项满足，用数学归纳法证明.证明

26、.（1）当时，成立；（2）假设，则=.即时命题成立. 由（1）（2）得得证.例2 试证明：等差数列的前项和由下列公式表示：证明：1、当时，公式是正确的， 2、假设当时公式正确，即 ，当时， 因此，对一切自然数的值，前项和公式都是成立的点评 在做此类型的题时容易出错的是：既然是任意的自然数，就是正确的，那么也是正确的，这很容易理解.可是一旦第二步假定出来，它就是一个固定的自然数了，所以说由的假设后，必须验证时命题也正确才可作出结论，这也就出现了数学归纳法问题的跨越，发生质的转变，也正是数学归纳法的精髓所在.4.2 运用数学归纳法证明不等式问题利用数学归纳法证明一些不等式的情形，常常需要我们利用一

27、些等量转化或放大（缩小）不等式的方法来解决.例3 设 ()， 证明：.分析 与自然数有关，考虑用数学归纳法证明.时容易证得，时，因为，所以在假设成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解.证明 （1）当时，(+1)，2 ， 时不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即：，当时，() ，().所以，即时不等式也成立.由（1）（2）得对所有的，不等式1） 求证： 证明：1、当时，因，所以 ，即，命题显然成立 当时，由可知命题也成立 2、假设当的时候命题成立，则当时，即，可以推出， 故当时，命题成立，于是对于任意大于1的自然数，原不等式成立点评 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问

28、题，注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成(k1)、将放大成()的两步放缩是证时不等式成立的关键.为什么这样放缩，而不放大成(2),这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则.4.3运用数学归纳法证明几何问题例 411 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分成个部分.证明 （1)当1时，一条直线将平面分成两个部分，而,命题成立 (2)假设当时，命题成立，即条直线把平面分成=个部分,当时，即增加一条直线,因为任何两条直线不平行与条直线都相交有个交点；又因为任何三条不共点，所以这个交点不同于条直线的交点，且个交点也互不相同如此这个交点把直线分成段，每一段把

29、它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为.= =时命题成立由（1），(2）可知，当时，命题成立4.4运用数学归纳法证明整除性问题例512 当，求证：能被整除. 证明 (1)当时，能被整除，命题成立. (2)假设时，命题成立，即能被整除当时， 根据归纳假设，能被整除，又能被整除. 11(k+1)+122(k+1)-1能被整除，即时，命题成立. 由(1),(2)命题时都成立.点评 用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除.在由时命题成立，证明命题也成立时.要注意设法化去增加的项，通常

30、要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧. 4.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题例613 用数学归纳法证明：=，分析 本题第一步的验证要取，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式证明 (1)当时，右边=左边，等式成立(2)假设当时，等式成立，就是=.=点评 本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1=，因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对时命题的特征，合理地选择和使用三角公式.证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.4.6运用数学归纳法证明函数迭代问题一些比较简单的函数，它的n次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳

31、出一般规律后，再用数学归纳法予以证明所以，直接求法的本质，就是数学归纳法其中，关键是通过不完全归纳法，找出的一般表达式例7，求解：由定义，一般地，由不完全归纳可猜测， 事实上，因为假定上式成立，则有， 所以，由数学归纳法知，对所有的自然数n都成立例8，求解：由定义，一般地，可猜得，假定上式成立，则有 由数学归纳法知，对所有自然数n都成立第5章 数学归纳法在中学数学中的地位和作用数学归纳法作为一种证明与自然数相关的论证方法，通常用来证明数学上的一些猜想，而这些猜想正式我们通过某种归纳方法所获得的.在中学数学证明中，它的地位和作用可从以下四个方面体现：1从数学归纳法在教材中地位来看，教科书中多结论

32、、公式、定理都可用数学归纳法来得到验证，如等比数列、等差数列以及求和公式，二项式定理的证明.一般与自然数有关的数学命题大多都可用数学归纳法来证.2从给学生开阔视野的角度，在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的解题思路.3从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点，还可以运用数学归纳法证明许多数学问题.4从未来应用的角度，将来会涉及到计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习，为以后的高等代数等的学习打下良好基础.第6章 结束语数学归纳法主要是针对一些与自然数的相关命题，所以在证明和自然数有关的命

33、题中有着不可替代的作用，对于一些和自然数有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合，同时，数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征，如时的假设是第二步证明的“已知”步，证明时一定要用到它，否则就不是数学归纳法，证三角恒等式时，常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明时命题成立，要用到一些技巧，如:一凑假设，二凑结论，加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等，这些解题的技巧要在实践中

34、不断总结和积累，总之要记住：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写时莫忘掉”，这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法，也是中学数学的重难点之一，它在对于开阔眼界，训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中，数学归纳法对于许多重要的结论，如等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式，二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明，进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中，在进一步学习高等数学的过程中，数学归纳法也是一种不可或缺的方法.致谢首先，要感谢我的指导老师何方国.在毕业论文和设计的完成过程中，何老师在百忙之中查阅和修改本论文，给予了很多悉心的指导，对

35、论文的修改建议很细致，给予了很多完善论文的启发.通过与何老师问题的交流和整个论文的完成实现的过程，我在各个方面都得到了很大的提高，在这里，学生真诚地对何老师表示深深的感激与谢意.其次，还要感谢我的那帮可爱的同学们，在设计过程他们也给予了很多帮助，给予了我很多新奇的创意和开阔的思路，在此向她们表示感谢.参考文献1CajoriFOrionof the Name“MathematicalInduction”JAmerican Mathematical Monthly，1918，25(5)：197，2002史久一，朱梧槚著化归与归纳类比猜想大连理工大学出版社，2008.3BusseyWHThe Ofi

36、n of Mathematical InductionJAmericanMathematicalMonthly，1917，24(5)：2002024 蒋文蔚.数学归纳法M.北京：科学出版社，2002:12-25.5 张奠宙.中国数学双基教学M.上海：教育出版社，2006:15-36.6 吴谦.中学数学中常用的思想方法J.内蒙古电大学刊，2008，3(4): 94-95.7 张黎明.数学归纳法的应用与技巧J.民族师范学院学报，2001，5(1):44-46.8 吴厚荣.中学阶段数学归纳法的理解J.文化与教育技术，2010，9(6):247-249.9 张玉芹.数学归纳法教学的几点思考J.中学理科教学，1999,3(3):36-36. 10吴志翔著证明不等式河北人民出版社，198211 郭兆高.数学归纳法在中学数学解题中的妙用J.科技信息，2009，8(4):219-219.12 夏兴国.数学归纳法纵横法J.科学技术出版社，2004,6(2):3-13.13 刘金山.数学归纳法证题时应注意的几个问题J.数学教学研，1999,7(1):8-10