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1、几何与代数相结合的综合问题【 考点透视 】几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、 综合性最强的题型 . 它可以包含初中 阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法， 还能有机结合探索性、 开放性等 有关问题； 它既突出考查了初中数学的主干知识， 又突出了与高中衔接的重要内容， 如函数、 方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等 .综观全国各地的中考试题， 90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题. 就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高. 编制这样的综合题， 不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力； 考查学生对数学知识迁移 整
2、合能力； 考查学生学会将大题分解为小题， 逐个击破的能力； 考查学生对几何与代数之间 的内在联系， 多角度、 多层面综合运用数学知识、 数学思想方法分析问题和解决问题的能力； 还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力 .几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度； 有利于高一级学校选拔人才 .典型例题 例 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2- （2k+1）x+4k -3=0（ 1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；2）当 RtABC 的斜边长 a= 31 ，且两条直角边的长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，求 ABC 的周长 .
3、（2003 年江苏省连云港市中考试题）分析：（ 1）由一元二次方程根的判别式得 =（2k - 3）2+40 即可.（2）由一元二次方程根 与系数关系， 再由直角三角形的勾股定理建立关于 k 的一元二次方程， 从而求出三角形的另 两边之和 .解：（1）证明： = - （ 2k+1） 2-41（4k-3）=4k2-12k+13=（2k-3）2+4 无论 k 取什 么实数值，总有 （2k -3 ）2+40，即 0， 无论 k 取什么实数值时，该方程总有两个不相等 的实数根 .（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1 ，bc=4k- 3.又在 RtABC 中，根据勾股定理，得 b2+c2
4、=a2， （ b+c） 2- 2bc= 312 ，即（2k+1） 2- 2（4k - 3）=31，整理得，得 k2- k- 6=0，解这个方程，得 k=-2或 k=3.当 k=-2 时， b+c=- 4+1=- 3AC）.（ 2）在线段 BC的延长线上是否存在点 D，使得以 D、A、C 为顶点 的三角形与 ABC相似？若存在，求出 CD的长；若不存在，请说明理 由.（2003 年江苏省 镇江市中考试题 ）2、已知：如图 12-3，四边形 ABCD 为菱形， AF AD 交 BD 于21（ 1）求证： AD 2= DE DB ；2（2）过点 E作EGAF 交AB 于点 G， 若线段 BE、 DE
5、 （BE0） 的两个根，且菱形 ABCD 的面积为 6 3，求 EG 的长.2003 年江苏省无锡市中考试题）4例3.如图 13-4，直线 y=- 34x 4与x轴、 y轴分别交于点 M、2）如果点 P 在坐标轴上，以点分析：（ 1）较简单略； （2）因为半径 12 ，从而想到过点 P 作 MN的垂线， 由于点 P 的位置不确定所以想到对 P 点的位置进行 5分类 . 不妨以点 P在点 N的下方为例，过点 P作 PAMN于 A，则要求 P点坐标，只要求 OP 长，把问题转化为求 PN长，利用 PAN MON，使问题得以解决 .当点 P在 N点上方时，可 以利用三角形全等知点 P 到 N的距离与
6、在点 N下方时 PN的长相等，从而求出 P 点坐标，不 需要再重复上述步骤 . 当点 P在 x 轴上时利用相同的方法可求出 P 点的坐标 .解：（1）当 x=0 时， y=4，当 y=0 时，- 4 x 4 =0,x=3.M（3,0） ，N（0,4 ）34（2）当 P1点在 y 轴上，并且在 N点的下方时，设 P1与直线 y=- 4x 4相切于点 A，3连结 P1A，则 P1A MN. P1AN= MON=90 . P1NA= MNO, P1AN MON. P1A P1N12 1 1 . 在 RtOMN中，OM=3，ON=4 MN=5. 又 P1A= ， P1N=4. P1点坐 MO MN5标
7、是（ 0，0）. 当 P2 点在 x 轴上，并且在 M点的左侧时，同理可得 P2 点坐标是（ 0，0）.4当 P3点在 x 轴上，并且在 M点的右侧时，设 P3与直线 y=- 4 x 4相切于点 B，连结 P3B，3则 P3B MN. OA/P 3B. OA=P3B， P3M=OM=3. OP3=6. P3 点坐标是 （6 ， 0）. 当 P4点在 y 轴上，并且在点 N 上方时，同理可得 P4N=ON=4. OP4=8. P4点坐标是 （0，8）.综上， P点坐标是（ 0，0），（6，0），（ 0，8）.说明：本题不仅考查学生函数与方程，相似三角形，同时也考查了数形结合，分类讨论 等思想，其中熟练地进行线段长与坐标的互化也是解题的关键 . 其实本题若能从轨迹的角度 去考虑 ,就可以避免了分类的遗漏 , 也可以把问题转化为求一次函数的解析式, 只需求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐标 .
2005几何与代数相结合的综合问题
