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1、高数中的重要定理与公式及其证明(一) 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类 繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应 该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试， 很多时候要求没有那么高。而有 些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己 对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。 这些 证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是
2、应当熟练掌握的。由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明 过程是必要的。1) 常用的极限lim31，x 0 xxe 1 limx 0 xxa 1 1，limx 0 x1 cosxa , lim2x 0 x21【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1 X)，e与lim 沁 1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x 0 x巧。11 :由极限 lim(1x)x证明：e两边同时取对数即得lim ln(1 x) 1。x 0lim -11 :在等式lim匹1_x
3、) 1中，令ln(1 x) t，则x e 1。由于极限x 0 xx 0 x过程是x 0 ,此时也有t 0，因此有lim 亠 1。极限的值与取极限的符号t 0d 1是无关的，因此我们可以吧式中的x 彳t换成x，再取倒数即得lim -一1X 0 xxa 1 limx 0 xxln a :利用对数恒等式得lim - X 0 xxl na e limx 0x1-，再利用第二个极限可xln a得 lim -x 0 xlimlna。x 0 xxln a 丄e1ln a limln a。因此有x 0 x l n alim (1 x)a 1x 0 xa :利用对数恒等式得lim (1 x)a 1x 0eal
4、n(1 x) ie*l n(1 x)lim a limx 0 xx 0 a ln(1 x)aln(1 x) ealn(1lim也卫ax) x 0上式中同时用到了第一个和第二个极限。1 cosx lim2x 0 x21 :利用倍角公式得xim0F2si n2彳00十-lim2 x 0.xsin2x22) 导数与微分的四则运算法则III(u v) u v,d(u v) du dvIII(uv) u v uv ,d( uv) vdu udvIIu vu uvlz uvdu udv,小、() 2，d() 2(v 0)vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。 而导数
5、的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概 念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3) 链式法则设 y f (u), u(x)，如果(x)在x处可导，且f (u)在对应的u(X)处可导,则复合函数y f( (x)在x处可导可导，且有:f( (x)f(u)(X)或篇dy dudu dx【点评】：同上。4) 反函数求导法则设函数y f (x)在点x的某领域内连续，在点xo处可导且f (x)0，并令其反函数为x g(y)，且Xo所对应的y的值为yo，则有:g (yo)1f(xo)1 dx 1;或f (g(yo)dy dydx【点评】：同上5
6、）常见函数的导数sinxcosx, cosxsin x,In x-，lOga x xIn a【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上， 掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对 极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明 证明：x 1 :导数的定义是f (x) limx If（x x） f（x），代入该公式得lim (x x) xx 0(1勺1limJx 0 x1。最后一步用到了极限l,mo（1 x）aa。注意，这里的推导过程仅适用于0的情形。:利用导数定义e：e(x x) exlimx 0 xlimx 0xx e 1e xln
7、a的x 0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。sinx cosx :利用导数定义sin xlimsin(xx 0x)xsin X，由和差化积公式得sin (x limx) sinx2cos(xlimx)si n2x2cosx。cosxsinx的证明类x 0xx 0x似。1ln x :利用导数定义ln x1limln(xx)lnxln(1X)1linxx 0xx 0XXlogax 1的证明类似（利用换底公式loga x ）xln aIna证明类似（利用对数恒等式ax exlna）6) 定积分比较定理b如果在区间a,b上恒有f(x) 0,则有 f(x)dx 0a推论：i如果在区间a,b上
8、恒有f(x) g(x)，则有bf(x)dx bg(x)dx ; aaii设M和m是函数f(x)在区间a, b上的最大值与最小值，则有：bm(b a) f(x)dx M (b a)a【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广， 定积分中值定理也是它的推论。 掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7) 定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立：ba f (x)dx f ( )(b a)a【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的 推论，在证明题中有重要的作用。 考研真题中更是有直接用到该定
9、理证明方法的 题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8) 变上限积分求导定理X如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数(x) f(x)dx在a,b上a可导，并且它的导数是d x(x)f (x)dx f (x), a x bu(x)v(x)dx af (v(x)v(x)。设函数 F(x) U(X)f (t)dt，则有 F(x)f(u(x)u(x)【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9) 牛顿-莱布尼兹公式b如果函数f (x)在区间a,b上连续，则有 f(x)dx F(b) F(a)，其中F(x)是af(x)的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计
10、算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：设函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x U（X0），有 f（X0） f （x）或 f（X0） f （x），那么 f（X。）0【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数f （x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）上可导（3） 在区间端点处的函数值相等，即f（a） f（b）那么在（a,b）内至少存在一点 （a b），使得f（ ）0。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值
11、定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数f （x）满足（1）在闭区间a,b上连续；b)，使得 f( ) f(b) f(a)b ab），使得語朋（2）在开区间（a,b）上可导那么在（a,b）内至少存在一点（a【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数f （x）和g（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）上可导那么在（
12、a,b）内至少存在一点（a【点评】：同上14) 单调性定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。如果在(a,b)上有f (x)0 ,那么函数f (x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f(x)0 ,那么函数f(x)在a,b上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不 能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明 f(x)0的情形， f(x)0的情形类似。x1, x2( a, b) ，假定 x1 x2则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2 使得 f(x1) f(x2) f (x1 x2) 。由于 f0，因此 f(x1) f(x2)0
13、。由x1,x2的任意性，可知函数f (x)在a,b上单调递增。14) (极值第一充分条件 )o设函数f(x)在X。处连续，并在X。的某去心邻域U(xo,)内可导。i) 若 x(X。，x。)时，f(x)0,而 x(Xo,X。)时，f (x)0,则 f (x)在 X。处取得极大值ii) 若 x(X0,x)时，f (x)0,而 x(X0,X0)时，f (x)0,则 f (x)在 x处取得极小值；oiii) 若x U(X0,)时，f(x)符号保持不变，则f(x)在X0处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15) (极值第二充分条件)设函数f(x)在X。处存在二阶导数且f(xo)0
14、,那么i) 若f(x。)0,则f (x)在Xo处取得极小值；ii) 若f(x。)0,则f (x)在Xo处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明：仅证明f(Xo)0,的情形，f(Xo) 0,的情形类似。由于f(x)在X0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在X0的某领域内成立f (x)X0X0XX02X X0X0o22X X0由于f(X0)因此f(X) f X0X02X02X0f X0XX0X0X02X0由高阶无穷小的定义可知,oX0时，有一因此在X。的某领域内成立X。X2o X X02X X02xX02X00。X00,又由于于0，进一步，我们有fX0X2X0X0o X22X2xX0也即，在X。的某领域内成立f(x)由极值点的定义可知f(x)在X0处取得极小值16) 洛必达法则设函数f(x),g(x)在x a的空心邻域内可导，g(x) 0,且lim丄色 Ax ag(x)则有lim丄凶 A，其中A可以是有限数，也可以是,。x a g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法， 但它的证明却很少有人关注。 洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论， 证明过程比较简单，也是一个潜在的考 点，需要引起注意。具体证明过程见教材。
完整版高数中需要掌握证明过程的定理一
