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1、第三章章末检测（A）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1. 已知曲线y = x2 + 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是（）A . ( 1,3)B. ( 1, 3)C. ( 2, 3)D. ( 2,3)2. 函数y= x4 2x2 + 5的单调减区间为()A .(汽1)及(0,1)B. ( 1,0)及(1 ,+ )C. ( 1,1)D .(汽一1)及(1 ,+ )3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x 9，在x= 3时取得极值，则a等于()A . 2B . 3C . 4D . 54. 已知函数f（x） = ax3 x2
2、+ x 5在（ 3,+ ）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）1A . a31 1C . a3且0D . ax.18. (12分)某物流公司购买了一块长 AM = 30米，宽AN = 20米的矩形地块 AMPN，规 划建设占地如图中矩形 ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米.若规划建设的仓库是高度与 AB的长相同的长方体建筑，问 AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19. (12分)已知直线11为曲线y= f(x)= x2 + x 2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另外一
3、 条切线，且丨1丄d(1)求直线12的方程；求由直线11、12及X轴所围成的三角形的面积.20. (12分)要设计一容积为 V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半.问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？3421. (12分)若函数f(x) = ax3 bx+ 4,当x= 2时，函数f(x)有极值3.(1) 求函数的解析式；(2) 若方程f(x)= k有3个不同的根，求实数 k的取值范围.33 222. (12 分)已知函数 f(x) = ax x + 1(x R)，其中 a0.(1)若a = 1，求曲线y= f(x)在点(2, f
4、(2)处的切线方程；1 1若在区间2，孑上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.第三章导数及其应用(A)答案1. B f (x) = 2x + 2= 0,. x=- 1.f( - 1) = (- 1)2+ 2X (- 1) - 2=- 3. M(- 1 , - 3).2. A y= 4x3-4x= 4x(x2- 1)，令 y 0.1解得a3且0.5. D y= 2(x-2). x= 2 时，y= 0; x2 时，y 2 时，y 0.x= 2 是极小值点, f(2) = -3;又 f(0)= 1 , f(5) = 6,故 f(5)是最大值，f(2)是最小值.6. B y |x= 1= n + 1,
5、切线方程为 y-1 = (n+ 1)(x- 1),1令 y = ，得 x= 1-nn+ 1，即Xn =nn+ 1.所以 log 2 010X1+ log 2 010x2 + + lOg2 010x2 009 =l0g2 010(x1 X2009)=log2 010(12IS =log2 0102010=-1.7. A 令 f(x) = -x3+ x2 + x-2,贝V f (x) = - 3x2 + 2x+ 1,令一3x2 + 2x+ 1 = 0,11得x= 1,或x=- 3,故函数f(x)在x = 1和x =- 3处分别取得极大值 f(1) = - 1和极小33值f -3 =-29据此画出函
6、数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只 有一个根，且在一m, 3内.& Ah,贝U 2R+ h = 2.9. A 设圆柱横截面圆的半径为R,圆柱的高为 V= TR2h = nR2(2 2R)= 2 n2 2nR3, V = 2nR(2 3R)= 0.2令 V = 0，则 R= 0(舍)或 R = 2.3经检验知，R= 3时，圆柱体积最大，此时h= 3,33*2 _8_ ,Vmax = n 9 3 = 27 n .10. A (m, 2)时，f (x)0 , f(x)为减函数；同理f(x)在(2,0)上为增函数，(0, + m )上为减函数.2 111. C 因为 f(x)= l
7、n x x ,所以 f (x) = - 2x, x令f (x) = 0得x=三2 (x =宁舍去).当0x0，函数单调递增；当 x#时，f (x) 3解析 由题意应有f (x) = 3x2 + a 0,在区间(1,1)上恒成立，则a3x2, x ( 1,1)恒成立，故 a3.14. 3解析 T f (x) = x2+ 2,. f ( 1) = 3.15. ( 2,15)解析 设P(x0, y)(x00cos xcos x f(x)在0, n上为增函数.又T f(x)= tan x x 在 x= 0 处可导且 f(0) = 0,当 x 0, n 时，f(x)f(0)恒成立，即 tan x x0.
8、 tan xx.DC ND 口18. 解因为 AM = AN，且 AM = 30, AN = 20. 所以ND = ABAN=争得 AD = AN ND = 20 2x32x仓库的库容 V(x) = (20 ) x x=2 + 20/ (0x0;当 x (20,30)时，V (x) 12与x轴的交点坐标分别为(1,0)、誓, 所以所求三角形的面积为S=x 1+ 22312512 .2V20. 解由 V= n h,得 h = . n设盖的单位面积造价为a,则储油罐的造价 M = a n2+ 2a 2rh + 4a n2=5a n4aV+，M = 10a n 4aV，令 M = 0，解得 r =-
9、经验证，当r = 3今时，函数取得极小值，也是最小值,5 n此时,21.解 f，储油罐的造价最省.2(x) = 3 ax b.(1)由题意得f 2 = 12a b =f 2 = 8a 2b+ 4= 33故所求函数的解析式为f(x) = -x- 4x+ 4.3(2)由(1)可得 f (x) = x2-4= (x- 2)(x+ 2), 令 f (x) = 0,得 x = 2 或 x = 2.当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+ g)f (x) +0一0+f(x)z2814一 3才284因此，当x= 2时，f(x)有极大值28,当x= 2时，f(
10、x)有极小值3,33所以函数f(x)= -x3 4X+ 4的图象大致如右图所示.3若f(x) = k有3个不同的根，则直线 y= k与函数f(x)的图象有3个交点，所以一 条詈.22.解(1)当 a = 1 时，f(x) = x3 |x2+ 1 , f(2) = 3.f (x) = 3x2 3x, f (2) = 6,所以曲 线y= f(x)在点(2 , f(2)处的切线方程为 y 3 = 6(x 2),即 y = 6x 9.2(2)f (x) = 3ax 3x= 3x(ax 1).1令 f (x) = 0,解得 x = 0 或 x=.a以下分两种情况讨论：1 1若00等价于即.1 -5+ af20 .0.解不等式组得5a5.因此02，则010， 即i1-2T.1f - 2尸f(x)0等价于$f10解不等式组得 -22a5 或 a 因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.
第三章《导数及其应用》章末检测(含答案)
