新教材高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案

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1、（新教材）北师大版精品数学资料核心必知1向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和2度量公式(1)长度公式：设a(x，y)，则|a|(2)夹角公式：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos 3两向量垂直的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y204直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量问题思考1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2

2、)，则(x2x1，y2y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|.2坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别？提示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：abx1x2y1y20，即“相应坐标相乘和为0”；abx1y2x2y10，即“坐标交叉相乘差为0”3直线l的方向向量唯一吗？提示：直线l的方向向量即是与l平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与l平行或重合，所以直线l的方向向量不唯一(有无数个)，但它们都是共线向量讲一讲1已知向量a(4，2)，b(6，3)，求：(1)(2a3b)(a2b)；(2)(ab)2.尝试解答法一：(1)2a3b(8，4)(18，9)(10，5)，a2b(4

3、，2)(12，6)(16，8)，(2a3b)(a2b)16040200.(2)ab(10，5)(ab)2(10，5)(10，5)10025125.法二：由已知可得：a220，b245，ab30(1)(2a3b)(a2b)2a2ab6b222030645200.(2)(ab)2a22abb2206045125.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算练一练1已知a(2，1)，b(1，3)，向量c满足ac4，bc9.(1)求向量c的坐标；(2)求(ab)c的值解：(1)

4、设c(x，y)，由得，解得x3，y2.c(3，2)(2)法一：ab(2，1)(1，3)(1，4)，(ab)c(1，4)(3，2)134(2)5.法二：(ab)cacbc(2，1)(3，2)(1，3)(3，2)231(2)(1)33(2)5.讲一讲2已知a(1，2)，b(2，4)，|c|.(1)求|a2b|；(2)若(ab)c，求向量a与c的夹角尝试解答(1)a2b(1，2)2(2，4)(3，6)|a2b|3.(2)b(2，4)2(1，2)2aaba，(ab)cac设a与c的夹角为，则cos 0，即a与c的夹角为.1已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|进行计算2求向量的夹角时

5、通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos 计算cos 的值；(4)在0，内，由cos 的值确定角.练一练2已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，e(0，1)，若ab，|ab|2，且ab与e的夹角为，则x1x2()A2BC D1解析：选Bab(x1x2，y1y2)(ab)e(x1x2)0(y1y2)1y1y2.|ab|2，|e|1，ab与e的夹角为，cos ，y1y21，又由|ab|2知，(x1x2)2(y1y2)24，(x1x2)23.x1x2.讲一讲3已知a(，1)，b.(1)求证：ab；(2)是

6、否存在实数k，使xa2b，ykab，且xy，若存在，求k的值；不存在，请说明理由尝试解答(1)证明：ab(1)0.ab.(2)x(，1)2，yk(，1).假设存在k使xy，xy(1)(1)化简得：4k20k即存在k，使xy.两向量互相垂直，则其数量积为零，反之也成立，因此：(1)判断两个向量是否垂直，只需考察其数量积是否为0；(2)若两向量垂直，则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程，进而求解练一练3(安徽高考)设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_解析：ac(3，3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得m，则a(1，1)，故|a

7、|.答案：已知向量a(2，1)，b(t，1)且向量a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围错解设向量a与b的夹角为，则为钝角，cos 0，ab0.ab(2，1)(t，1)2t1.故t的取值范围是(，)错因错解在于误认为为钝角等价于ab0，实际上，ab0包含两向量反向共线的情况，即的情况，无疑扩大夹角的取值范围正解设向量a与b的夹角为，为钝角.cos 0，ab0，即(2，1)(t，1)2t1.当ab时，21(1)t0，得t2，这时b(2，1)a，b与a反向即当t2时，不合题意故t的取值范围为(，2)(2，)1向量i(1，0)，j(0，1)，下列向量中与向是ij垂直的是()A2i2jBijC2ij

8、Dij解析：选B可知ij(，1)，逐项考察知，(ij)(ij)(，1)(1，)0.ij与ij垂直2已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6C6 D8解析：选D法一：因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解得m8.法二：因为(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m8.3(重庆高考)设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)且ac，bc，则|ab|()A. B2C2 D10解析：选B因为ac，bc，所以有2x40且2x40，解得x2，y2，即a(2，1

9、)，b(1，2)所以ab(3，1)，|ab|.4经过点A(1，0)且方向向量与d(2，1)垂直的直线方程为_解析：设直线的方向向量为m(1，k)，由md得2k0.直线的斜率k2，故所求直线的方程为y2(x1)即2xy20.答案：2xy20 5设向量a，b的夹角为，且a(5，5)，2ba(1，1)，则cos _解析：a(5，5)，2b(5，5)(1，1)(4，6)即b(2，3)又|a|5，|b|，且ab(5，5)(2，3)25.cos .答案：6已知向量a(1，2)，b(2，2)，(1)设c4ab，求(bc)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的射影解：(1)c4(1，2)

10、(2，2)(6，6)，bc(2，2)(6，6)26260，(bc)a0a0.(2)ab(1，2)(2，2)(12，22)，(ab)a(12)2(22)0，得.(3)法一：设a与b的夹角为，则cos .向量a在b方向上的投影为|a|cos ().法二：ab(1，2)(2，2)2，|b|2.向量a在b方向上的投影为|a|cos .一、选择题1若向量a(1，2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()AB.C. D.解析：选C因为2ab(2，4)(1，1)(3，3)，ab(0，3)，所以|2ab|3，|ab|3.设2ab与ab的夹角为，则cos ，又0，所以.2已知向量a(3，4)，b(2，1)

11、，如果向量axb与b垂直，则x的值为()A B.C. D2解析：选Aaxb(3，4)x(2，1)(32x，4x)，b(2，1)，且(axb)(b)，2(32x)(4x)0，得x.3已知向量a(2，1)，ab10，|ab|5，则|b|()A. B.C5 D25解析：选C法一：设b(x，y)，则ab2xy10，又ab(x2，y1)，|ab|5，(x2)2(y1)250与联立得或|b|5.法二：由|ab|5得a22abb250，即520b250b225|b|5.4已知(4,2)，(k，2)，若ABC为直角三角形，则k等于()A1 B6C1或6 D1或2或6解析：选C当A90时，则4k40，k1；当B

12、90时，又(k4，4)4(k4)2(4)0解得k6；当C90时，则k(k4)(2)(4)0即k24k80，无解故k1或6.二、填空题5(安徽高考)设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_解析：由题意知，ac(3，3m)，(ac)b3(m1)3m0，解得m，即a(1，1)，|a|.答案：6(新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力根据数量积bc0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以

13、ab，由bc0得bta(1t)b0，即tab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：27已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_解析：本题主要考查向量的基本知识及运算由题意，将bcta(1t)bb整理，得tab(1t)0，又ab，所以t2.答案：27已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_解析：设c(x，y)，则ca(x1，y2)又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.解得x，y.答案：8已知a(1，3)，b(1，1)，cab，若a和c的夹角是锐角，则的取值范围是_解析：由条件得，c(1，3)，从而(0，)答案：(0，)三、解答题9已知向量a是以点A(3，1)为始点，且与向量b(3，4)垂直的单位向量，求a的终点坐标解：b是直线yx的方向向量，且ab.a是直线yx的方向向量可设a(1，)(，)由|a|1，得221.解得，a(，)或a(，)设a的终点坐标为(x，y)则或即或a的终点坐标是(，)或(，)10已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：ABAC；(2)求点D和向量的坐标；(3)设ABC，求cos .5(x1)5(y2)，由解得x，y，故D点坐标为(，)，