完整版高等数学工专讲义

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1、接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相 信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不 起变化，我们把其称之为 常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我 们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象 是极其微小的，我们则把它看作常量。变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名 称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭

2、区间a xba，bi ia氏X开区间a v x v b（a，b）irnJL丄J半开区间av xb 或 a xv b（a，b或a，b）*tKM1丄.以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a ，+x):表示不小于 a的实数的全体，也可记为：a 0.满足不等式|x - a|vs的实数x的全体称为点 a 的5邻域，点a称为此邻域的中心，S称为此邻域的半径。函数函数的定义如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称 y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个 函数的定义域。通常x 叫做自变量，y叫做因变量。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=

3、f(x) 、y=F(x)等等来表示.这里的字母f、 F表示y与x之间的对应法则即 函数关系，它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应， 这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。函数的表示a) :解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。 例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b) :表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表 格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c) :

4、图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自 变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：函数的简单性态函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有|f(x) | M成立，其中M是一个与x无关的 常数，那么我们就称 f(x)在区间I有界，否则便称无界。注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数COSX在(-g，+ g)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点xi及X2,当xi V X2时，有 ,若变量y在函数的值域内任取一值y。时，变量x在函数的定义

5、域内必有一值X0与之对应，即 佩）P ，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数 y二f 的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数二门的反函数。反函数的存在定理若.二人二在（a，b）上严格增（减），其值域为 R,则它的反函数必然在R上确定，且严格增（减）.注：严格增（减）即是单调增（减）例题：y=x2，其定义域为（-%，+ X），值域为0,+ %）.对于 y取定的非负值，可求得 x= 匚.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定 x的值，也就是在区间（-x，+ x）上,函数不是严格增（减），故其没有反函数。如果我们加上条件， 要求x 0,则对 泸0、x= 就是y=x2在要求x0时的反

6、函数。即是：函数在此要求下严格增（减）.反函数的性质在同一坐标平面内，与 的图形是关于直线 y=x对称的。例题：函数 -与函数丄匸；互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系 中是关于直线y=x对称的。如右图所示：复合函数的定义若y是u的函数，而u又是x的函数：=汀、，且的函数值的 全部或部分在.八的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函 数是由函数-及二复合而成的函数，简称复合函数，记作 I其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数“ 二二二匚与函数是不能复合成一个函数的。2因为对于八的定义域（-X，+ X）中的任何x值所对

7、应的u值（都大于或等于 2），使二二二匚都没有定义。初等函数基本初等函数我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幕函数、三角 函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函 数 名 称函数的记号函数的图形函数的性质指 数 函 数 =门肯aa) :不论x为何值，y总为正数；b) :当 x=0 时,y=1.对 数 函 数i=阳xa) :其图形总位于 y 轴右侧，并过(1,0)点b) :当a 1时，在区 间(0,1)的值为负；在 区间(-，+ %)的值为 正；在定义域内单调增.幕 函 数yX a为任意实数这里的y jj = z*令 a=m/na) :当m为偶数n为奇数时,y

8、是偶函数；b) :当m,n都是奇数 时,y是奇函数；c) :当m奇n偶时,y在(-g ,0)无意义.oj.只画岀部分函数图形 部分。角 函 数(正弦函数)这里只写出了正弦函数iV = sin x7 ? 匕 沽-墙 X 数 夹 y 调 其 +, 卅W及 単 乂 奇 图 内 : - 是 其=域 z-fk : : y 疋 为6 线 在我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别:双曲函数的性质三角函数的性质shO =0 = UAO = 0sin 0 = 0.0050=113110 = 0shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx 与tanx 是奇函数， cosx 是偶函 数ch x-sh x = ls

9、in x + cos x = 1它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式:sh(xy) = shxchychxshy ch(x y) = chxchy 土 shxshy 陋士刃=业空 liihxthy反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数.a):反双曲正弦函数-汇讥二二一_】丨其定义域为:(-OO，+ OOb):反双曲余弦函数：-1其定义域为:i,+ s);_1 .1 + Xarthx 二-Inc):反双曲正切函数1 1其定义域为：(-i,+i);数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。数列若按照一定的法则，有第一个数ai，第二个数a2,，依次排列下去，使得任何一个正

10、整数n对应着一个确定的数 an，那末，我们称这列有次序的数ai，a2，an，为数列.数列中的每一个数叫做 数列的项。第n项an叫做数列的 一般项或通项.注：我们也可以把数列 an看作自变量为正整数 n的函数，即: anf(n)，它的定义域是全体正整数极限极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求岀圆的面积。设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为Ai;再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正 6X2 n-i边形的面积记为 A)可得一系列内接正多边形的面积：Ai，A，A,，An，它们就

11、构成一列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时， An也无限接近某一确定的数值(圆 的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列Ai, A, A3,，An，当nis (读作n趋近于无穷大)的极限注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽（公元三世纪）的割圆术。数列的极限T T 111 T i 11一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数（不论其多么小），总存ry在正整数N,使得对于n N时的一切 建不等式xn a都成立，那末就称常数 a是数列的极限，或者称数列 X收敛于a .记作：；或：一空注：此定义中的正数只有任意给定，不等式xn a才能表达岀占与a无限接近的意思。且定义中的正整

12、数 N与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给岀它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列极限为a的一个 几何解释：T T 111 T 111将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示岀来，再在数轴上作点 a的邻域即开区间（a- ，a+），如下图所示：勒 *加xN+3Sl+2 x3 x因不等式Xn a与不等式0-乩0 N时，所有的点若!都落在开区间（a-，a+ ）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。数列的有界性YTYY对于数列，若存在着正数 M使得一切 、都满足不等式丨

13、 力I 0存在函数与常数A任给一正数 0总可找到一正整数 N总可找到一正数 X对于n N的所有对于适合的一切x则称数列 上当Xis时收敛于 A都满足J 函数: =/w 当Xis时的极限为记：数列的极限的定义从上表我们发现了什么？试思考之b）:自变量趋向有限值时函数的极限我们先来看一个例子例:，当xi1时函数值的变化趋势如何?函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内,都有无穷多个点，为此我们把xi1时函数值的变化趋势用表列岀 ，如下图：X09 0 96 0 999111.001 11.01 11 too1.9 1.99 1.999 22.001 2.01 2.1 从

14、中我们可以看岀 xi1时，12.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要丿W与2只差一个微量 ，就一定可以找到一个当VS定义:设函数；匸在某点X0的某个去心邻域内有定义，且存在数A,如果对任意给定的(不论其多么小)，总存在正数S,当 0v X - X。v s 时,则称函数当XX 0时存在极限，且极限为lim /(x) = AA,记：注：在定义中为什么是在去心邻域内呢?这是因为我们只讨论 XTX0的过程，与X=X0岀的情况无关。此定义的核心问题 是：对给岀的，是否存在正数 s,使其在去心邻域内的 X均满足不等式。d):则对于任给的 0,总能找出S,当 0v 阳 vs 时,/U)-|v成

15、立,有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A，其证明方法是怎样的呢？a)：先任取 0;b)：写岀不等式v ；c):解不等式能否得岀去心邻域 0 * 一咼| vs,若能;下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准则函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极 限的运算规则与数列极限的运算规则相似。函数极限的运算规则若已知XX o(或XTX )时，lim (jr(x)g(x) = AB贝u：lim /(x) g(x) = A 3XT殆 g(M Blim k /(x) - kA,仗为常数)推论：-：jBmL7(RU(寤为正整数)在求

16、函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极 限。lim ,、例题：求；丨, v 1lim 3x2 +lnn x-lim 17,1 17血 dx +x-1_d+11解答：43 +x2 -x + 3 lim+ lim x2 - lim x +lim 3 4+1-1 + 3 721 2】3/-4/+2例题：求I.：匚此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解岀来42 At? + 2?畫十兰 3lim =lim 二-z h +5-3 f丄 537解答:x x注：通过此例题我们可以

17、发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。我们先来看一个例子：例：符号函数为-1 x0la对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的为此我们定义了左、右极限的概念。定义：如果X仅从左侧（X V Xo）趋近Xo时，函数与常量A无限接近，则称A为函数lira/0）二虫当-J时的左极限.记：如果x仅从右侧（x Xo）趋近Xo时，函数一 * I与常量A无限接近，则称 A为函数 /当心州 时的右极限记:注：只有当Xxo时，函数的

18、左、右极限存在且相等，方称/W在XTx o时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点Xo的某一邻域内的一切 X，Xo点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切X）有二ex且lrni 扯E 二_，那末、，存在,且等于A。注：此准则也就是夹逼准则准则二：单调有界的函数必有极限 .注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限lim（l+b-一一 : I注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045.sin x qhm= 1二: 注：在此我们对这两个重要极限不加以证明注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们Em（l-）r例题：求上解答：令二，则x=-2t，因为故

19、t TX，则9 1 1 1+=（1 + -）严二尸注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象XTX时，若用t代换 1/x，贝U t t0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子:已知函数，当XT0时，可知ji&i TOO，我们把这种情况称为了趋28向无穷大。设有函数 y=；二 ，在X=Xo的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数I I 时，成立，则称函数当N 个任意为此我们可定义如下:大的数），总可找到正数 5，当lmi fix）二 oo时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给岀当 XTX时，一 *1无限趋大的定义：设有函数y=，当X充分大时有

20、定义，对于任意给定的正数 N（ 一个任意大的数），总可以找到正数 M当九时，成立，则称函数当 xtx时是无穷大量，记lim / U）二 oo为-无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数；.二，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 S （或正数m，使得对于适合不等式5-州K 5（或kpM）的一切x，所对应的函数值满 足不等式，则称函数；二当“-11（或 s）时 为无穷小量.lim /（x） = 0阮/二。记作：、：（或丄）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有o可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收

21、敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在（或XTX）时有极限A,则差是当11（或XTX ）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a）:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）:有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c）:常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。疋义：设a，Pa）: 穷小;b）:c）:p等价）lim-例：因为1 一二都是一 I时的无穷小量，且lim -

22、= 0如果，则称a是如果如果1匚，所以当X-0时,P在Xo的去心领域内不为零,则称a和B是同阶无穷小；a和B是等价无穷小，记作：aspx与3x是同阶无穷小;的低阶无lim = 0因为 匸；二：.，所以当xF 时，X2是3X的高阶无穷小;sin x因为所以当x-O时,sinx与x是等价无穷小。等价无穷小的性质lim ,fp - - ，且存在，则lim注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来 代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。lim例题:.sin ax . ax a lim= Jim =解答：当 x-0 时，sin axsax, tan bxsbx,故

23、：一.一二上一二 i例题:lim2. 求 解答:limjmOtan x - sin xtan3 3xtan x(l- cosx) .=lunr= lim仪tan 3x学）1541- cosx =注：2sX- 22-注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只 代换某个因子。函数的一重要性质一一连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念一一增量设变量x从它的一个初值X1变到终值X2，终值与初值的差X2-X1就叫做变量x的增量，记为： X，即： X=X2

24、-X 1。增量 X可正可负.我们再来看一个例子：函数 在点X0的邻域内有定义， 当自变量X在领域内从X0变到Xo+A X时，函数y相应地从他） 变到其对应的增量为:Ay=/(x)+Ax)-/(xfl)这个关系式的几何解释如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当x趋向于零时，函数y对应的增量 y也趋向于零，即：那末就称函数二厂、二在点X。处连续。函数连续性的定义:xo的某个邻域内有定义，如果有称函数在点X0处连续，且称X0为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续 的概念:设函数 /（*在区间（a,b内有定义，如果左极限丿存在且等于了也），即：乞-，那

25、末我们就称函数设函数在区间a,b）内有定义，如果右极限八存在且等于，即:一个函数在开区间（a,b）内每点连续，则为在（a,b）连续，若又在 a点右连续，b点左 连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点函数的间断点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.它包括三种情形：a）:;:;在xo无定义;b):c）

26、:;工 在X-X 0时有极限但不等于F面我们通过例题来学习一下间断点的类型：lim tan x = co例1：正切函数u、在 一处没有定义，所以点一是函数亡辿；的，我们就称 -为函数的无穷间断点；j = sin -例2 :函数.二在点x=0处没有定义；故当 x-0时，函数值在-1与+ 1之间变动j = sin -无限多次，我们就称点x=0叫做函数.二的振荡间断点；x-U0例3 :函数当X时，左极限-,右极限叫/(归，从这我们可以看岀函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点X=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种

27、间断点用几何图形表示岀来如下间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如果X0是函数1的间断点，且其左、右极限都存在，我们把X0称为函数.1 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点/slim /(x)心若X0是函数的间断点，但极限：J存在，那末X0是函数的第一类间断点。此时函数不连续原因是:/(x0)=lim /(t)令点。，则可使函数在点X0处连续，故这种间断点X0称为可去间断31则丿不存在或者是存在但fa连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得岀以下结论：a) :有限个在某点

28、连续的函数的和是一个在该点连续的函数；b) :有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；c) :两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；反函数的连续性若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数 x =(p(y)也在对应的区间上单调增 (单调减)且连续。例：函数-L- -在闭区间-一上单调增且连续，故它的反函数1， lJI- -，Lj 在闭区间-1,1上也是单调增且连续的。复合函数的连续性一心fci(p(x) = a小设函数削二/ 当x-x 0时的极限存在且等于a，即：；、.而函数 一匕在点u=a连续，那末复合函数:J 当 X-X 0时的极限也

29、存在且等于.即：例题:1 1解答:bn cos(l+x)K 二 coslim Q + x)r = coss1 1函数y二cos(l+xy可看作y- cos与u = (l + z)K复合而成，且函数二二在点u=e连续，因此可得出上述结论。设函数“ 小在点x=xo连续，且1 I I ,而函数二J呼；在点u=uo连续，那 末复合函数 尸/附 在点X=X0也是连续 的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得岀以下结论:基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续下面我们再来学习一下一一闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续

30、区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)例：函数y=sinx在闭区间0，2n 上连续，则在点x=n /2处，它的函数值为 1且大于闭区间0，2n 上其它各点岀的函数值； 则在点x=3n /2处，它的函数值为-1，且小于闭区间0，2n 上其它各点岀的函数值 介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：-二 J匸，卩在a、B之间，则在a，b间一定有一个 E,使U - 推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。导数的概念在学习

31、到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问 题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置 x是时间t的函数， X = /W ，求质点在t 0 的瞬时速度？我们知道时间从t。有增量At时，质点的位置有增量 . *- -1.，这就是质点在时间段At的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：他+位）-/（如）若质点是匀速运动的则这就是在to的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在to时的瞬时速度。我们认为当时间段At无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点to时的瞬时速度，即：质点在to时的瞬时速度= 1一；1 _-为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义设函数

32、y二f 在点Xo的某一邻域内有定义，当自变量X在Xo处有增量厶X（X+ 也在该邻域内）时，相应地函数有增量，若与Ax之比当 x-0时极限存在，则称这个极限值为二 在Xo处的导数r也 f记为：y f还可记为：必fJ （心）函数 /W 在点Xo处存在导数简称函数在点Xo处可导，否则不可导。若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数 /W 在区间（a,b）内可导。这时函数二厂、二对于区间（a,b）内的每一个确定的 x值，都对应着一个确定的导数，这就 构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数T =匚打的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因

33、此我们可以给岀左、右导 数的概念。.1在X=Xo处的左导数在X=Xo处的右导数lim怛若极限-存在，我们就称它为函数若极限存在，我们就称它为函数注:函数在Xo处的左右导数存在且相等是函数y=fW 在Xo处的可导的 充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为：二 -=。其中u、v为可导函数。例题：已知;_ / ,求卩解答:例题:解答:”二(+(/y+二“宀 5x“ + o 二g+5j4已知求y = (m 幼-哋盘畫)+ 丁 = cosx+tfr函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可

34、导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用 公式可写成： 二 二例题：已知:,r - ，求V解答： 打:r -: / .: I : r -I 丁 一-函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二 个因子的导数。用公式可写成：例题：已知.f；，求y(z)f = (-./xYsin x + x)f = sin 畫+“斤 cosx解答:积，在除以分母导数的平方。用公式可写成:t uv-uvvV22血例题：已知二二匚，求解答：sin f (sin x)1 cos z - sin x(cos cos2 x+sin 2 x 1复合函数的

35、求导法则例题：求在学习此法则之前我们先来看一个例子 例题：求口-=?解答:这个解答正确吗这个解答是错误的， 正确的解答 应该如下:(sin 2x)f = (2sin xcosx)r = 2(sin x)rcosx+sin x(coj x)f= 2cos2x我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对 2x求导。下面我们给岀复合函数的求导法则复合函数的求导规则规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变dy _dy du量的导数。用公式表示为：上丄.丄.,其中U为中间变量dy2 例题：已知11 ，求解答： 2 2设：二】,则一二二一上可分解为丁二”.m因

36、此dy dy du dx du dx仗*y（sin x）f = 2u cosx = 2sin xcosx = sin 2x注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。空例题：已知 上，求二:创 卉“1 八“ COS J=(to sin j) =(sin X)= cot x解答：二:反函数求导法则根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数x =叭y),它也是单调连续的.导，且有:为此我们可给岀反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给岀 )：定理：若二*川是单调连续的，且 p(y)芝 o ，则它的反函数在点x可广二丄注:通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数 的倒数。注:这里的反

37、函数是以 y为自变量的，我们没有对它作记号变换。即:贮厂是对y求导， 广是对x求导例题:解答:例题:解答:求的导数.此函数的反函数为： 江、：，故.1则：r 1 1 1 “1y 二 二r二” cosy J1 迎力 J1_F求, 1, 0，求此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然 后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下解答：先两边取对数：In = sin xln x把其看成隐函数，再两边求导If . sin xy = cosxln x y*因为“：所以ff11111 Afqilll Ay - y(uoe x In x) = x cos xln x)例题：厂（-1）（

38、 2）已知； _，求卩此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导解答：先两边取对数In _y- _血(兀一1) +ln(兀一2)_ln(x_3)_ln(x_4)2再两边求导1 r r 1 i i i-y =-(+-y 2 x-l x-2 x-3 x-4因为F(n),所以1 1)(2) 1 r 1 1 1函数的微分学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由xo变到了 Xo+Ax,则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为 x，面积为A,则A是x的函数：二 u薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自

39、变量x从xo取的增量时，函数A相应的增量 A,即:LA -(咼 +&) 彳二 2i0Ax+(Ax)2从上式我们可以看岀，AA分成两部分，第一部分 一：一是的线性函数，即下图中红色部分；第二部分 （心）即图中的黑色部分,当厶X-0时，它是Ax的高阶无穷小，表示为：-；1由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。F面我们给岀微分的数学定义:函数微分的定义设函数在某区间内有定义，Xo及Xo+亠在这区间内，若函数的增量可表示为- I X，其中A是不依赖于Ax的常数，是Ax的高阶无穷小，则称函数二丿： 在点Xo可微的。血X 叫做函数在点Xo相应于自变量增量Ax的微分

40、，记作dy，即：矽=!通过上面的学习我们知道：微分/是自变量改变量Ax的线性函数，dy与Ay的差二是关于Ax的高阶无穷小量，我们把dy称作Ay的线性主部。于是我们又得岀：当厶xO时， ydy.导数的记号为：_：现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把Ax看成dx,即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为： dy = f(x)dx由此我们得岀： 若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分形式不变性什么是微分形式不变性呢？设匚二 厂门，则复合函数/.-J的微分为：二:由于门：，故我们可以把复合函数的微分写成:1 i，;由此可见，不论U是

41、自变量还是中间变量，的微分dy总可以用 他) 与du的乘积来表示。我们把这一性质称为微分形式不变性。例题：已知，求dy解答：把2x+1看成中间变量u,根据微分形式不变性，则妙二 d($in u) = COS1A& = cos(2+l)i (2x+1) = cos(2x+1)*= 2cos(2x +l)di通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？下面我们来学习基本初等函数的微分公式与微分的运算法则基本初等函数的微分公式与微分的运算法则基本初等函数的微分公式由于函数微分的表达式为：

42、，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)导数公式微分公式(Qf = 01d(o 二=1d(x)二 dxd(x)二曲dx(sin x)f= cosad(sin M = cos叭二沪d(d)二/dx(In x)r =-X微分运算法则.为了便于理解，下面我们用表格求 对X3的导数根据微分形式的不变性由函数和、差、积、商的求导法则，可推岀相应的微分法则 来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则（士 神二/d(uv)-duldv(Cuy=Curd(Cu) = Cdu3），二讥+吋d(uv) = vdu+udv1 -肚wvfIJ = /Ju) vdu - udv d-j复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述例题:解答:微分的应用微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单,为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用例题：求1 - -1的近似值。解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题xO5 二 J1 +0.05 =+ Ax）/（X +心）鬲/（X）+ f （兀）虹=丘+故其近似值为1.025（精确值为1.024695