A§3.2立体几何中的向量方法(2)——利用向量方法求角

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1、 3.2 立体几何中的向量方法(二) 利用向量方法求角知识点一求异面直线所成的角已知平行六面体ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都是1，且 A 1AB A 1AD BAD 60， E、F 分别为 A 1B1 与 BB 1 的中点，求异面直线BE 与 CF 所成角的余弦值解如图所示，解 如图所示，uuuruuuruuur设AB = a，AD = b ，AA1 =c.则 | a | = | b | = | c | =1， a,b = b,c = a,c = 60, a b = b c = ac =1 ，2uuuruuur+uuuur1而 BE=BB1B1E =a + c.uuuruuuruuur

2、21 c,CF=CB+BF=b +uuur2uuur133|BE |4|a|2 |c|2 ac2， |CF|2 .uuur uuur 11 BE CFa c bc2211121 2ab4acbc 2c 8，uuuruuuruuuruuurBE ?CF=1,cos BE ， CF uuuruuur6BE? CF 异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是16.【反思感悟】在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.1正方体 ABCDA 1 1 1 11111的中点求：异面B C D中， E、F 分别是 AD 、AC直线 AE 与 C

3、F 所成角的余弦值解 不妨设正方体棱长为2，分别取 DA 、DC、 DD 1所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0) 、C(0,2,0) 、uuurE(1,0,2) 、 F(1,1,2)，由 AE (1,0,2) ，uuuruuuruuurCF (1， 1,2)，得 | AE |5，|CF | 6.uuuruuur AECF 1 0 4 3.uuuruuuruuuruuuruuur,uuur又AECFCFCF= |AE| |cosAEuuuruuur ,=30AE ,CFcoscosuuuruuur30,AE, CF =10异面直线AE 与 CF 所成

4、角的余弦值为3010知识点二求线面角正三棱柱 ABCA 1 1 1的底面边长为a，侧棱长为11 1B C2a，求 AC与侧面 ABB A所成的角解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) ，B(0 ， a,0)，3 aaA 1(0,0， 2a)， C1 2 a， 2， 2a，连结 AM 、2a ，取 A 1B 1 中点 M ，则 M 0，21MC ，有uuuuruuuruuurMC1 3a， 0，0 ， AB (0，a,0)， AA1 (0,0，2a)，2uuuuruuuruuuuruuur由于 MC1 AB=0，MC1 AA1 = 0 ，2 MC1面 ABB1A1. C1AM是

5、 AC1 与侧面 A1B 所成的角 .uuuur3aAC1 =2 a，2， 2a,uuuuruuuur22 AC1 0a 2a2 9a.AM44uuuurAMa 0， 2，2a ，uuuur22而|AC1| 3a a 2a2 3a，44uuuur2|AM |a 2a23a，42uuuuruuuur9a243 cos AC1, AM.3a23a 2uuuuruuuur AC1， AM 30，即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为 30.方法二 (法向量法 )( 接方法一 )uuuruuurAA1, (0,0，2a)， AB (0， a,0)，设侧面 A1B 的法向量 n ( ， x， y)u

6、uur nAB 0 且 n AA1 0 ax0，且2ay 0. x y 0，故 n ( ， 0,0)uuuura，2a ， AC1 32 a， 2uuuuruuuur?3nn ? AC 1a. cos AC1 ,n ?uuuur?2AC13a2uuuur1， 30.设所求线面角为 ，则 sin |cos . AC1 ， n |2【反思感悟】充分利用图形的几何特 征建立适当的空间 直角坐标系，再用向量有关 知识求解线面角 方法二给出了 一般的方法，先求平面法向量 与斜线夹角，再进行换算3如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中 AB BC 2AD ，AS 平面 ABCD ， AD BC，AB BC

7、 ，且 AS AB. 求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦解由题设条件知，可建立以AD 为 x 轴， AB 为 y 轴， AS 为 z 轴的空间直角坐标系1(如图所示 )设 AB 1，则 A(0,0,0) ， B(0,1,0) ， C(1,1,0) ，D 2， 0， 0 ，S(0,0,1) uuur AS (0,0,1) ， CS ( 1， 1,1)uuurAS 是底面的法向量，它与已知向量CS是底面的法向量， 13AS CS它与已知向量CS的夹角 90 ，故有 sin cos 133 ，|AS|CS|于是 cos1 sin26.3知识点三求二面角如图，四棱锥P ABCD 中， PB

8、底面 ABCD ，CD PD，底面 ABCD 为直角梯形， AD BC， AB BC ， AB AD PB 3.点 E 在棱 PA 上，且 PE 2EA. 求二面角 ABE D 的余弦值解以 B 为原点， 以 BC 、BA 、BP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设平面 EBD 的一个法向量为n 1 (x， y,1)，uuur因为 BE (0,2,1) ，BD (3,3,0) ，n1uuur0,? BE2y 1 0由uuur得，n ? BD0,3x3y 0141x 2所以，1y 2于是 n1(1， 1， 1)22又因为平面ABE 的一个法向量为n2 (1,0,0) ，1 6所

9、以， cos n1， n 2 6 .66所以，二面角A BE D 的余弦值为6 .【反思感悟】 几何法求二面角， 往往需要作出平面角， 这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用若 PA平面 ABC ，AC BC，PA AC 1，BC 2，求二面角APBC 的余弦值解如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， B(2， 1,0)， C(0,1,0) ， P(0,0,1) ，uuuruuur，AP (0,0,1) ， AB ( 2，0,0)， CP (0， 1,1)设平面 PAB 的法向量为 m

10、(x， y， z)uuur0,m ? AP则uuur0,m ? ABx， y， z 0， 0， 1 0y 2xx， y， z 2， 1， 0 0，z 0令 x1，则 m (1， 2，0)设平面 PBC 的法向量为n (x ， y ， z )，则uuurn ?CB 0,x ， y ， z 2， 0，0 0x 0，uuur.n ?CP 0,x ， y， z 0， 1， 1 0y z令 y 1，则 n (0， 1， 1)mn3 cos m， n |m|n| 3 .3 二面角 APBC的余弦值为3 .5课堂小结：1两条异面直线所成角的求法|ab|(1)向量求法：设直线a、 b 的方向向量为 a、 b，

11、其夹角为 ，则有 cos |cos | . |a| | |b(2) 两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角2直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为a，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为 ，则有|au|sin |cos |或 cos sin .|a|u|3二面角的求法uuurAB 与 CD 的夹角 (如图所示 )(2)设 n 1、 n2 是二面角 l 的两个面 、 的法向量，则向量 n1 与 n 2 的夹角 (或其补角) 就是二面角的平面角的大小 (如图所示 )

12、一、选择题1若直线 l 1 的方向向量与l2 的方向向量的夹角是 150 ，则 l1 与 l 2 这两条异面直线所成的角等于 ()A30B 150 C30或 150 D 以上均错答案A2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于150 ，则直线 l 与平面 所成的角等于 ()A30B 60C150 D以上均错答案B3直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 内，直角顶点 C 在 内的射影是 C，则ABC 是 ()A 直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D各种情况都有可能答案Buuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuur解析 0=CA CB=（ CC+C A）（ CC +CB）u

13、uuuruuuuruuuur=| CC |2+CA CB.6uuuuruuuuruuuur CACB = |CC|20,因 A ， B， C不共线，故 AC B 为钝角 .4如图所示，在正方体ABCDA B C D中， M，N，P 分别是棱 CC ，BC，A B上1111111的点，若 B 1MN 90，则 PMN 的大小是 ()A 等于 90B小于 90C大于 90D不确定答案A解析A 1 1111 1MN ，B 平面 BCCB，故ABuuurMP MNP)MN (MB 1B1uuuur 0，1 B1= MB MNP MN MP MN ，即 PMN 90.5在正方体 ABCDA1B CD中，

14、点E为BB的中点， 则平面 A ED 与平面 ABCD所11111成的锐二面角的余弦值为 ()1232A. 2B.3C. 3D. 2答案B二、填空题6若两个平面 ， 的法向量分别是 n (1,0,1) ， ( 1,1,0) 则这两个平面所成的锐二面角的度数是 _答案60解析cos n， 112 22. n ， 120 .7正方体 ABCDA1BC D中， M，N 分别是 DD，B C的中点， P 是棱 AB 上的动111111点，则 A 1M 与 PN 所成的角是 _答案90解析设正方体每边之长为1，因uuuuruuuuruuuuurA1MA1 D1D1 Muuuur1 = A1D1 2D1D

15、，7uuuruuur1PN PBBB 1B1C1，2uuuuruuur1 uuur uuur1uuuur1B1C1AMA 1D1D1D PB BB1PN22uuuur11 11A D21 1211 0，=11B CD DBBuuuuruuur A1M PN , 即 A 1M 与 PN 所成的角为 90.三、解答题8已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长为 2，底面的边长为3， E 是 SA 的中点，求异面直线 BE 和 SC 所成的角解建立如图所示空间直角坐标系由于 AB 3，SA2，2可以求得 SO 2 .则3， 3，0 ，A3， 3，0 ，B 2222C 3，3，0 ，S 0，0，2.222由

16、于 E 为 SA 的中点，所以 E332，4，4 ，4uuur3332 ，所以BEuuur4 ，4 ，43，3，2 ，SC 222uuuruuur因为 BE SC 1，uuuruuur|BE | 2，|SC| 2，uuuruuur 11，所以 cos BE ， SC 2 22uuuruuur所以 BE ， SC 120.所以异面直线BE 与 SC 所成的角为60.9如图所示，在正方体 ABCDA 1B1 C1D 1 中，已知 AB 4， AD 3， AA 1 2， E、 F 分别是线段 AB 、 BC 上的点，且 EB FB 1，8(1)求二面角C DEC 1 的正切值；(2)求直线 EC1

17、与 FD 1 所成角的余弦值解 (1)以 A 为原点， AB 、AD 、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0) ， D1(0,3,2) ， E(3,0,0) ，F(4,1,0) ， C1(4,3,2) ，uuuruuuuruuuur于是DE=（3,3， 0），EC1 =（ 1，3， 2），FD1 =（ 4，2， 2） .设平面 C1DE 的法向量为n=（ x， y， z） .uuuruuuur则 n DE ， n EC1 3x3y=0,x+3y+2z=0. x=y=z.令 z = 2,则 n (1， 1,2)uuur 向量 AA1 (0,

18、0,2) 是平面 CDE 的一个法向量，uuur n 与向量 AA1 所成的角 为二面角CDEC 1 的平面角uuur162 cosnAAuuur, tan 2.13| n | AA |(2)设 EC1 与 FD1 所成角的为 ，cos=21则14 .10正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、 OC 两两垂直，且长度均为2.E、 F 分别是 AB 、AC 的中点， H 是 EF 的中点，过 EF 的一个平面与侧棱OA、 OB 、 OC 或其延长线分别相交于 A 1111 3、 B、C ，已知 OA 2.(1)求证： B1C1平面 OAH ；9(2)求二面角OA 1B 1C1 的余弦

19、值(1)证明如图所示，以直线OA 、 OC、OB 分别为 x、 y、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz ，则A(2,0,0) ， B(0,0,2) ， C(0,2,0)， E(1,0,1)， F(1,1,0) ，H 1， 1，1 ，2 2uuur111，1AH1，2， OH 1，222uuuruuuruuur uuurBC (0,2， 2)，所以 AH BC 0， OH BC 0，所以 BC 平面 OAH.由 EF BC，得 B1C1 BC ，故 B 1C1 平面 OAH.3(2)解由已知 A 1 2，0， 0 ，设 B 1(0,0， z)，则uuuur=（1uuur=（ 1， 0，

20、 z1），A1E2， 0， 1）， EB1uuuuruuuruuuuruuur由A E与EB共线得：存在R 使A E= EB，1111得1 ， 1，221z 1 ，z 3，所以 B 1(0,0,3) ，同理 C1(0,3,0).uuuuruuuur3 ,3,0所以 A1B1 3，0，3 ， A1C1 =，22设 n1=(x 1,y 1,z 1) 是平面 A1B1C1 的一个法向量，uuuurA1B1n10,则 uuuur A1C1n1 0,3 2x1 3z1 0，即3 2x1 3y1 0，令 x1 2，得 y1 z1 1，所以 n1 (2,1,1) 又 n 2 (0,1,0) 是平面 OA 1B1 的一个法向量，所以 cosn1， n 2n1n21612 4 116.|n| |n10所以二面角 O A1 B1 C1 的余弦值为66 .感谢您的阅读，祝您生活愉快。11