关于楼房采光数学模型的建立与求解

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1、楼房采光问题万物的生长皆需要阳光，同样阳光对人也非常重要。现在城市里的一座座高楼拔地而起，但由于规划不合理而导致许多住户缺少阳光，王洋在大同某小区八号楼二层买了一处住宅，在他正南方100米处正在建九号楼，九号楼东西长120米，坐北朝南，他的房子的南面是九号楼的正中央，现在问题是：（1）为了让王洋在每年的冬至那一天的12点能见到阳光，9号楼至多能盖多高？（2）为了让王洋在每年的冬至那一天都能见到阳光，9号楼至多能盖多高？（3）为了让王洋在每年的冬至那一天能见到四个小时阳光，9号楼至多能盖多高？你还可以就你自己设计的情况回答类似问题。（1） 问题的提出（按你的理解对题目作出更清楚的表述）。（2）

2、问题的分析（根据问题的性质，你打算建立什么样的模型？）（3） 模型假设（有些假设可作必要的解释）。（4） 模型的设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）。（5） 模型的解法与结果。（6） 模型结果的分析（包括误差分析、稳定性分析等）。（7） 参考文献关于楼房采光数学模型的建立与求解一、 问题的提出1、 阳光的重要性俗话说：万物生长靠太阳，太阳的确对人类有很多益处。经常晒太阳有利健康。无论春夏秋冬，建议走出家门，多与阳光接触，只要避开正午和夏季的烈日。阳光中的紫外线可以杀灭空气中的细菌，许多霉菌在阳光下无法成活；紫外线还能杀死皮肤上的细菌，增加皮肤的弹力、柔软性和抵御外来细菌的能力，多晒太阳使你

3、的皮肤黑里透红，更加健康，不易生疮、痘和皮肤病；阳光照射到皮肤上，能刺激机体的造血功能，促进钙、磷代谢和体内维生素D的合成，使你的骨骼和身体更加健壮；日光中的红外线可透过皮肤到皮下组织，对人体起到热刺激作用，加快血液流通，促进体内新陈代谢，并有消炎镇痛的作用。缺少阳光的日子大脑会产生一种忧激素，使人困乏，情绪低落，阳光是最好的兴奋剂，能调节人的情绪、振奋精神、减轻忧郁症状，提高生活情趣和工作效率，并可改善人体的各种生理机能。因此我们在购买住宅时一定要考虑日照时间。2、 为什么研究冬至时的日照时间冬至（Winter Solstice），是中国农历中一个重要的节气1 ，也是中华民族的一个传统节日，

4、它是二十四节气中最早制订出的一个，时间在每年的公历12月21日至22日之间。冬至这天，太阳直射地面的位置到达一年的最南端，几乎直射南回归线（南纬2326）。这一天北半球得到的阳光最少，白昼达到最短，同时，冬至也是北半球各地正午太阳高度最低的一天。而住宅的价值与日照时间紧密相连，日照时间越长价值越高。我国物权法规定规定，住宅的日照时间在冬至时至少要多于两小时，但是联合国要求住宅在冬至时的日照时间要多于六小时3、给出的信息：王洋在某小区8号楼一层买了一处住宅，在他正前方100米处正在建设小区的9号楼，此楼东西长120米，坐北朝南。王洋的房子的正南方向对着9号楼的中点。问题信息给出两栋楼之间距离是1

5、00米，9号楼的东西长120米，王洋家和9号楼的位置关系，即王洋家在九号楼的正后面。 4、现在研究下列问题：（1）为了让王洋在每年的冬至那一天的12点能见到阳光，9号楼至多能盖多高？（2）为了让王洋在每年的冬至那一天都能见到阳光，9号楼至多能盖多高？（3）为了让王洋在每年的冬至那一天能见到四个小时阳光，9号楼至多能盖多高？（4）类似问题一：若题目中小王家不在二层，针对题目中的三个问题，对于九号楼的楼高又有何要求？类似问题二：为了充分利用阳光，可以在同一树林里交叉种植不同种类的树木，当树木种类确定，即已知它们的高度时，为了使所有的树木都能接受充足的阳光进行光和作用，问树木间距至少应为多少？二、问

6、题的分析：2.1问题（1）的分析该问题要求每年冬至那一天12点太阳光线可以穿过九号楼照到王洋的房间，为了使他的房间能见到阳光，先要研究九号楼的影子的位置随时间的变化规律，然后在根据9号楼的影子与王洋住宅的位置关系，建立几何模型，求解。问题的关键是太阳高度角随着时间的变化规律，太阳光线与王洋家所在地的正南方向的夹角的变化情况，以及各角度与影长、楼高的函数关系式。建立太阳高度角、影子长度与楼高和时间的函数，根据题目约束条件，确定楼高的大小。2.2 问题（2）的分析问题（2）要求王洋在每年的冬至那一天全天都能见到阳光，因此，需知道王洋所在地冬至那天日升日落时间，并考虑在这段时间内影子的位置随时间的变

7、化规律以及影子和王洋家的位置关系，显然要想他全天能见到阳光，必须保证他家在这段时间内始终在9号楼的影子之外，建立的几何模型和函数关系同（1），进而求得满足条件的9号楼高度。2.3 问题（3）的分析问题（3）要求王洋在每年冬至那一天能见到四小时阳光，9号楼至多能该多高？首先建立的几何模型和函数关系同（2），根据日常观察，我们作出假设，函数图像具有以下特征：（1）以正午12点为对称轴。（2）在中午12点的函数值达到最小值（平行四边形阴影高度最短）。（3）在日出时间到中午12点函数图像实现递减，中午12点到日落时间按时递增因此只需考查11点到13点的函数值变化情况。2.4问题(4)的分析问题(4)中

8、的三个问题的模型同(2)类似问题一将二号楼和小王家所在的楼层高度的差值作为模型中的楼高,楼间距不变,即可求解。类似问题二只要根据模型找到的楼高和楼间距的关系,代入树木高度差和树间距的关系,按照植物对光照的要求,借助函数图像即可求解。类似问题三将周围建筑的楼高与十字路口的红绿灯的架设高度的差值和十字路口与周围建筑物的距离分别代人模型中的楼高和楼间距,按照光照要求,借助函数图像即可求解。三、模型的假设和符号的使用3.1 模型的假设(1) 冬至那天小王所在地是晴天。（2）楼层周围没有其他遮挡物。（3）忽略小王房子的高度，设为一个质点。（4）忽略二号楼楼层厚度，假设其形状为标准长方形。（5）假设小王所

9、在地为石家庄。3.2 符号的使用及说明表示太阳高度角表示小王所在地石家庄的纬度表示太阳的赤纬t表示时角表示时间（24小时计时）h表示二号楼的高度表示二号楼影子形成的平行四边形的高L表示二号楼的影长表示太阳方位角表示临界角即小王家与二号楼端点连线与正南方向的夹角a表示二号楼的长度b表示楼间距说明相关符号太阳高度角（）(下图中的角a)是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角太阳方位角（）(下图中的角A)即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方位

10、角以正南方向为0，由南向东向北为负（-），由南向西向北为正（+），如太阳在正东方，方位角为-90，在正东北方时，方位为-135，在正西方时方位角为90，在正北方时为180。太阳赤纬（）又称赤纬角，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。冬至太阳的赤纬为-23.45。时角（t）即单位时间地球自转的角度，规定正午时角为0，上午时间为负值，下午时角为正值。地球自转一周为360度，对应的时间为24小时。即每小时响应的时角为15度，每四分钟为一度。石家庄的纬度（）为38.03四、模型的准备1、依据相关资料指太阳高度角随时角和太阳赤纬的变化而变化的太阳高度角的计算公式为sinsinsincosco

11、scost2、依据地理知识我们知太阳方位角的计算式为cos=（sinsinsin）coscos3、时间转化为时角的公式f(T)=(T-12) 15/1804、问题求解时用到的一些三角函数值sin=sin38.03=0.616 cos=cos38.03=0.788sin =sin(-23.45)=-0.398cos =cos(-23.45)=0.918tan=tan38.03=0.783tan=a/2b=5/8得=0.559查阅文献知石家庄太阳升起时间为7点35分（即7.583时），对应时角为f(7.583)=-1.156.太阳日落的时间为17点06分（17.1小时），对应的时角为f(17.1)

12、=1.335.五、模型的建立和求解。51、问题模型的建立：5.1.1、求解太阳高度角的三角函数值。查阅资料文献知太阳高度角的计算公式为：sin sinsin coscoscos t由2号楼与影子的几何关系，知：tan=h / L从而L = h cothLab(楼间距)H小王家（图）5.1.2求解太阳方位角查阅相关资料文献之太阳方位角的计算公式如下：cos=（sinsinsin）coscos5.1.3 、影子（平行四边形）中的几何关系：LH（图）由图知道H / L cos从而H Lcos5.1.4 求H的表达式。将代入得到Htansin/（sinsincoscoscost）cosg(t)=H/h

13、=tansin)/（sinsincoscoscost）cos5.2 模型的求解5.2.1 问题（1）的求解本题中要求中午时能见到阳光，即12点20分(37/3小时)。根据时角转化公式f(37/3)=0.087，所以t=0.087.将t代入得g(0.087)= tansin/（sinsincoscoscos0.087）cos=1.846即H/h=1.846由题目要求H=h1.84680从而得h43.337米。5.2.2问题（2）的求解（一）问题（2）的分析太阳升起时，太阳方位角最大，随着时间的变化先减小后增大，在中午时可达到最小值。当时不需考虑阴影长度，阳光可以通过二号楼直接照射到小王家。当时运

14、用上述函数关系式g(t)=H/h=tansin/（sinsincoscoscost）cos即可求得阴影长度随时间的变化规律，令阴影长度的最大值小于80米便可得二号楼的高度。（二） 求=的时刻根据图知随着时间的变化,在一天当中必在某一时刻达到依据太阳方位角的计算公式和太阳高度角的公式cos=（sinsinsin）coscossinsinsin coscos cos t令cos=F（t）得Ft() 0.245 -0.723 cost()+ () 0.616 0.398 + 1 0.245 -0.723 cost()+ ()2 - 0.788 := F(t)函数图像如下：已知=0.559，令=0.5

15、59得cos=0.848 即F(t)=0.848从而得到所对应的t的值t1=-0.568和t2=0.568（三） 在t1-t2内阴影的高的变化根据F（t）的图像知cos先增大后减小，先减小后增大，故在t1-t2时间外，在t1-t2时间内，因此在这一时间段内需考虑影子变化规律。函数g(t)的图像如下由上述分析得需要使H最大值小于等于80，而H=g(t)h所以根据函数走向只需令t=t1即得g(t)在这一时间段内的最大值.g(-0.568)=2.169 由g(t)h80得h36.883米（四）问题（2）的最终结果为h36.883米5.2.3问题（3）的求解本题要求冬至那一天能见到两个小时的阳光，求二

16、号楼至多能盖多高。(i)根据上一问分析得知，在t1和t2之外，小王家恒能见到阳光。由时角t1=-0.568和时间转化为时角的公式f(T)=(T-12) 15/ 180得T=9.83时，对应上午9点49.8分,从日升7点35分到该时刻明显超过两个小时，所以在题设所给数据条件，以及我们假设小王所在地为石家庄的条件下，得出冬至这一天小王家恒能见到两个小时的阳光。(ii)下面考虑t1-t2时间段内由5.2.2中g(t)的图像知H/h的值先减小后增大，故要想见到两个小时的阳光，只需11时和13时对应的H=g(t)h的值不超过80，而11时和13时对应的时角分别为-/12和/12,因此有H=hg(-/12

17、)= g(/12)=1.897h80得h42.172故问题(3)的最终结果为h42.172米六模型的分析6.1模型误差来源分析由于在假设当中，我们假设小王家所在地为石家庄，因为纬度的大小受地理位置的影响，在求太阳方位角的过程中cos=（sinsinsin）coscos的值会受纬度影响，而且的值还会受石家庄日升日落时间的影响，从而造成的时间会超过两个小时。若在其他纬度情况会有所不同。七模型的改进该模型构造的函数中假设纬度参数为定值，所设的是石家庄的纬度，这样在解题中，所得的结果就是石家庄所对应的情况，模型的改进方向，可以将函数中纬度参数设为变量，这样在求得的最终函数中，函数是关于时间t和纬度两个自变量的函数，所得的二元函数虽然变得复杂了一些，但是，这样得到的函数关系式便可应用的地球的任意纬度处的情况，只需将当地纬度的值代入函数式，第 15 页 共 15 页 进而应用模型中的方法，求解即可得到相应的结果（楼高的限制）。八、参考文献。王兵团.数学建模基础.北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2004 韩中庚.数学建模竞赛:获奖论文精选与点评.北京:科学出版社,2007太阳时角：太阳高度角：太阳方位:太阳方位角的计算公式：