新人教版八年级数学下册期中知识点汇总

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1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如石（42）的式子叫做二次根式.注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式, 但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是蕩为二次根式的前提条件，如 册,戸忆，戶（兀-1）等是二次根式，而戸，等都不是二次根式例1.下列式了，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:忑、師、丄、石（x0）、X而、迈、忑、-、Jx+ y （xNO,yl3$0）x+ y v分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“广;第二，被开方数 是正数或0.知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当aMO时，石有意义, 是二次根式，

2、所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即 可.2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a0时，石没 有意义.例2.当x是多少时,、二T在实数范围内有意义？例3当x是多少时，、/1書石+丄在实数范圉内有意义？X+1知识点三：二次根式血 0的非负性乔 2 2）表示a的算术平方根，也就是说，石 0 2）是一个非负数,1 / 17(1) x2-3(2)x4-4 2x2-3即4 0 （。王o）.注：因为二次根式石 W王）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术半方根是非负数，即松王0，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、

3、偶次方类似. 这个性质在解答题目时应用较多，如若拓+丽=0,则沪0,20；若石+0卜, 则 a二0,20；若拓 +沪二0,则 a二0,20.例 4&知 y= j2-x + Jx-2 +5,求兰的值.v2若 Ja + 1 + Jb-l =0,求 ya2004+b2004 的值知识点四：二次根式（亦）$的性质（需丫 二d （a0）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次根式的性质公式（石二”（3）是逆用平方根的定义得出的结论.上而的公式也可以反过來应用：若处,则需几如：2 = 的,耳 例1 .计算1. （） 22. （375） 23（） 24. （#） 2例2.在实数范

4、围内分解下列因式：3/17#/17知识点五：二次根式的性质#/17文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.1、化简戸时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0, 则等于a本身，即&=同=讹0）；若a是负数，则等于&的相反数-a,即2、戸中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，&一定有意义：3、化简屈时，先将它化成同，再根据绝对值的意义來进行化简.例1化简（1） /9 J（-4）2（3）履 （4）J（-3尸例2填空：当a$O时,、斥=；当avO时=国并根据这一性质回答下列问题.（D若电则a可以是什么数？2）若后 f 则a是什么数？ 備、 则a是什么数

5、？例3当x2,化简J（x-2）2知识点六：（石尸与戸的异同点1、不同点：（石尸与沪表示的意义是不同的，（為“表示一个正数a的算术平 方根的平方，而你表示一个实数a的平方的算术平方根：在（而尸中。工, 而& 中a可以是正实数,0,负实数.但（拓尸与&都是非负数，即（需尸-0,4/17&裁.因而它的运算的结果是有差别的ws ，而么（么0） 、p&0）5/17#/172、相同点：当被开方数都是非负数，即时知化眄。0)#/17#/17（思考:b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）例1计算(1) 4/5 X /7(3)X /?7例2化简（1） 5/9716（2）VT678T （

6、3： J9x2y2例3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:（4）74(1) J(-4)x(-9) = 口xpX /25 =4X（2）X V25 =4X V25 =4/12=8/3#/17例5化简:6/17#/17例6.已知为偶数，求（i+x）fU 的值.3、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母屮不含二次根式:（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记20以内数的半方：因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2 （或2的倍数）， 若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件，就不是最简二次根式）例1.把下列二次根

7、式化为最简二次根式3J ； +zy ； oy/sy4、化简最简二次根式的方法：把被开方数V或根号下的代数式化成积的形式，即分解因式;化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化:将根号内能开得尽方的因数V或因式开出来.（此步需要特别注意的是： 开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：石与石:叨亦与叨刃说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式.判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简一次根式如爲与yflS知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次

8、根式化为最简二次根式，再把被开方数相同 的二次根式（即同类二次根式）进行合并.（合并方法为：将系数相加减,一次根 式部分不变），不能合并的直接抄下來.例 1计算（1） x/8+718（2）V16x+V64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式：第二步，将相同 的最简二次根式进行合并.解:（1） /8+/18=2/2+3/2 =（2+3）/2=5/2(2) -Ji6x + /64x =4/x +8yfx =(4+8) /x =12V7例2.计算(1) 3 屁-9占+3 屁(2)(/48+/20 ) + (屁“)例3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0z求()）的值.2二次根式

9、的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除,再加减 3、二次根式的比较：若0,则有罷爲;若爲，则有（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小7/17例4.比较3屁与4石的大小勾股定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.即：a2lr=c2.常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25.这个一 定要牢记于心.考点一：勾股定理的直接应用例1.正方形的面积是乙它的对角线长为()A、1B、2 C、V?例2.如图，由RtAABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为cm2考点二

10、：求第三条边的长例 1若 RtABC 中,ZC = 900=37,3=12,则 b=()A、50B、 35 C、 34例2.己知两线段的长为6cm和8cm,当第三条线段取时，这三条线段能组成一个 直角三角形.(提示：所给的两条变长不一定祁为直角边例3若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,亍= 144上=25,则()A、169 B、119C、169 或 119 D、13 或 23考点三：与高.面积有关例1两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的奇是例2.等腰三角形的底边为10cg周长为36cmz则它的而积是air勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长8、XC满足，+b=c訂那么这个三角形是直角

11、三角形.判断步骤：（1）比较a、b、C大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的半方相等.例1.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面（填合格或不合格）例2试判断：三边长分别是a2-h29a2b2ab（ah）的三角形是不是直角三角形？习题勾股定理一、选择题1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的儿借?（ ）A、2B、4C、3D、510/17#/172、等腰AABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为（）A. 10B. 12C. 15D. 20#/17D 7cmW力3、将一根24

12、cm的筷子，置J底面克径为15cm、高8cm的圆柱形水杯中，如右I 所示，设筷子露在杯子外而的长度力cm,则力的収值范围是（）C. 15cmW 力 W 16cmA. hW17cm16cm二.填空题1、如果梯子底端离建筑物5口那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是2、如图,一圆柱高&7,底面半径2c?，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行 的最短路程是cm3. 、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A, B, C, D的面积的 和为4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件的乙4与ZBDC都要是直角，工5得零件各边尺寸：AD

13、=4/AB=3/DC=12,BC=13/BD=5.这个零件符合要求吗？5. 如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，也匸4厂 50分,我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我/国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注.氏走私艇A和走私船C的距离是13海里,A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，若走私船C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海？ 精确到 分四边形知识点总结:1.四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360 :12/17#/17(2)四边形的外角和等于360 .2.多边形的

14、内角和与外角和定理:#/17(1) n边形的内角和等于n-2180(2)任意多边形的外角和等于360 .3.平行四边形的性质：#/17f（l）两组对边分别平行;（2）两组对边分别相等: 因为ABCD是半行四边形= （3）两组对角分别相等;（4）对角线互柑平分;（5）邻角互补.4. 平行四边形的判定:两组对边分别平行（2）两组对边分别相等两组对角分别相等（ABCD是平行四边形.（4）一组对边平行且相等（5）对角线互相平分5. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性; 因为ABCD是矩形=（2）四个角都是直角；（3）对角线相等.6. 矩形的判定：（1）平行四边形+ 个直角（2）三个角都是直角=

15、四边形ABCD是矩形.（3）对角线相等的平行四边形7. 菱形的性质：因为ABCD是菱形（1）貝仃平行四边形的所仃通性: 二四个边都相等，四个角都是直角;(3)对角线相等垂直且平分对角.AB(1)15 / 17# / 1710. 正方形的判定:(1)平行四边形+组邻边等+个直畑 菱形+个直角)=四边形ABCD是正方形.(3)矩形+组邻边等VABCD是矩形乂 VAD=AB四边形ABCD是正方形 例1：如图1,平行四边形ABCD中,AEUBD,CF2BD,垂足分别为E、F.求证：12BAE =0DCF.tm n证明：四边形ABCD是平行四边形,Z ABE =Z CDF,AB= CD.又AE 丄 BD

16、,CF 丄 BD,Z AEB =Z CFD = 90, ABE塁 CDF.Z BAE =Z DCF.16 / 17例2：如图乙矩形ABCD中，AC与BD交于0点月田AC于E.CFHBD于F.求证:BE = CR证明：0四边形ABCD是矩形,0OB = 0C.乂厨 BE0AC,CF0BD,00BEO =0CFO = 9020BOE =0COF.（图2）亟BOECOF. QBE = CF.17 / 17# / 17评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以与全等三角形的判定.例3如图6,E、F分别是CBCD的AD、BC边上的点，且AE = CF(1) 求证： ABE雲 CDF；(2) 若M、N分别是B

17、E、DF的中点，连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形AB = CD,Z A =Z C. AE = CF,/. ABEZ CDF.(2)解析：四边形MFNE是半行四边形. ABE妥 CDF八 Z AEB =Z CFDZBE = DF. 又 M. N分別是BE、DF的中点，/. ME = FN.T四边形ABCD是平行四边形八Z AEB =Z FBE. Z CFD =Z FBE. /. EBII DF出卩 ME II FN.四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.例4如图4, QBCD的对

18、角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F. 求证：四边形AFCE是菱形.证明：0四边形ABCD是平行四边形，图40AD0BC. 00EAC MUFCA.EF是AC的垂直半分线，(30EOAFOC 0AE = CE.13四边形AFCE是平行四边形.乂 13EA = EC,自四边形AFCE是菱形.例5如图5,四边形ABCD是矩形,0是它的中 心,E、F是对角线AC上的点.图5(1)如果zWlj0DECBFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件h0OA = 0C羁EOA M3F0CEA = EC.（2）证明你的结论解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.（1）AE=CF；0E =

19、0F： （3）DE0AC,BF0AC；DE13BF 等. 证明：圄四边形ABCD是矩形，0AB = CD,AB 0 CD.阴DCE =0BAF.0AE=CF,SAC-AE = AC-CF,即 AF = CE.00DECIE0BA例6如图6,己知在梯形ABCD中,AD0BC,AB = DC,对角线AC和BD相交于点OZE是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF0BD交AC于点F,EG0AC 交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于20B；（2）请你将上述题目的条件”梯形ABCD中,AD0BC,AB = DC改为另一种四 边形,其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于

20、20B仍成立，并将改编 后的题目画出图形，写岀己知、求证、不必证明.解析:（1）证明:0在梯形ABCD中,AD0BCAB二DC,（3梯形ABCD是等腰梯形.ABC =0DCB.20 / 17图7X0BC = CB,AB = DC, 0ABC00DCB. S0ACB =0DBC. 乂 NEGOAC 启 ACBM3GEB. 321DBC=21GEB. 0EG = BG.0EGEOQEFEOG,12四边形EGOF是平行四边形.OE = OF,EF = OG.0四边形 EGOF 的周长=2 (OG + GE) =2 (OG + GB) = 20B.（2）如图7,己知在矩形ABCD中,对角线AC和BD相

21、交于点0,E是BC边上图6一个动点（点E不与B、C两点重合），EF0BD交AC于点 BEGI3AC 交 BD 于点 C.求证：四边形EFOG的周长等于20B注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？课堂练习:（一）精心选一选1. 下列命题正确的是（）A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B. 对角线相等的四边形一定是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D. 两条对角线相等且互相垂直半分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB二3BC,则AC的取值范围为A. 6AC10； B. 6AC16： C. 10AC16； D. 4AC163. 两个

22、全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A） 1 2（C） 3（D） 44. 延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,若ZDAB =120 , ZCFE = 135 ,AB = 1,则 AC 的长为（）(A) 1(B) 1.2（C）错误!(D) 1.522 / 17# / 175.若菱形ABCD中，AE垂点平分BC于E, AE=lcm,则BD的长是（# / 17# / 17(A) lcmB) 2cm(C) 3cm (D) 4cm# / 17A6.若顺次连结一个四边形齐边中点所得的图形是矩形，那么这个 四边形的对角线（A）互相垂直 （B）相等 （

23、C）互相平分（D）互相垂直且相7.如图，等腰AABC中，D是BC边上的一点,DE/7AC, DFAB, AB=5那么四边形AFDE的周长是（）（第 1OMS）(A) 5(B) 10(C) 15(D) 208.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()(A) 3cm (B) 4cm (C) 5cm (D) 6cn9.如图，在直角梯形ABCD中,ADBC, ZB二90 , AC将梯形分成两个三角形，其 中AACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是.99 cm 12cm cm 18 cm2D10如图，在

24、周长为20cm的L1ABCD中,ABHAD, AC、BD相交于 点0,0E丄BD交AD于E,则ZABE的周长为（）4cm 6cm 8cm 10cm二细心填一填1 如果四边形四个内角之比1： 2： 3： 4,则这四边形为形.2. 若正方形的对角线长为2说cm,则正方形的面积为3. 若矩形一个内角的平分线,把另一边分为4cm, 5cm两部分，则这个矩形周长是4. 己知：平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC, BD相交于点0, AAOB的周长比BOC的周长长5cm ,则这个平行四边形的各边长为5. 已知：半行四边形ABCD中，AE丄BC交CB的延长线于点E,AF丄CD交CD的延长线于点 F

25、, AB+BC+CD+DA=32cm,BC=错课!AB, ZEAF = 2ZC,则 BE 长为 ,则ZC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A,B,C,在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是.25 / 17# / 17# / 177.己知：如图&正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,E、F分别是 边AB、BC上的点，若AE = 4cm, DF = 3cm,且0E丄OF,则EF的长为.(三)认真答一答1.如图，在四边形 ABCD 中，ZA=60 , ZB二ZD二90 , BC=2, CD=3,求 AB 的长.2.如图，在等腰梯形ABCD中,ADBC, AB二CD二2, ZBAD二120 ,对角线AC平分ZBCD,D处,求等腰梯形ABCD的周长.3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D i折痕为EF.(1)求证：AABEAAD7 F；26 / 17# / 17(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论 Df4.A=60 ,如图，在梯形ABCD中,ADBC, AB二CD,对角线AC、BD相交于点E, =10, BE :务4 : 1,求梯形ABCD的腰长.B 5.如图餐形ABCD,飞护分别是BC, CD上的点,ZB= ZEAF=60。，ZBAE=18 求ZCEF 的度数.Dt27 / 17